Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение электротехнических задач методом конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

944.52 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Окончание табл. 1.2

Номер	,		2	,	,		2	,	q ,	t ,	,	t	0	,
вари-	1		2		1		2		V	Л	Вт/(м2· С)		0
вари-	мм	мм			Вт/(м· С)	Вт/(м· С)			МВт/м3	С		С
анта	мм	мм			Вт/(м· С)	Вт/(м· С)			МВт/м3	С		С
14	25	14			0,6	6			0,5	55	2100	28
15	25	13			0,7	7			0,6	60	2200	29
16	25	12			0,8	8			0,7	65	2300	30
17	25	11			0,9	9			0,4	70	2000	31
18	25	10			1	10			0,5	75	2100	32
19	25	15			0,5	5			0,6	50	2200	33
20	25	14			0,6	6			0,7	55	2300	34
21	25	13			0,7	7			0,4	60	2000	31
22	25	12			0,8	8			0,5	65	2100	32
23	25	11			0,9	9			0,6	70	2200	33
24	25	10			1	10			0,7	75	2300	34

Содержание отчета:

1.Титульный лист.

2.Задание.

3.Постановка задачи.

4.Результаты вычислений.

	Номер узла	x , мм	u , °С

Номер элемента		x , мм	du dx , °С/м

5.Графики u f (x), dudx f (x).

6.Определить среднюю температуру в первом и втором слоях.

7.Определить плотности тепловых потоков на границе раздела двух материалов со стороны первого слоя и со сторны второго слоя.

8.Код программы.

9.Выводы.

2. Одномерная осесимметричная задача электростатики

Рассмотрим электростатическую задачу определения потенциала в двухслойной изоляции коаксиального кабеля (рис. 2.1). Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат запишется следующим образом [5]:

r a

(2.1)

r r

где r , , z –	координаты в цилиндрической системе координат;
– электрический потенциал, В;		a – абсолютная диэлектрическая
проницаемость,	Ф/м, a 0 ; 0	– электрическая постоянная, Ф/м,

0 10 9 36 ; – относительная диэлектрическая проницаемость.

		y
	R2	2
	R2
		1
	R3	R1
	R3	x
		x
		0
	Рис. 2.1. Поперечное сечение
	коаксиального кабеля

Для плоскопараллельного поля в осесимметричной постановке 0 и z 0 . Сучетомэтогоуравнение (2.1) запишется как

1 d		d
	r		0.	(2.2)

r dr		dr

Дифференциальное уравнение (2.2) дополним граничными условиями:

U0 при r R1	;	(2.3)
0 при r R3 .		(2.3)
Необходимо найти распределение		потенциала по радиусу

с помощью метода конечных элементов (МКЭ).

Применение метода Галёркина [2, 3] к уравнению (2.2) даст

T		1	d		du
N				r	dV 0,	(2.4)

V	r		dr		dr

где u – приближенное решение; N T – транспонированная матрица

функций формы.

В результате преобразований уравнения (2.4) [2, 3] получим

d N

T du

rdr

R1 N

R3 N

0. (2.5)

Искомая функция u в уравнении (2.5)

определяется соотно-

шением

u N U ,

(2.6)

где U – вектор-столбец узловых неизвестных;

–

матрица

функций формы.

Матрица

одномерного

симплекс-элемемента

определяет-

ся как

Rj r

r R

(e)

(2.7)

N j

где L(e)

– длина конечного элемента, L(e)

R ;

R и

– коор-

динаты узлов конечного элемента.

Производная по радиусу

d N U

d N

U .

(2.8)

Здесь

d N

dNi

dN j

(e) 1

1 . (2.9)

N j

Матрица B называется матрицей градиентов.

С учетом (2.6)–(2.9) и того, что на левой и правой границах задано граничное условие первого рода (2.3), уравнение (2.5) запишется следующим образом:

R	B T B rdr U 0.
3	B T B rdr U 0.	(2.10)
R1

Вуравнении (2.10) U являются искомыми величинами.

Врезультате замены интегрирования по всей области на сумму интегралов по конечным элементам уравнение (2.10) перепишем

ввиде

k (e) U 0 ,			(2.11)
(e)
где k (e) B T B rdr – локальная матрица коэффициентов.
L( e)
Выражение (2.11) можно записать следующим образом:
K U G F ,			(2.12)
где K – глобальная матрица коэффициентов; F		– глобальный
вектор-столбец свободных членов; U G	– глобальный вектор-
столбец узловых неизвестных.
При условии, что r Ni Ri N j Rj и	L1a L2b dx	a!b!		L(e) ,
При условии, что r Ni Ri N j Rj и	L1a L2b dx	a b 1 !		L(e) ,
	e	a b 1 !

