книги / Методы решения жёстких и нежёстких краевых задач

следующих систем линейных алгебраических уравнений:

2.3. Замена метода численного интегрирования РунгеКутта в методе прогонки С.К. Годунова

В методе С.К. Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:

На каждом конкретном участке метода прогонки С.К. Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту однажды вычисленную матрицу Коши.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y (x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод РунгеКутта.

11

Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими

обыкновенными дифференциальными уравнениями

Предлагается выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:

Аналогично для правых краевых условий получаем:

VY (1) v ,

То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x :

[UK(0 x)] Y (x) u -UY (0 x) ,

Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y (x) в любой рассматриваемой точке x :

12

Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными

дифференциальными уравнениями

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:

есть выражения тех физических параметров, которые не входят в

ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y (0) из выражения:

то есть вектор Y (0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M .

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:

NY (1) n ,

где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

13

систему линейных алгебраических уравнений:

и подставим в предыдущую формулу:

Таким образом, мы получили систему уравнений вида:

откуда можем записать, что

14

А искомый вектор n вычисляется через вектор t :

15

Глава 5. Метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными

дифференциальными уравнениями

Формула для начала счета с левого края только с половиной возможных констант:

Из теории матриц [Гантмахер] известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

Y (0) MортоT c UортоT uорто MортоT 0 ,

Таким образом, записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

16

или

Таким образом, мы получили выражение вида:

Таким образом, искомые константы найдены.

17

Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими

обыкновенными дифференциальными уравнениями

6.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

U1[K(x1 x2 )Y(x2 ) Y (x1 x2 )] u1 ,

U1K(x1 x2 )Y (x2 ) u1 U1Y (x1 x2 ) .

18

и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края.

Покажем шаги переноса краевых условий правого края. Можем записать:

Или получаем краевые условия правого края, перенесенные в точку

Далее запишем аналогично

Y (xn 1 ) K(xn 1 xn 2 )Y (xn 2 ) Y (xn 1 xn 2 )

И подставим это выражение для Y (xn 1 ) в перенесенные краевые условия точки xn 1 :

Vn 1Y(xn 1 ) vn 1 ,

Vn 1[K(xn 1 xn 2 )Y (xn 2 ) Y (xn 1 xn 2 )] vn 1 ,

Vn 1K(xn 1 xn 2 )Y (xn 2 ) vn 1 Vn 1Y (xn 1 xn 2 ) .

19

переносим матричное краевое условие, как показано, и с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

6.2.Случай «жестких» дифференциальных уравнений

Вслучае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U1ортоY (x1 ) u1орто .

20