книги / Теоретическая механика

Абсолютное

ускорение

точки

M

a = a r + aen + aeτ + a Cor , где

ar = AM = kR , aen = ϕ2 R = k 2 Rt 2 ,

aeτ = ϕR = kR , aCor = 0 . Далее

ax = aen + ar sin ϕ , a y = aeτ −ar cos ϕ,

a = ax2 + a y2 .

Ответ: V = 2k Rt

sin (kt 2 4)

,

a = kR

(kt 2 +sin (kt 2

2))2 + 4sin 4 (kt 2 4).

где

an

= ω2l.

С другой

стороны,

a

A

= a

r

+ a n + a τ + a

Cor

, где

A

1

e

e

an

= ω2 R = ω2l2

2R . Проецируя последнее векторное уравнение на

e

2

1

ось x, получим aAn

2 = ar −aen , откуда находим ar .

Ответ: Vr = ω1l

2 ,

ar = ω21l(1

2 +l 2R).

К задаче К5

К задаче К6

K6. Скорость точки M V

=Vr +Ve , где Vr = s , Ve =ωs . Так как

&

K7. Скорость

точки

M

V

M

=Vr +Ve . Из параллелограмма

скоростей находим

VM =Vetg α ,

где

Ve = OC = u . Так как уравне-

ние параболы O M = k (O B)2

, то

1

1

tg α = 2k O1B = 2k OC = 2ku t .

К задаче К7

Коэффициент k находим из усло-

вия

BC = k (AC)2 :

k = l1

l22 .

K8. Ускорение

точки B

aB = aC + aBCn + aBCτ ,

где aBCn = ω2 R ,

aBCτ = εR . Так как

aB = 0 , то

ω= aC

R . Далее,

VAC =VDC = ωR ,

VA = VC2 +VAC2 , VD =VC +VDC .

Ответ: VA = VC2 + aC R , VD =VC +

aC R .

К задаче К8

К задаче К9

VAC = ω2 R . Тогда (см.

рисунок)

VAC =VA

3

2 ,

VC =VA

2 , откуда

находим

ω2 = π2 6t0 ,

VC = π2 R 6

3 t0 .

Ускорение

точки A

n

τ

n

& 2

τ

&&

С

другой

стороны,

aA = aA + aA , где

aA

= 2ϕ1 R ,

aA = 2ϕ1R .

aA = aC + aACn + aACτ ,

где

aACn =ω22 R ,

aACτ

=ε2 R . Тогда (см. рису-

нок)

aC −aACn

= aAn

3 2 + aAτ 2 ,

откуда

находим

aC =(π3R 108t02 )(3π+π 3 −2).

Ответ: VC = π2 R 6

3 t0 , aC = (π3R 108t02 )(3π+ π 3 − 2).

К задаче К10

K11. Построив VO′ (скорость точки звена 2,

совпадающей в

данный момент времени с точкой O), найдем CV

звена 2. Тогда

ω2 =VA

ACV . Точка K есть основание перпендикуляра, опущенно-

го из CV

на прямую BD.

Ответ: ω2 =VA ctg α a , AK = a sin 2 α cos α .

2(R

+ r

)

(s − 2R2 (R2

+ r2 ) ).

Ответ: T =

2

2

V (R

−r )

2

2

К задаче К11

К задаче К12

K13. Построив мгновенный центр скоростей колеса,

находим

VC VA =VC V = CCV ACV = CCV (R +CCV ),

K14. Так как yA = −VA

и yM =3yA 4 , то yM = −3VA 4 и

yM = 0 . Кроме того, так как

yA = lcos ϕ, то y A = −lϕsin ϕ, откуда

V0

VdV

1

kV

2

H =

∫

=

ln 1

+

0

.

2

g + kV

2k

g

0

1

kV 2

H = −

ln 1

−

1

.

2k

g

Сравнив два выражения для H, получаем

Ответ: V =V

0

1+ kV 2

g .

