книги / Теоретическая механика

ДИНАМИКА

Динамика точки

Д1 (1976). Точка массы m брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью V0 . На точку действует постоянная сила тяжести и сила сопротивления, модуль которой пропорционален квадрату скорости: Fсопр = k mV 2 ( k > 0 – заданный коэффициент).

Найти модуль V1 скорости точки в момент падения точки на Землю.

Д2 (1977). В доске, образующей угол α с горизонтом, просверлен прямолинейный канал. Тяжелая материальная точка A начинает движение в верхнем отверстии канала без начальной скорости.

Найти угол ϕ, образуемый каналом с вертикалью, при котором время движения точки в канале будет наименьшим.

Д3 (1980). Точка массы m находится на шероховатой плоскости, образующей угол α с горизонтом. Коэффициент трения между

точкой и плоскостью равен f. На точку действует сила Q , направленная по горизонтали вправо; ее модуль Q = k m g , где k > 0 – заданная постоянная. Начальная скорость точки равна нулю.

Найти проекцию ax ускорения точки на ось x.

21

Д4 (1988). Точка массы m находится на горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения между точкой и плоскостью равен f. На точку действует сила Q , направленная под углом 0 < α < π2 к горизонту; ее модуль Q = k t , где k > 0 – заданная постоянная. Начальная ( t = 0 ) скорость и начальная координата x точки равны нулю.

Найти зависимость x(t) координаты точки от времени до момента отрыва точки от плоскости.

Д5 (1997). Точка массы m движется в вязкой среде вдоль оси x под действием силы сопротивления, модуль которой Fсопр = k xV ,

где k > 0 – заданный постоянный коэффициент, x – координата точки, V – модуль скорости точки. Силой тяжести пренебречь. Начальные условия (при t = 0 ): x = 0 , x& =V0 > 0 .

Найти закон x(t) движения точки.

К задаче Д4 К задаче Д6

Д6 (2005). Вертикальный гладкий стержень толкает по гладкому неподвижному желобу точку массы m. Желоб имеет форму па-

раболы; уравнение параболы: y = k x2 ( k = const > 0 ). Закон поступательного движения стержня: x(t) = u t ( u = const > 0 ). Силой тяжести пренебречь.

22

Найти модуль N(t) силы, с которой стержень действует на точку.

Д7 (2009). Тяжелая материальная точка A находится в неподвижной гладкой трубке. Трубка расположена в вертикальной плоскости и имеет форму окружности радиуса R. Точка начинает движение из положения O c пренебрежимо малой начальной скоростью.

Найти зависимость модуля a ускорения точки от высоты h точки над горизонтальным диаметром BD трубки.

Динамика твердого тела

Д8 (1974). Тонкий прямолинейный однородный стержень длины l и массы m движется вокруг неподвижной точки O, опираясь свободным концом A на гладкую горизонтальную плоскость. Угол 0 < α < π2 задан.

Найти постоянную угловую скорость ω стержня, при которой давление стержня на плоскость равно нулю.

Д9 (1978). Тонкий однородный стержень AB массы m и длины 2l падает, скользя концом A по гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени стержень занимал вертикальное положение; начальными скоростями точек стержня пренебречь.

23

Найти модуль реакции N ( yC ) плоскости как функцию высоты yC центра масс С стержня над плоскостью.

Д10 (1981). Однородный диск 1 массы m и радиуса R жестко скреплен с тонким однородным стержнем 2 массы m и длины 2R (точка B стержня совпадает с центром диска). Это составное тело начинает движение из показанного на рисунке положения. Начальными скоростями точек тела пренебречь. Диск катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

Найти модуль VA скорости точки A в момент ее удара о плоскость.

Д11 (1985). Расположенный в вертикальной плоскости однородный стержень AB длины l скользит концом A по гладкой вертикальной прямой, а концом B – по гладкой вертикальной окружности радиуса l . Масса стержня равна m1 , масса каждого из колечек

A и B равна m 2 . В начальный момент времени угол α = 0 ; началь-

ными скоростями точек стержня пренебречь.

Найти модуль VA скорости точки A в момент времени, когда угол α = π6 .

Д12 (1990). Треугольная рамка, составленная из одинаковых тонких однородных стержней массы m каждый, может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси O. Рамка начинает движе-

24

ние с угловой скоростью, равной нулю, из положения, в котором сторона OA горизонтальна.

Найти модуль N реакции в шарнире O в момент времени, когда сторона AB станет горизонтальной.

Д13 (1998). Однородный диск радиуса R раскручен до угловой скорости ω0 и поставлен на неподвижную шероховатую плоскость,

образующую угол 0 ≤ α < π2 с горизонтом. Начальная скорость

центра масс C диска равна нулю. Коэффициент трения скольжения между диском и плоскостью равен f. Трением качения пренебречь.

Найти промежуток времени T, через который прекратится проскальзывание диска по плоскости.

Д14 (2003). Горизонтальный диск радиуса r вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . На диске с помощью шарнира A и пружины OB укреплен однородный стержень AB. Длина стерж-

ня L = r 2 , масса стержня равна m, жесткость пружины равна c, длина недеформированной пружины l0 = r2 . Шарнир B может

скользить по диску. При некоторой постоянной угловой скорости диска стержень относительно диска не движется и длина пружины l = r .

