книги / Пакеты прикладных программ

Далее нужно определить деформированное состояние балки. Для этого удобно ввести локальные координаты (t, n), связанные с аксиальным элементом балки (рис. 22).

y

p

Q

Рис. 22. Локальные координаты (q, p), связанные с аксиальным элементом

балки: Q – перерезывающая сила, Т –продольная сила и МА – изгибающий момент, действующие на мысленно вырезанный участок АВ балки

Определяющее соотношение перепишем в виде

(q, p) A B (q, p),

где (q, p) – локальные координаты, связанные с аксиальным сечением.

Предполагая, что при изгибе балки имеет место классическая гипотеза плоских сечений, получим

(q, p) 0 (q) k(q) p,

где учитываются только продольные (вдоль оси балки) нормальные напряжения. Здесь 0 (q) означает скорость деформации

элемента балки dq, лежащего вдоль нейтральной оси, k(q) p –

скорость деформации вследствие поворота сечений, k кривизна нейтральной оси.

51

Параметры деформации 0 (q) и k(q) определяются с помощью уравнений равновесия (рис. 23).

p

dS

Q

0 σdS M A

T q

Рис. 23. Усилия в поперечном сечении балки

Изгибающий момент M A (q) и аксиальная (продольная) сила T (q) определяются условиями равновесия выделенной части балки, а именно:

(q, p)dS T (q),

S

(q, p)ndS M A (q).

S

Здесь S площадь поперечного сечения балки; аксиальная сила T (q) определяет ростовую деформацию; изгибающий момент M A (q) есть мера изгиба в данном сечении.

Уравнения равновесия для выделенной части АВ балки (см. рис. 21) имеют вид

M A M A (q) Fy (xB xA ) Fx ( yB yA ) 0,

52

где Fx и Fy проекция силы F на оси Ох и Оу соответственно;угол наклона касательной к оси балки в точке А, Q перерезывающая сила в сечении. Далее, как это обычно делается в теории балок, влиянием силы Q(q) можно пренебречь.

Совместное решение уравнений позволяет найти

0 (q) T (q) B A,

S

k(q) M A (q) B , I A

где I A момент инерции поперечного сечения; T (q) и MA (q) определяются из последней системы уравнений.

Для определения изогнутой оси балки нужно сначала проинтегрировать по времени последнюю формулу для k(t) при начальном условии: при t 0 k k0 (q) , что позволит найти зависимость k(q, t).

При малой кривизне изогнутой оси и малом удлинении нейтральной оси можно приближенно считать, что q x .

Тогда получим

k(x, t) d 2 y , dx2

где y вертикальное перемещение оси балки.

Дважды интегрируем по х последнее соотношение с учетом граничного условия для консольно защемленной балки.

Этим завершается определение конфигурации изогнутой оси балки, испытывающей ростовые деформации под действием силы F .

53

В итоге приходим к следующей оптимизационной задаче. За целевую функцию примем расстояние между крайними точками разобщенных фрагментов В и В .

Задача – минимизировать расстояние между точками В и В . Конфигурация фрагментов определяется из системы уравнений, при этом форму оси балки удобно аппроксимировать, например параболой второго порядка.

Варьируемые параметры задачи: величина силы F и угол силы F с осью Ох (угол ).

Ограничения: F [0, Fmax ], [0, 90 ].

Решение задачи с помощью численных методов оптимизации позволило найти оптимальные параметры ортопедического аппарата:

Другой метод ортопедического лечения врожденной расщелины твердого нёба был разработан в Республиканском научнопрактическом центре медико-социальной реабилитации «Бонум» (г. Екатеринбург).

Аппарат состоит из ортопедической пластинки, разделяющей полости носа и рта и развивающей механическое воздействие на фрагменты твердого нёба (рис. 24).

бв

а

Рис. 24. Схематичное представление двусторонней расщелины

иортопедической пластинки : а – альвеолярный о тросток;

б– фрагмент нёба; в – ортопедическая пластинка

54

В результате фрагменты подвержены давлению, производимому силой адгезии контактирующей пластинки за счет давления мощного мышечного органа – языка. Клинические наблюдения показывают, что действие языка приводит к уменьшению расщелины. Пластинка тесно копирует форму фрагментов твердого нёба. В такой конструкции концы нёбных фрагментов остаются свободными, поэтому могут легко изменять свою форму с перемещением из полости носа в полость рта. С точки зрения биомеханики основой данного метода лечения является механическое давление, создаваемое языком ребенка.

Данный метод применим к грудным детям, не имеющим зубов. Лечение обычно начинается в возрасте трех месяцев, что дает существенное улучшение уже к шести месяцам.

С точки зрения механики эффект сближения недоразвитых фрагментов твердого нёба кажется неясным, так как (это видно, например, на рис. 24) действие языка приводит, на первый взгляд, к изгибающему моменту во фрагментах, который должен привести к дальнейшему расхождению фрагментов.

Вследствие этого возникают вопросы: как объяснить существующее на практике сближение фрагментов и как можно оптимизировать данный метод лечения?

Вычислительная схема для фрагмента изображена на рис. 25.

Рис. 25. Расчетная модель о тростка твердого нёба

55

При расчете предыдущего ортопедического приспособления, где деформация фрагмента происходит только за счет сосредоточенной силы на конце, приемлемые результаты могут быть получены на основе классической теории изгиба балки.

В данном случае, когда нагружение осуществляется с помощью распределенной нагрузки (см. рис. 25), следует использовать более точную модель фрагмента на основе механики сплошной среды.

