книги / Методы решения жёстких и нежёстких краевых задач
..pdfU |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
Y (x |
) |
|
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K (x |
x |
) |
|
E |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
Y |
(x |
|
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (x |
) |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
K (x |
|
x ) |
E |
|
0 |
|
1 |
|
Y |
(x |
|
x ) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Y (x |
) |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0 |
K (x |
|
x |
) |
E |
|
2 |
|
Y |
(x |
|
x |
) |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Y (x |
) |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
V |
|
3 |
|
|
|
|
v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.
Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.
В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:
Y (x)
K(x
x )Y (x ) Y |
|
(x |
|
|
|||
i |
i |
|
|
xi )
.
8.2. Составные оболочки вращения
Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения. Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться
своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:
В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор P12 (x) ) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор Y12 (x) ) следующим образом:
P12 (x) M12Y12 (x) ,
где матрица M12 - квадратная невырожденная.
При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения x1 ):
31
P |
(x ) P |
|
|
01 |
1 |
01 12 |
|
L |
P |
(x ) |
01 12 |
12 |
1 |
,
где
P 01 12
- дискретное приращение физических параметров (сил,
моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица
L01 12
квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.
Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:
M Y |
(x ) P |
|
|
01 01 |
1 |
01 12 |
|
L |
M Y |
(x ) |
01 12 |
12 12 |
1 |
.
В точке сопряжения
x |
2 |
|
аналогично получим уравнение:
M Y |
(x ) P |
|
|
12 12 |
2 |
12 23 |
|
L |
M Y |
(x ) |
12 23 |
23 23 |
2 |
.
Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:
U |
0 |
K (x1 x0 ) |
E |
0 |
K (x2 x1 ) |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
Y (x0 ) |
|
u |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
Y (x x |
) |
|||
|
|
|
|
|
Y (x1 ) |
|
1 |
0 |
|
|
E |
|
0 |
Y (x |
2 |
x ) . |
|||
|
|
|
|
|
Y (x2 ) |
|
1 |
|
|
K (x |
3 |
x |
) |
E |
Y (x |
3 |
x |
) |
|
|
2 |
|
|
Y (x3 ) |
|
2 |
|
||
|
0 |
|
|
V |
|
v |
|
||
|
|
|
|
|
|
Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои
дифференциальные уравнения. |
|
Тогда вместо векторов Y (x0 ) , |
Y (x1 ) , Y (x2 ) , Y (x3 ) мы должны |
рассмотреть вектора: |
|
Y01 (x0 ),Y01 (x1 ),Y12 (x1 ),Y12 (x2 ),Y23 (x2 ),Y23 (x3 ) .
32
Тогда матричные уравнения
EY (x ) K(x |
|
1 |
1 |
EY (x ) K(x |
|
2 |
2 |
EY (x ) K(x |
|
3 |
3 |
UY (x |
) u, |
0 |
|
VY (x |
) v. |
3 |
|
x0 )Y (x0 ) Y (x1
x1 )Y (x1 ) Y (x2
x2 )Y (x2 ) Y (x3
x0 ) ,
x1 ) ,
x2 )
примут вид:
|
|
|
|
|
|
UY |
01 |
(x |
) u, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VY |
23 |
(x |
3 |
) v. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
EY |
(x ) K |
01 |
(x |
x |
)Y |
(x |
) |
||||||||
01 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
01 |
0 |
|
|
M Y |
|
(x ) P |
|
|
|
L |
|
||||||||
|
01 01 |
|
|
1 |
|
|
|
01 12 |
|
|
01 12 |
||||
EY |
(x ) K |
(x |
x )Y |
(x ) |
|||||||||||
12 |
2 |
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
1 |
|
12 |
1 |
|
|
M Y |
(x ) P |
|
|
L |
|
||||||||||
|
12 12 |
|
|
|
2 |
|
12 23 |
|
|
12 23 |
|||||
EY (x ) K |
23 |
(x |
x |
)Y |
(x |
) |
|||||||||
23 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
23 |
2 |
|
* |
(x1 |
x0 ), |
Y01 |
||
M12Y12 (x1 ) , |
||
* |
(x2 |
x1 ), |
Y12 |
||
M23Y23 (x2 ) , |
||
* |
(x3 |
x2 ) . |
Y23 |
После перестановки слагаемых получаем:
|
|
|
|
|
|
UY |
01 |
(x |
) u, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VY |
23 |
(x |
) v. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
K |
01 |
(x |
x |
)Y |
(x |
|
) |
EY |
(x ) |
||||||
|
|
1 |
|
0 |
01 |
0 |
|
|
01 |
|
|
1 |
|||
|
M |
|
Y |
(x ) L |
|
|
|
M Y |
|
(x ) |
|||||
|
|
|
01 01 |
1 |
01 12 |
12 12 |
|
1 |
Y |
* |
(x |
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
P01 12 |
, |
x |
) |
0 |
|
,
K12 (x2 x1 )Y12 (x1 ) EY12 (x2 ) Y12* (x2 x1 ),
M Y |
(x ) L |
M Y |
(x ) |
|
12 12 |
2 |
12 23 |
23 23 |
2 |
P12 23
,
K23 (x3 x2 )Y23 (x2 ) EY23 (x3 ) Y23* (x3 x2 ) .
Витоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:
33
|
|
U |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
Y |
|
(x |
|
) |
|
|
|
|
u |
|
|||||
K |
|
(x |
x |
) |
E |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
01 |
0 |
|
Y |
* |
(x |
|
x |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
(x |
) |
|
|
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
M |
|
L |
|
M |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
P |
|
||||||||
|
|
|
|
01 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
01 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
(x |
) |
|
|
|
|
|
01 12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
K |
|
(x |
|
x ) |
E |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
12 |
|
1 |
|
|
Y |
(x |
|
x ) |
||||||
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
(x |
|
) |
|
|
12 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
M |
|
L |
|
M |
|
|
0 |
|
12 |
|
|
|
|
P |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 23 |
|
|
|
|
Y |
|
(x |
|
) |
|
|
|
|
|
12 23 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
K |
|
(x |
|
x |
) |
E |
|
23 |
2 |
|
Y |
* |
(x |
|
x |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Y |
|
(x |
) |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
V |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
v |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.
В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:
Y (x)
K(x
x )Y (x ) Y |
|
(x |
|
|
|||
i |
i |
|
|
xi )
.
Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.
8.3. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями
Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке x1 ) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.
Выше мы записывали, что:
P |
(x ) P |
L |
P |
(x ) |
|
01 |
1 |
01 12 |
01 12 |
12 |
1 |
Можем представить вектор в виде:
P |
(x |
01 |
1 |
P01 (x1 )
) силовых факторов и перемещений
R01 (x1 ) ,
S01 (x1 )
34
где
R |
(x ) |
01 |
1 |
- вектор перемещений,
S |
(x ) |
01 |
1 |
- вектор сил и моментов.
Алгебраическое уравнение для шпангоута:
GR S ,
где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений
шпангоута, S |
– вектор силовых |
факторов, которые |
действуют на |
||||||||||||||||||
шпангоут. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке шпангоута имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R 0, S GR , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то есть нет разрыва в перемещениях |
|
R 0 |
, но есть результирующий |
||||||||||||||||||
вектор силовых |
факторов |
S GR , |
который складывается из сил и |
||||||||||||||||||
моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута. |
|||||||||||||||||||||
|
P01 |
(x1 ) |
R |
L01 12 P12 (x1 ) |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P01 |
(x1 ) |
0 |
|
L01 12 P12 (x1 ) |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
GR |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
(x |
) |
|
0 |
|
L |
|
R |
(x |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
01 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12 |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S |
|
(x ) |
|
GR |
|
01 12 |
S |
|
(x ) |
|
|
|
|
|||||||
|
01 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
M 01Y01 |
(x1 ) |
0 |
|
L01 12 M12Y12 (x1 ) , |
|
|
||||||||||||||
|
GR |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M01Y01 (x1 ) g |
* |
L01 12 M12Y12 (x1 ) , где |
g |
* |
|
0 |
, |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GR |
|