Найти угловую скорость ω диска.

25

Д15 (2004). На однородный диск намотана невесомая нить. Свободный конец нити тянут вдоль гладкой неподвижной наклонной плоскости с постоянным абсолютным ускорением a . Угол наклона плоскости к горизонту равен β. Проскальзывание между

диском и нитью отсутствует.

Найти модуль aC ускорения центра диска.

Вид сверху

Д16 (2007). Однородный стержень OA длины 2l и массы m расположен в горизонтальной плоскости и вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . На стержень действует пара сил, момент которой M зависит от угла ϕ поворота стержня ( 0 ≤ϕ≤ π3 ). Известно, что точка B пересечения стержня с неподвижной прямой

26

DС движется с постоянной абсолютной скоростью u . Расстояние

OС = l.

Найти зависимость M (ϕ) .

Динамика системы

Д17 (1979). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Колёса 1 и 2 – однородные диски одинаковой толщины, изготовленные из одинакового материала. Массой стержня 3 пренебречь. Колесо 1 и стержень 2 могут вращаться вокруг неподвижной оси О. Колесо 2 соприкасается без проскальзывания с колесом 1 и неподвижным колесом. К колесу 1 и стержню 3 приложены пары сил с заданными постоянными моментами M1 и M 3 соответствен-

но. Момент инерции колеса 1 равен J1 . Известно, что в любой момент времени отношение угловых скоростей ω1 ω3 = k , где k –

заданный коэффициент.

Найти угловое ускорение ε3 стержня 3.

Д18 (1983). Однородный диск массы m и радиуса R лежит всей своей плоскостью на гладкой горизонтальной плоскости. По ободу диска движется (за счет сил взаимодействия с диском) точка B массы m c заданной относительной скоростью Vr (t) . При t = 0 система была неподвижна.

27

Найти зависимость VA (t) модуля скорости центра A диска от времени.

Д19 (1984). Кольцо радиуса R вращается вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (постоянство ω поддерживается приложенным к кольцу внешним переменным моментом M ).

Расстояния AE =DB =R2 . В кольце движется

точка K (за счет сил взаимодействия с кольцом) с постоянной по модулю относительной скоростью u . Масса точки равна m, массой кольца пренебречь.

Найти компоненты xB , yB реакции в под-

шипнике B для показанного на рисунке положения системы.

Д20 (1986). Тонкий прямолинейный гладкий стержень, массой которого пренебрегаем, может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной оси Oz . На конце A

стержня на расстоянии OA = a от точки O закреплена точка массы m1 . С другой стороны от точки O на стержень надето колечко B

массы m 2 . В начальный момент времени колечко было неподвиж-

но относительно стержня и находилось на расстоянии OB =b от точки O, а стержень имел угловую скорость ω0 .

Найти зависимость Vr (x) модуля Vr скорости колечка относительно стержня от расстояния x между колечком и точкой O.

Д21 (1993). Система расположена в вертикальной плоскости. Масса груза 1 равна m1 , масса однородного диска 2 радиуса R рав-

на m2 . К диску приложена пара сил, момент которой M = kt , где

28

k > 0 – заданная постоянная. Система начинает движение из состояния покоя.

Найти путь s, который груз пройдет до остановки (при t > 0 ).

Д22 (1994). На гладкой призме 1, которая может скользить по гладкой неподвижной горизонтальной плоскости, находится точка

2.Масса призмы равна m1 , масса точки равна m2 . Величины H и

αзаданы. Система начинает движение из состояния покоя в показанном на рисунке положении.

Найти модуль V1 скорости призмы в момент времени, когда

точка достигнет неподвижной плоскости.

Д23 (1995). Однородный горизонтальный диск массы m1 и ра-

диуса R может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси Oz . Расстояние OD = R2 . По диаметру диска движется (за счет

сил взаимодействия с диском) точка B массы m2 по закону s =OB = at 2 2 ,

где a > 0 – заданная постоянная. При t = 0 угловая скорость диска равнялась ω0 .

29

Найти работу A сил взаимодействия точки и диска за промежуток времени 0 ≤t ≤ 2Ra .

Д24 (1996). Механизм расположен в горизонтальной плоскости. К однородному стержню 1 длины l и массы m1 приложена

пара сил с заданным постоянным моментом M. Масса кулисы 2 равна m2 ; массой ползуна A пренебречь. В направляющих D на кулису действует заданная постоянная, параллельная направляющим, сила сопротивления F . Система начинает движение из состояния покоя из положения, в котором ϕ = 0 .

Найти модуль V2 скорости кулисы в тот момент времени, когда ϕ = π3 .

Д25 (1999). В узкий паз однородного диска массы m1 вставлен однородный стержень AB массы m 2 , длина которого равна радиусу

диска. Конец A стержня закреплен в центре O диска, и диск вращается с угловой скоростью ω0 вокруг вертикальной оси z, перпенди-

кулярной плоскости диска. Затем конец A освобождается от закрепления, и стержень начинает двигаться вдоль паза. Трением пренебречь.

Найти угловую скорость ω1 диска в тот момент времени, когда расстояние OA будет равно половине радиуса диска.

30