Постановка начально-краевой задачи определения ростовой деформации в упругой системе приведена выше. Применяя уравнения для моделирования растущего фрагмента твердого нёба, следует учесть некоторые особенности.

Необходимо принять во внимание, что фрагмент твердого нёба состоит из двух частей: податливой хрящевой ткани (об-

ласть Ω2 ), соединенной с более жесткой костной структурой (область Ω1 ). Таким образом, в определяющем соотношении для ростовой деформации, которое применяется в виде формулы

ξg Ag Bσ,

значение параметра В должно быть различным в областях 1 и2 . Очевидно, что более жесткая структура (альвеолярная костная ткань области 1 ) не будет существенно реагировать на приложенные напряжения, и поэтому параметром В, описывающим влияние напряжений на ростовую деформацию, в области 1 можно пренебречь. Следовательно, при вычислениях можно считать, что в области 1 имеет место равенство В = 0. В области2 , где напряжения вызывают заметную реакцию костной ткани, второе слагаемое в правой части последней формулы существенно влияет на ростовые процессы, и потому В 0.

Граничные условия задачи показаны на рис. 25. На части границы Sv в точке О заданы условия закрепления Vx Vy 0 , в остальных точках оси Оу граничное условие имеет вид Vx 0, xy 0.

56

В области контакта фрагмента и ортопедической пластины S дли-

ной l заданы компоненты вектора напряжений P. Остальная часть границы фрагмента свободна от напряжений (свободная граница).

Построенная математическая модель фрагмента твердого нёба была использована для изучения влияния величины контактного давления и величины контактной зоны на изменение конфигурации фрагмента. Влияние механических сил на поведение фрагментов было исследовано в течение времени роста, равного шести месяцам. Проблема ставится как задача теории упругости с ростовыми деформациями в условиях плоско-деформированного состояния. Решение было проведено с помощью метода конечных элементов.

Параметры ростовой деформации А и В были определены с помощью гипсовых отпечатков растущей челюсти ребенка. Из литературных данных были взяты значения модуля упругости растущего фрагмента Е = 500 000 г/мм2 и коэффициент Пуассона v = 0,3.

На рис. 26 и 27 показаны перемещения ux и uy точки А для

различных значений длины области контакта l и величины силы Р на контактной площадке.

Рис. 26. Горизонтальное перемещение точки А на конце фрагмента для различных значений длины области контакта l (мм)

в зависимости от приложенной силы Р

57

Рис. 27. Вертикальное перемещение точки А на конце фрагмента для различных значений длины области контакта l (мм)

в зависимости от приложенной силы Р

Горизонтальное перемещение ux характеризует зазор расщелины, а вертикальное перемещение uy не влияет на величину расщелины.

Точки на рис. 26 и 27 показывают вычисленные значения, а сплошные линии получены с помощью метода наименьших квадратов. Из анализа полученных результатов видно, что наибольшее сближение фрагментов имеет место при длине зоны контакта l = 2 мм.

Ограничение на максимальное значение силы Р = 20 г соответствует максимально возможному напряжению, которое может выдержать живая ткань без наступления некроза.

Полученные результаты позволяют объяснить изгиб фрагмента в направлении сближения отростков, наблюдаемый на практике. В области контакта под действием ортопедической пластинки возникают сжимающие напряжения, которые подавляют рост волокон материала, поэтому рост в направлении оси Ох в этой области замедляется. Волокна материала выше области контакта имеют растягивающие напряжения, которые ускоряют рост волокон. Вследствие этого возникает изгиб фрагмента, который совпадает с клиническими результатами и объясняет этот феномен с позиций теории ростовых деформаций.

58

На основе вычислений можно также проанализировать влияние направления контактного давления на поведение фрагментов. Для расчета было принято, что значение силы Р = 8 г (рис. 28).

Рис. 28. Три различных направления давления в контактной зоне длиной

в отрицательном направлении оси Ох )

Рис. 29. Перемещение u в точке А для трех направлений контактно го давления: 1 P Py ; 2 P Pn ; 3 P Px

Рис. 29 иллюстрирует перемещения u точки А для трех различных направленных давления в зоне контакта к концу времени

лечения. Видно, что влияние локальной силы сжатия Px на изгиб фрагмента больше, чем при нормально направленной силе Pn . Это объясняется тем, что в зоне действия сжимающей силы Px рост костной ткани локально подавляется, в то время как в ос-

59

тальных частях фрагмента сохраняется естественный рост. Следовательно, в этой области имеют место изгиб и рост фрагмента в направлении оси Ох. В результате перемещение u в точке А больше, чем перемещение при действии силы Pn .

Полученные результаты (табл. 4), количественно учитывающие механический фактор и ростовые деформации, могут быть основой для конструирования новых ортопедических приспособлений.

Вертикальное давление Py производит нежелательное дей-

ствие на рост и изгиб фрагмента (фрагмент получает перемещение вверх). Из проведенных вычислений следует, что направление контактного давления имеет существенное влияние на процессы роста нёбных фрагментов и их перемещение.

Лабораторная работа № 6.

Анализ напряженно-деформированного состояния растущего фрагмента твердого нёба при биомеханической коррекции врожденной расщелины

Лабораторная работа выполняется в программной среде MATLAB и программном комплексе Ansys. Используется графический редактор CorelDraw.

Важную роль в устранении расщелины играет раннее ортопедическое лечение. Оно нацелено на сближение разобщенных фрагментов твердого нёба без хирургического вмешательства. Чем успешнее будет проведено ортопедическое лечение, тем ближе будут низведены фрагменты и тем безопаснее будет про-

60