что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:
|
|
|
R |
(x |
) |
|
|
P |
(x ) |
|
01 |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
01 |
1 |
|
S |
|
(x |
) |
|
|
|
|
01 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется |
|||||||
сначала из перемещений (выше) |
R01 |
(x1) , |
а потом из силовых факторов |
||||
(ниже) S01(x1) . |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь необходимо вспомнить, |
что |
вектор перемещений R01(x1) |
выражается через искомый вектор состояния Y01(x1) :
35
|
|
|
|
|
g* |
0 |
|
|
|
0 |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
GR |
|
GR (x ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
11 |
||||
P |
(x ) |
|
01 |
1 |
M |
Y |
|
(x ) |
M |
Y |
|
(x ) |
|
||||
|
|
|
01 |
|
01 |
|
p |
||||||||||
01 |
1 |
S |
|
(x ) |
|
01 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
M |
|||
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где для удобства было введено переобозначение Тогда можем записать:
M M
M
p 12
p 22
01
Y01
M
(x |
) |
1 |
|
p |
. |
|
,
R |
(x ) |
M |
p |
|
11 |
||||
01 |
1 |
|
M |
p |
|
12 |
||
|
Y |
(x |
) |
01 |
1 |
|
,
g |
* |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0...0 |
|
|
Y |
(x ) |
|
|
0 |
|
|
|
Y |
(x ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GR |
(x ) |
|
G |
M |
p |
M |
p |
Y |
(x ) |
|
G |
M |
p |
M |
p |
|
01 |
1 |
G |
M |
p |
M |
p |
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
11 |
12 |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем матричные уравнения для этого случая:
|
|
|
|
|
UY |
01 |
(x |
) u, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
VY |
|
(x |
) v. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
EY |
(x ) K |
|
|
(x |
x )Y |
(x |
|
) Y |
* |
|
(x |
|||||
01 |
|
|
|
|||||||||||||
01 |
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
01 |
0 |
01 |
1 |
|||||
|
M Y |
|
(x ) g |
* |
L |
|
M Y |
|
(x ) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
01 01 |
|
1 |
|
|
|
|
01 12 |
|
12 12 |
|
1 |
|||
EY |
(x |
) K |
|
(x |
x )Y |
(x ) Y |
* |
|
(x |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
12 |
2 |
|
12 |
2 |
|
|
|
1 |
12 |
1 |
12 |
2 |
,
x |
0 |
) |
|
|
x1 )
,
.
Распишем здесь в уравнении вектор g* :
M |
Y |
(x ) |
|
0 |
|
|
Y |
(x ) L |
M |
Y |
(x ) |
||
|
p |
|
p |
||||||||||
|
01 01 |
1 |
|
G M |
M |
01 |
1 |
01 12 |
|
12 12 |
1 |
||
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(M 01 |
|
0 |
M p ) Y01 (x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 ) . |
|||||||||
|
G M p |
||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
,
Для обеспечения негромоздкости введем обозначение:
(M 01 |
|
0 |
|
p ) M * . |
G M |
p |
M |
||
|
11 |
12 |
||
|
|
|
Тогда уравнение
36
M Y |
(x ) g |
* |
L |
M Y |
(x ) |
|
|||||
01 01 |
1 |
|
01 12 |
12 12 |
1 |
примет вид:
* |
(x ) |
M Y |
|
01 |
1 |
L |
M Y |
01 12 |
12 12 |
(x1 )
.
Для удобства переставим слагаемые в матричных уравнениях, чтобы итоговая система линейных алгебраических уравнений записывалась очевидно:
|
|
|
|
UY |
01 |
(x |
) u, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VY |
|
(x |
) v. |
|
|
||
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
K |
|
(x |
x |
)Y |
(x |
) EY |
(x ) Y |
* |
|||
01 |
|
||||||||||
|
1 |
0 |
01 |
0 |
|
|
01 |
1 |
01 |
||
|
|
|
* |
(x ) L |
|
M Y |
(x ) |
||||
|
|
M Y |
|
||||||||
|
|
|
01 |
1 |
|
01 12 |
12 12 |
1 |
|
||
K |
(x |
x )Y |
(x ) EY |
(x |
) Y |
* |
|||||
|
|||||||||||
|
12 |
2 |
1 |
12 |
1 |
|
|
12 |
2 |
12 |
(x1 0 ,
(x2
x |
) |
0 |
|
x1 )
,
.
Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений:
|
|
U |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
u |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|||
K |
|
(x |
x |
) |
E |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
01 |
0 |
|
Y |
(x |
|
x |
) |
||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
||||||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
) |
|
1 |
0 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
M |
|
L |
|
M |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
* |
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 12 |
|
12 |
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
K |
|
(x |
|
x ) |
E |
|
12 |
1 |
|
Y |
(x |
|
x ) |
|||
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Y |
(x |
) |
12 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
V |
|
12 |
2 |
|
|
|
|
v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Если к шпангоуту приложено внешнее силовое-моментное
воздействие g p , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g* |
|
следует переписать в виде g* |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
, тогда: |
|||||||
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
GR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GR g p |
|
GR (x ) g p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
g* |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0...0 |
Y (x ) |
0 . |
|
||||
|
|
p |
p |
Y01 (x1 ) g |
p |
|
|
p |
p |
|
||||||||
|
|
|
G M11 |
M12 |
|
|
G M11 |
M12 |
|
01 |
1 |
|
g p |
|
||||
Тогда матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M 01Y01 (x1 ) |
0 |
|
|
Y01 (x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
G M p |
M p |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примет вид:
37
M |
Y |
(x ) |
|
0 |
|
|
p |
||||
|
01 01 |
1 |
|
G M |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(x |
|
|
|
M Y |
||
|
|
|
|
01 |
1 |
M )
p |
Y |
|
|
01 |
|
12 |
|
|
L |
|
M |
01 12 |
|
(x ) |
|
0 |
|
|||
|
|
p |
||||
|
1 |
|
g |
|
||
|
|
|
|
|
||
12 |
Y |
(x |
) |
|||
12 |
|
1 |
|
|
|
L |
|
M Y |
(x ) |
01 12 |
12 12 |
1 |
|
0 |
|
|
|
g |
p . |
|
|
|
|
|
,
Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:
|
|
U |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y01 |
(x0 ) |
|
* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
|
x |
) |
||||||
K |
|
(x |
x |
) |
E |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
0 |
|
|||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
M |
|
L |
|
M |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
01 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 12 |
|
12 |
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
g |
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
K |
|
(x |
|
x ) |
E |
|
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
* |
(x |
|
x |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
2 |
|
1 |
|
|
Y |
(x |
|
) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
V |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
8.4. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора,
состоящие из конкретных физических параметров
Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и шпангоут выражаются через вектора состояния (типа Y12 (x) ), которые (в частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа P12 (x) - перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа M12 будут единичными: M 12 E . И пусть положительные направления физических параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута ( L01 12 E ).
Тогда будем иметь уравнения:
|
P |
|
12 |
P |
(x ) |
01 |
1 |
(x) M |
Y |
(x |
|
|
12 |
12 |
|
P |
L |
01 12 |
01 12 |
) , |
|
P |
(x ) |
12 |
1 |
,
M01Y01 (x1 ) P01 12 L01 12 M12Y12 (x1 ) ,
в виде:
P12 (x) EY12 (x) ,
P01 (x1 ) P01 12 EP12 (x1 ) ,
EY01 (x1 ) P01 12 EY12 (x1 ) ,
где E – единичная матрица.
38
Уравнения
M Y |
(x ) g |
* |
|
|
|
||||
01 |
01 |
1 |
|
|
L |
M Y |
01 12 |
12 12 |
(x1 )
,
|
|
|
|
P |
(x ) |
|
|
|
0 |
|
|
|
L |
P |
(x ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||||||||
|
|
|
|
01 |
|
1 |
GR |
|
(x ) |
g |
|
|
01 12 |
12 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
11 |
||||||
P |
(x ) |
|
01 |
1 |
|
M |
Y |
|
(x ) M |
Y |
|
(x ) |
|
|
||||
|
|
|
|
01 |
|
01 |
|
|
p |
|||||||||
01 |
1 |
S |
|
(x ) |
|
01 |
|
1 |
|
|
|
1 |
M |
|||||
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R (x ) M p |
M p |
|
Y (x ) , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
11 |
|
|
12 |
01 |
1 |
|
|
,
M p 12
M p 22
Y |
01 |
(x |
) |
|
1 |
|
,
g |
* |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G M |
p |
M |
|
p |
Y |
(x ) |
|
g |
p |
|
G M |
p |
M |
p |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
11 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
примут вид:
EY01 (x1 ) g |
* |
EY12 |
(x1 ) , |
|
Y |
(x ) |
01 |
1 |
|
0 |
||
g |
p |
||
|
|||
|
|
,
|
|
EY |
|
(x ) |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
01 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
GR |
|
(x ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P |
(x ) |
|
01 |
|
1 |
|
|
|
EY |
|
(x ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
01 |
||||||||
01 |
1 |
S |
|
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(x ) E |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
1 |
|
|
|
M 0
|
p |
|
EY |
(x ) |
|
g |
|
12 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
(x ) |
|
E |
|
|
|
|||
Y |
01 |
|
|
||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Y01 |
(x1 ) , |
|
|
,
0 |
Y |
01 |
(x |
) |
|
||||
E |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
g |
* |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GR |
(x ) |
|
g |
p |
|
G E |
0 |
Y |
|
(x ) |
|
g |
p |
|
G E |
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
А уравнения
|
Y |
01 |
(x |
) |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
g |
p |
||
|
|||
|
|
.
