книги / Математические основы теории систем. Методы оптимизации

Далее по симплекс-методу выбирается разрешающий столбец (–6 – максимальный по модулю отрицательный коэффициент целевой функции), разрешающую строку (здесь разрешающей может быть любая строка, правая часть которой – 0), разрешающий элемент 1. Меняются местами переменные Y3 и Y4, причем столбец, соответствующий Y3, вычеркиваем из таблицы;

в) новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция: 0 – 0 + 2·0 – 4·0 + 0 = 0, 0 + 2·0 + 0 + 0 – 6·0 = 0, 0 + 3·0 + 1 = 1,

0 + 0 + 1 = 1.

Меняются местами переменные Y0 и Y5, причем столбец, соответствующий Y0, вычеркиваем из таблицы;

г) новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция: 0 – 0 + 2·3 – 4·0 + 0 = 0, 0 + 0 + 0 + 0 – 6·0 = 0, 0 + 3·0 + 1 = 1, 0 + 0 + 1 = 1.

81

Меняются местами переменные y2 и y6, причем столбец, соответствующий y2, вычеркиваем из таблицы;

д) новая симплекс-таблица:

Проверяются ограничения и целевая функция:

0 − 4 + 7 − 4 1 + 0 = 0 , 25 25 10

0 + 2 4 + 7 + 0 − 6 1 = 0 ,

0 + 0 = 0.

Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные делятся на базисные и свободные;

е) переход к исходной целевой функции:

Q = 3Y2 – 2Y3.

Записываются ограничения, полученные из итоговой симплекстаблицы:

Выразим базисные переменные через свободные, и подставим эти выражения в целевую функцию:

82

В итоге получена начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду.

Как видим, все коэффициенты целевой функции положительны, следовательно, решение оптимальное:

2. Задача приводится к каноническому виду методом искусственного базиса:

y1 − y2 + 2y3 − 4y0 + y5 = 0,− + + + − =

y1 2y2 y3 y4 6y0 0,+ + =

y2 3y3 y6 1.

Искусственная целевая функция: G = y4 + y5 + y6 → min.

Задания для самостоятельного решения

x2 ≤ 7, x1, x2 ≥ 0

83

3.4.1. Аналитический метод

Задана функция нескольких переменных f(х1, х2…хn) → min

Решаем полученную систему (3.12).

2. В результате решения находим вектора X1, X2 , Xk . 3. Определение типа экстремума.

Для определения типа экстремума для каждой точки Xi составляется матрица А следующего типа:

Тип экстремума находится из следующего положения:

– если все главные миноры матрицы А, найденные для точки Xi , положительны, то функция в этой точке имеет минимум;

–если все главные миноры матрицы (–А), найденные для точки Xi , положительны, то функция в этой точке имеет максимум;

–во всех остальных случаях функция в точке Xi , экстремума не

имеет.

Главный минор ∆i – это определитель подматрицы, получающейся из исходной путем отчеркивания i-й строки и i-го столбца.

Пример

F(x,y) = 3x3 – x + y3 – 3y2 – 1 .

Найти экстремумы заданной функции.

85

1= 1 , x2 = − 1 , y1 = 0, y2 = 2. 3 3

3.Для определения типа экстремума требуется рассмотреть четыре точки:

∆1 (– X2 ) = –а11 = 6 > 0, ∆2 (– X2 ) = а11 а22 – а12 а21 = 36> 0,

Следовательно, в точке X1 функция имеет максимум. Аналогично анализируются точки X3 и X4 .

86

Введем обозначения:

2. Делаем шаг в направлении антиградиента. Выражения для нахождения координат новой точки приближения к экстремуму выглядят следующим образом:

где α1 – величина шага в направлении антиградиента при 1-й итерации.

3. Нахождение величины шага.

В направлении антиградиента движемся до тех пор, пока функция убывает. Следовательно, шаг выбирается из условия минимума функции f(α1).

Для этого в функцию f(х1, х2… хn) подставляем выражения для координат новой точки (3.17).

В результате получим функцию одной переменной f(α1). Минимум f(α1) находим любым известным методом поиска экстремума функции одной переменной.

4. Полученное значение α1 подставляется в формулы (3.17).

Врезультате получаем точку X1 = (x11, …, xn1).

5.Проверка критерия окончания счета.

Если f (X1 ) − f (X0 ) < ε , то решение в точке X1 , иначе – требуется сделать еще шаг.

Пример 1

f(x1, x2) = x12 – 7x1 + x22 – 4x2 – x1x2 + 35, X0 = (1, 1), ε = 0,5.

Требуется найти минимум f(x1, x2).

90