книги / Решение электротехнических задач методом конечных элементов

где m – индекс, отвечающийза временной слой; h – шаг по времени. Тогда с учетом (7.19) выражение (7.18) запишется как [3]

где – весовой коэффициент ( 0 – явная разностная схема; 1 –

неявная разностная схема.

С учетом значений весовых коэффициентов выражение (7.20)

преобразуется кматричному уравнению следующим образом [3]:

– для явной схемы

Необходимо отметить, что явная разностная схема обладает устойчивостью при определенном соотношении между шагами по пространственной и временной координатам. Неявная схема являются абсолютно устойчивой [3].

Задание

Рассмотрим процесс охлаждения провода (рис. 7.1) после наложения изоляционного слоя на экструзионной линии.

В нулевой момент времени задана температура токопроводящей жилы tЖ0 и температура изоляции на выходе из кабельной го-

51

с окружающей средой на внешней поверхности провода определяется граничным условием третьего рода. Заданы коэффициенты теплоотдачи ( 1 и 2 ) и температуры воды ( t01 и t02 ) первой и второй

зон охлаждения. Для нечетных вариантов токопроводящие жилы медные, для четных – алюминиевые. Для нечетных вариантов материалом изоляции является блок-сополимер пропилена с этиленом, для четных – полиэтилен. Теплофизические параметры материалов приведены в табл. 7.1. Варианты заданий представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.1 Теплофизические характеристики материалов

Материал , Вт/(м· С) , кг/м3 c , Дж/(кг· С)

Таблица 7.2

Варианты заданий

Окончание табл. 7.2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. – М.: Энергоиздат. 1981. – 416 с.

2.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. –

М.: Мир, 1979. – 392 с.

3.Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 896 с.

4.Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987. – 287 с.

5.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: учебник для бакалавров. – М.: Юрайт, 2012. – 317 c.

6.Chen Q., Konrad A., Baronijan S. Asymptotic boundary conditions for axisymmetric finite element electrostatic analysis // IEEE Transactions on Magnetics. – 1994. – Vol. 30, no. 6. – P. 4335–4337.

7.Основы кабельной техники. Под ред. И. Б. Пешкова. – М.:

Академия. 2006. – 427 с.

8.Weiss J., Csendes Z. A one-step finite element method for multiconductor skin effect problems // IEEE Trans. Power Appar. and Syst. – 1982. – Vol. 101. – P. 3796–3803.

9.Андреев В.А., Портнов Э.Л., Кочановский Л.Н. Направляющие системы электросвязи: учебник для вузов: в 2 т. Т. 1. Теория передачи и влияния. – М.: Горячая линия – Телеком, 2009. – 424 с.

54

ПРИЛОЖЕНИЕ

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса

Метод Гаусса относится к прямым методам решения системы линейных алгебраических уравнений [4]. Пусть имеется N уравне-

Решение системы уравнений (П.1) методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система (П.1) приводится к треугольному виду.

Вначале производится исключение из всех уравнений, кроме первого, величины u1 . Для этого, оставляя первое уравнение неиз-

менным, из второго уравнения вычитают первое уравнение, умноженное на a21 a11 ; из третьего уравнения вычитают первое, умно-

женное на a31 a11 , и т.д. Таким образом, данная процедура выполня-

ется для всех уравнений, начиная со второго и заканчивая последним. В результате преобразования система уравнений принимает вид

фициенты системы уравнений определяются следующим образом:

На втором этапе (обратный ход) из последнего уравнения выражается переменная uN :

a( N 1)

uN f NN( N 1) .

N

Затем с учетом найденной переменной uN определяется переменная uN 1 :

56

Таким образом, последовательно перемещаясь вверх по системе уравнений (П.4), вычисляют искомые неизвестные uN 2 , uN 3 , …,

u1 . При этом все диагональные коэффициенты должны быть отличны от нуля.

Метод прогонки

При решении систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей широкое применение находит эффективный метод прогонки, который является модификацией прямого метода Гаусса. Указанные системы уравнений получаются при решении дифференциальных уравнений методами конечных разностей и конечных элементов.

Систему алгебраических уравнений запишем в виде [4]

u – вектор-столбец неизвестных;

u1u2...

u ui ;...

uN 1uN

f – вектор столбец свободных членов

Матрица коэффициентов A является ленточной трехдиаго-

нальной матрицей.

При решении системы алгебраических уравнений (П.5) или (П.6) методом прогонки на первом этапе (прямой ход) определяются прогоночные коэффициенты:

58

где i 2,3,..., N 1 ; 2 1 ; 2 1 .

На втором этапе (обратный ход) определяются неизвестные:

где i N 1, N 2,..., 2,1 .

59

Учебное издание

ЩЕРБИНИН Алексей Григорьевич, СУББОТИН Евгений Владимирович

РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Учебно-методическое пособие

Редактор и корректор Е.И. Герман

Подписано в печать 17.07.2020. Формат 60 90/16. Усл. печ. л. 3,75. Тираж 73 экз. Заказ № 15б/2020.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.