локальная матрицакоэффициентовопределяется следующимобразом:


(e)			T					1			1	1 Rj			Ni Ri		N j Rj dr
k			B		B rdr			1
k			B		B rdr				L(e)	2		1
	L(e )								L(e)		1	1	Ri
			1			1	1 L(e) Ri Rj							RСр 1			1
																	.	(2.13)
		L(e)		2			1				2			(e)			.	(2.13)
		L(e)				1	1				2			L		1	1

Распределение напряженности электрического поля по известному распределению потенциала вычисляется по формуле [5]

E	d	.	(2.14)

	dr

Емкость единицы длины коаксиального кабеля по результатам численных исследований может быть вычислена как

С		,	(2.15)

	U0

где – линейная плотность заряда,

2 a rE.

(2.16)

Здесь E – напряженность электрического поля при фиксированном значении радиуса r , полученная из уравнения (2.14).

Аналитические выражения для определения потенциала и напряженности электрического поля по радиусу двухслойной изоляции коаксиального кабеля запишутся следующим образом:

– при r R1 R2

		U0 ln R2			r											U0 ln R3				R2					; (2.17)
	1		R	1		ln			R			2		1	ln		R			1			R		; (2.17)
1		ln	R			ln		R				2			ln		R					ln	R
			2					3										2					3
1			1		2				2				1					1			2		2
– при r R2				R3
										U0 ln R3					r					;				(2.18)
								1			R			1		ln		R		;				(2.18)
							2			ln	R					ln		R
											2								3
								1				1			2				2
																								15

Ea					U0					.	(2.19)
Ea		1		R		1			R	.	(2.19)
		1		R		1			R
	r		ln	R				ln	R
				2					3
		1		1			2		2

Емкость коаксиального кабеля с двухслойной изоляцией вычисляется по аналитической формуле

Ca				2 0				.	(2.20)
	1		R2		1		R3

		ln				ln
	1				2
			R1				R2

Задание

Дан коаксиальный кабель с двухслойной изоляцией. К внутреннему проводнику приложен потенциал U0 , а внешний проводник

имеет нулевой потенциал. Найти распределение потенциала, напряженности электрического поля по толщине изоляции, емкость коаксиального кабеля по аналитическим формулам и по результатам численного решения задачи методом конечных элементов. Варианты заданий представлены в табл. 2.1.

						Таблица 2.1
		Варианты заданий

Номер	R1 , мм	R2 , мм	R3 , мм	1	2		U0 , кВ
варианта	R1 , мм	R2 , мм	R3 , мм	1	2		U0 , кВ
варианта
1	10	15,0	20,0	2	3		110
2	10	15,5	21,0	3	2		110
3	10	16,0	22,0	2	4		110
4	10	16,5	23,0	4	2		110
5	10	17,0	24,0	3	4		110
6	10	17,5	25,0	4	3		110
7	10	18,0	26,0	3	5		110
8	10	18,5	27,0	5	3		110
9	10	19,0	28,0	4	5		110
10	10	19,5	29,0	5	4		110

Окончание табл. 2.1

Номер	R1	, мм	R2 , мм	R3 , мм	1	2	U0 , кВ
варианта	R1	, мм	R2 , мм	R3 , мм	1	2	U0 , кВ
варианта		15
11		15	25,0	35,0	4	6	220
12		15	25,5	36,5	6	4	220
13		15	26,0	38,0	2	3	220
14		15	26,5	39,5	3	2	220
15		15	27,0	41,0	2	4	220
16		15	27,5	42,5	4	2	220
17		15	28,0	44,0	3	4	220
18		15	28,5	45,5	4	3	220
19		15	29,0	47,0	3	5	220
20		15	29,5	48,5	5	3	220
21		10	15,5	21,0	3	4	110
22		10	16,0	22,0	4	3	110
23		15	23,0	37,0	3	5	220
24		15	24,5	39,0	5	3	220

Содержание отчета:

1.Титульный лист.

2.Задание.

3.Постановка задачи.

4.Аналитические формулы.

5.Результаты вычислений.

Номер узла	r , мм	u , В	, В	u	100 %

				U0

Номер элемента		r , мм	E , В/мм	Ea , В/мм	E Ea	100 %

					Ea
6.	Графики u f (r),		E f (r).
7.	Емкости C и Ca .
8.	Код программы.
9.	Выводы.