1

0

дет двигаться в отрицательном

направлении оси x и

m ax = mg sin α −Q cos α + f N . Если же

mg x +Qx

≤ f N , то точка

останется неподвижной и ax = 0 .

(1

− f k)sin α −(k + f )cos α,

если

ξ > f ,

+ f k)sin α −(k − f )cos α,

если ξ < − f ,

Ответ: ax = g (1

0

если

ξ

≤ f ,

К задаче Д3

К задаче Д4

Д4. Уравнение движения точки:

ma = mg + N

+Q

+ F

тр .

Проецируя это уравнение на ось y,

найдем

N = mg −k t sin α ;

следовательно, момент отрыва точки от плоскости tотр = mg

(k sin α).

Проецируя

уравнение

движения

точки

на

ось

x,

найдем:

m ax

= kt cos α − Fтр . До тех пор пока

kt cos α ≤ f N (при

0 ≤t ≤t1 ,

где

t1 =( fmg k ) (cos α + f sin α)< tотр ),

ax

= 0 .

При

t1 <t <tотр

max

= kt cos α − f N , откуда ax

=( fg

t1 )(t −t1 ). Таким образом,

0,

если

0 ≤t ≤ t

,

1

x = ( fg t1 )(t −t1 ),

если

t1 < t < tотр.

Интегрируя последнее соотношение с учетом начальных усло-

вий, получим

0,

если

0

≤t ≤ t

,

1

Ответ: x(t) =

6t1 )(t −t1 )

3

,

если

t1 < t < tотр,

( fg

где t1 =( fmg

k ) (cos α + f sin α).

Д5. Уравнение движения

точки

в проекции

на

ось x:

mdV dt = −k xV . Учитывая, что

dV dt =VdV dx , разделяя пере-

57

менные и интегрируя, найдем скорость

точки как функцию x:

V =V0 − k x2 2m . Далее, dx dt =V0 − k x2

2m . Разделяя перемен-

ные и интегрируя, найдем: arth(x x1 )=t t1 , где x1 =

2mV0 k (рас-

стояние, которое точка пройдет до остановки), t1 =

2m kV0 .

Ответ: x(t) = x1 th (t t1 ), где x1 =

2mV0 k , t1 =

2m kV0 .

Д6. Уравнение движения точки:

m a = N

+ N1 .

Проецируя это

уравнение на оси x и y, найдем mx = N − N1 sin α ,

my = N1 cos α .

&&

&&

К задаче Д6

К задаче Д7

Д7. Модуль ускорения точки a =

aτ2 + an2 . Уравнение движе-

ния точки

.

m a = m g + N

Проецируя

это уравнение

на

ось

τ ,

найдем

aτ = g sin α = g

1−(h R)2 . Далее, an =V 2

R . Найдем V 2

из закона

сохранения полной энергии:

mV 2 2 + mgh = mgR .

58

К задаче Д8

К задаче Д9

&

&

l

2

2

VC = yC , ω=VC

CCV = yC

− yC .

yC2 = 6gl

(1− yC l)(1− yC2 l2 )

.

4 −3 yC2 l2

Проецируя теорему о движении центра масс стержня на ось y,

получим

N = mg + myC .

&&

&2

&&

как

Дифференцируя по времени выражение для yC , найдем

yC

функцию yC ; подставляя результат в выражение для N, получим

Ответ:

N( yC ) = mg

1+3(1− yC l)2

.

(4 −3 yC2 l2 )2

равной нулю). Здесь T нач = 0 ,

П2нач = mghDнач = 2mgR

(высота от-

считывается

от

уровня плоскости),

T кон = mV 2

2 + J ω2

2 ,

1

B

1

T2кон = mVD2 2 + J 2ω2 2 , П2кон = mghDкон = mgR 2 .

Учитывая,

что

J

1

=mR2 2 , J

2

=m(2R)2 12, V =ω BC =ωR, V

D

=ω DC

V

= ωR ,

B

V

находим ω=

(18 17)(g R). Далее, VA = ω ACV = ωR

3 .

Ответ: VA =

(54 17)gR .

60