книги / Математические основы теории систем. Методы оптимизации

Поскольку в таблице нет отрицательных коэффициентов, то полученный план – оптимальный.

Ответ: x11 = 24;

x13 = x14 = 0; x21 = x22 = 0;

x23 = 40; x24 = 0; x31 = 0; x32 = 18; x33 = 8; x34 = 16.

Задания для самостоятельной работы

Дано: транспортная таблица двух выводов: а) размерность 3×4:

4.

6.

7.

8.

62

11.

12.

63

3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Признаки задач нелинейного программирования:

1.Нелинейная целевая функция.

2.Нелинейные ограничения.

Если в задаче присутствует хотя бы один признак, то она относится к задачам нелинейного программирования.

3.1. Методы поиска безусловного экстремума функции одной переменной

В задачах на поиск безусловного экстремума отсутствуют ограничения.

3.1.1. Аналитический метод

Постановка задачи: f(x) – функция одной переменной, требуется найти точки экстремума и определить вид экстремума.

1. Находится производная заданной функции и приравнивается нулю:

f′(x) = 0 .

2.Находятся корни полученного уравнения хi, i = 1,n , n – поря-

док уравнения.

3. Определение типа экстремума по второй производной:

Пример

f (x) = x2 + 5x + 6 ,

f ′(x) = 2x + 5 = 0 , x = −2,5 , f ′′(x) = 2 , тип экстремума – минимум.

64

3.1.2.Численные методы

Вэтих методах не требуется находить аналитическое значение производной.

3.1.2.1. Основные понятия и определения

Унимодальная функция – это функция, имеющая один экстремум, причем слева и справа от экстремума либо строго убывающая, либо строго возрастающая.

Интервал неопределенности. Отрезок [а, b] называется интерва-

лом неопределенности, если внутри него функция имеет экстремум.

Точность нахождения экстремума.

Положим х0 – точное значение экстремума, x′ – приближенное.

0

Тогда экстремум найден с точностью ε, если выполняется условие

Постановка задачи поиска экстремума численными методами

Дано:

1.Начальный интервал неопределенности [а0, b0].

1.Функция f(x), унимодальная на отрезке [а0, b0].

2.Точность нахождения экстремума (ε).

Требуется с заданной точностью ε на отрезке [а0, b0] найти экстремум функции f(x).

3.1.2.2. Метод ненаправленного поиска

1. Отрезок [а0, b0] делится на N частей, где N = b0 − a0 .

ε

2. Находятся координаты точек хi, расположенных внутри интервала неопределенности:

хi = а0 + (i – 1) ε, i = 1, N + 1.

3.Рассчитываются значения функции в точках f(хi).

4.Из полученных значений выбирается минимальное (максимальное):

F0 = min {f(xi)}, i = 1, (N+1),

Точка хi, соответствующая F0, – точка экстремума.

65

3.1.2.3. Метод дихотомии (деление отрезка пополам)

Достоинство алгоритма – простота, недостаток – низкая производительность (для ε = 1 % требуется рассчитать значения функции в

101точке).

1.Интервал неопределенности делится пополам.

2.Находятся значения функции в двух точках, отстоящих от цен-

тра на ε . 2

3.По результату сравнения этих значений отбрасывается та часть интервала неопределенности, в которой экстремума быть не может. При этом интервал неопределенности сокращается приблизительно наполовину.

4.На следующем интервале повторяются те же действия. Рассмотрим более подробно этот метод. Пусть требуется найти

минимум функции f(x) на интервале [а0, b0] (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Метод дихотомии

1. Находим координату центра интервала неопределенности:

66

3. Находим значения функции в точках х0′ и х0′′, f(х0′) и f(х0′′). Пусть f(х0′) > f(х0′′).

4. Отбрасываем частьотрезкалевеех0′′, таккактам минимума нет. Выводы по методу:

1.На каждом шаге приближения к экстремуму функция вычисляется дважды.

2.На начальных шагах интервал неопределенности уменьшается примерно наполовину. По мере приближения к экстремуму, когда

значение ε становится соизмеримым с интервалом неопределенности, уменьшается доля отбрасываемой части, т.е. отбрасываемая часть интервала неопределенности не постоянна, что является недостатком метода.

3. Достоинство метода – производительность выше, чем в методе ненаправленного поиска. (Для нахождения экстремума с ε = 1 % требуется 20 вычислений функции.)

Пример 1

Найти максимум унимодальной функции:

67

3.[a1,b1 ] = [0;0,52],

4.l1 = b1 − a1 = 0,52 ,

l1 > 2ε , следовательно, делаем еще шаг.

Пример 2

[a1,b1 ] = [0,495;1],

l1 = b1 − a1 = 0,505 > 0,02.

2. x1 = 0,7475, x1′ = 0,7425, x1″ = 0,7525,

F(x1′ ) = 1,472, F(x1″ ) = 1,474, [a2 ,b2 ] = [0,495;0,7525],

0,2575 > 0,02.

3. x2 = 0,624, x2′ = 0,619, x2″ = 0,629,

F(x2′ ) = 1,46606, F(x2″ ) = 1,4656, [a3 ,b3 ] = [0,619;0,7525],

0,13375 > 0,02.

4. И т.д.

3.1.2.4. Метод «золотого сечения»

Сечение отрезка называется «золотым», если отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Пусть

68

1. Находят координаты точек y0 и z0 .

z0 = b0 − (Y0 − a0 ) = a0 + b0 − Y0 .

2.Вычисляется функция в точках y0 и z0 .

3.Отбрасывается та часть интервала неопределенности, где экстремума быть не может.

Записываются новые координаты интервала.

Рис. 3.2. Метод золотого сечения

Положим, f(y0) > f(x0), тогда для поиска минимума отбрасывается левая часть интервала неопределенности (а0, y0). В этом случае

а1 = y0, b1 = b0, y1 = z0,

z1 = а1 + b1 – y1 (при отбрасывании правой части объекта y1 = а1 +

+b1 – z1).

4.Нахождение длины нового интервала и сравнение ее с 2ε:

l1 = b1 – а1.

При l1 ≤ 2ε решение найдено;

при l1 > 2ε делается еще один шаг, причем на каждом последующем шаге значение функции вычисляется только в одной точке (либо

в точке yк, либо в точке zк). Анализ метода:

1. На каждом шаге приближения к экстремуму интервал неопределенности уменьшается примерно на 38 %.

70