3. Одномерная осесимметричная задача магнитостатики

Рассмотрим в осесимметричной постановке магнитостатическую задачу определения векторного магнитного потенциала одиночного проводника (рис. 3.1). Дифференциальное уравнение для магнитного потенциала имеет вид [5]

1 d		dA
	r		a J 0,	(3.1)

r dr		dr
где A – магнитный потенциал (в одномерной осесимметричной по-
становке направлен по координате			z ), В с/м;	a – абсолютная маг-
нитная проницаемость, Гн/м,		a 0 ; –		относительная магнит-

ная проницаемость; 0 – магнитная			постоянная, Гн/м, 0	4 10 7 ;
J – плотность тока, А/м2, J I S	C	;	I – заданный ток, А;	S	C	– се-
	C				C

чение токопроводящей жилы, м2.

Дифференциальное уравнение (3.1) дополним граничными условиями:

dA		0 при r 0;
		0 при r 0;			(3.2)
dr					(3.2)
	0 при r .
A	0 при r .
		0	RC	R0	r
Рис. 3.1. Поперечное сечение
одиночного проводника

Применение метода Галёркина к уравнению (3.1) даст

T		1	d		du
N				r		a J dV 0,

V	r		dr		dr

где u – приближенное решение.

В результате преобразований уравнения (3.3) получим

R0 d N		T	du	RC	T		T du r R0
			rdr		N	a Jrdr R0	N		0.
	dr
			dr					dr
0				0

(3.3)

(3.4)

Искомая функция u , производная от нее, матрицы функции формы и градиентов одномерного симплекс-элемента определяются выражениями (2.6)–(2.9).

Тогда первый интеграл уравнения (3.4) преобразуется к виду

d N

rdr

rdr U

0 B T

B rdr U .

(3.5)

Поскольку

уравнении

(3.4) в

выражении

T du r R0

R0 N

имеется производная dudr , то для реализации граничного условия

A 0 при r используется граничное условие Робина [6]:

du	r R0	1 u	r R0		(3.6)

				,

dr

где – расстояние от центра проводника до границы расчетной об-

ласти. Тогда

T du

r R

r R0

N U

. (3.7)

Граничное условие при r 0 выполняется по умолчанию. Уравнение (3.4) сучетомвыражений(3.5) и (3.7) запишется как

R	R
0 B T B rdr U N T N U r R0	C N T a Jrdr. (3.8)
0	0

Уравнение (3.8) при переходе к сумме интегралов по конечным элементам запишем в виде

k (e)

(e)


U k (e) U f (e)		,	(3.9)

где k (e)		B T B				r R0 ;	f (e)	a
где k (e)		B T B	rdr;	k (e)	N T N	r R0 ;	f (e)		J
	L( e )

N T rdr.

L( e )

Локальная матрица k (e) вычисляется в соответствии с выражениями (2.13):

(e)	R	1		1
k	Ср				.	(3.10)
	(e)		1	1
	L

Матрица k (e) на правой границе определится как


k (e)	N T N	r R0	0	0	.	(3.11)
			0	1

Правая часть в уравнении (3.9) находится следующим образом:

f (e) a J N T

Ni Ri

N j Rj dr

rdr a J

L( e)

L( e ) N j

(e)

a J Ri Ni

Rj Ni N j2

a J L

2Ri Rj .

(3.12)

( e ) R N

Ri 2Rj

L i i

Напряженность магнитного поля по результатам вычисления векторного магнитного потенциала методом конечных элементов определяется по формуле [5]

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202312.71 Mб3Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей..pdf
#
12.11.202321.38 Mб4Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ..pdf
#
19.11.202332.73 Mб17Решение практических задач при бурении и освоении скважин..pdf
#
12.11.202312.02 Mб0Решение технологических проблем действующего производства средствами автоматизации. Производство калийных удобрений.pdf
#
12.11.20235.01 Mб1Решение частных задач оптимизации для инженерных систем зданий..pdf
#
12.11.2023944.52 Кб1Решение электротехнических задач методом конечных элементов..pdf
#
12.11.2023963 Кб6Риторика и ораторское искусство..pdf
#
12.11.20238.54 Mб1Робот. Компьютер. Гибкое производство.pdf
#
19.11.202351.95 Mб0Рок в Союзе 60-е, 70-е, 80-е..pdf
#
12.11.202310.45 Mб2Роликовые и дисковые конвейеры и устройства..pdf
#
12.11.20231.53 Mб1Роль фаворитизма в социальном процессе..pdf