M |
Y |
(x ) |
|
0 |
|
|
Y |
(x ) |
0 |
L |
|
M Y |
(x ) |
|||
|
p |
|
p |
|
p |
|
||||||||||
|
01 01 |
1 |
|
G M |
M |
01 |
1 |
g |
|
01 12 |
12 12 |
1 |
||||
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 ) |
|
p . |
|
|
||||||||
|
|
|
M Y01 |
g |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примут вид:
EY |
|
(x ) |
0 |
|
Y |
|
(x ) |
0 |
EY |
(x ) |
, |
|||
01 |
|
|
01 |
|
p |
|||||||||
|
|
1 |
G E |
0 |
|
1 |
g |
12 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M *Y |
(x ) EY |
(x ) |
|
0 |
, где (E |
0 |
|
) M * |
||||||
01 |
|
1 |
12 |
1 |
|
g p |
|
|
|
|
G E |
0 |
|
|
,
Итоговая система линейных алгебраических уравнений
39
|
|
U |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y01 |
(x0 ) |
|
* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
|
x |
) |
||||||
K |
|
(x |
x |
) |
E |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
|
0 |
|
|||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
M |
|
L |
|
M |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
01 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 12 |
|
12 |
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
g |
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
K |
|
(x |
|
x ) |
E |
|
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
* |
(x |
|
x |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
2 |
|
1 |
|
|
Y |
(x |
|
) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
V |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примет вид:
|
|
U |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K |
|
(x |
x |
) |
E |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
01 |
0 |
|
|
|||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
E |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
01 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(x |
) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
K |
|
(x |
|
x ) |
E |
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Y |
(x |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
V |
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
где |
M |
|
( E |
0 |
|
|
|
) ( E |
|
0 |
|
) |
|||||||
|
* |
4 x8 |
|
|
|
|
4 x8 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x8 |
|
G E |
0 |
|
8x8 |
|
G |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x4 4 x4 |
4 x4 |
|
|
|
4 x4 |
4 x4 |
|
|
Это означает, что уравнение
Y |
* |
|
|
01 |
|
Y |
* |
|
|
12 |
|
E |
|
4 x4 |
|
G |
|
4 x4 |
|
|
u |
|
|
|
(x |
|
x |
) |
||
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
g |
p |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
(x |
2 |
x |
) |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
4 x4 |
|
||||
|
|
||||
|
E |
|
|
|
|
4 x4 |
|
|
,
* |
(x ) EY |
(x ) |
0 |
||
M Y |
|
p |
|||
01 |
1 |
12 |
1 |
g |
|
|
|
|
|
|
принимает вид:
|
E |
|
0 |
|
(x ) EY |
(x ) |
0 |
|
||||
|
4 x4 |
4 x4 Y |
g |
|
|
|||||||
|
G |
|
E |
01 |
1 |
|
12 |
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 x4 |
4 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
0 |
R |
(x ) |
|
E |
0 |
R |
(x ) |
|
0 |
||
4 x4 |
4 x4 |
|
01 |
1 |
4 x4 |
4 x4 |
12 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
S |
|
(x ) |
|
S |
(x ) |
|
|
g |
||||
G |
E |
|
|
0 |
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
4 x4 |
4 x4 |
|
01 |
1 |
|
4 x4 |
4 x4 |
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R01 (x1 ) R12 (x1 ) 0 , (нет скачка в перемещениях и угле) и
GR01 (x1 ) S01 (x1 ) S12 (x1 ) g p - равновесие шпангоута, то есть:
(перемещения и угол: нет разрыва)
S01 (x1 ) S g p S12 (x1 ) , где S GR01 (x1 ) (силы и момент: равновесие).
40