книги / Физика. Основы электромагнетизма

ками Фуко. Например, при прочих равных условиях железный сердечник нагревается значительно быстрее медного. Интенсивное нагревание ферромагнетиков и явление насыщения намагниченности делают непригодными катушки с сердечниками для получения сверхсильных магнитных полей.

3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла

Рассмотрим схему на рис. 3.29. Замкнем ключ. Конденсатор начнет заряжаться, поэтому в течение некоторого малого времени по цепи пойдет электрический ток I . В пространстве вокруг провода с током появиться магнитное поле. Выберем произвольный замкнутый пло-

ский контур L, пронизываемый проводом. Рассмотрим две поверхности, натянутые на этот контур. Одна поверхность S1 пересекает проводник, а другая поверхность S2 проходит между обкладками конденсато-

ра. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по замкнутому контуру L (см. теорему о циркуляции, подраздел 3.17) равна суммарному току, пронизывающему поверхность, натянутую на контур L. Для поверхности S1 циркуляция равна мгновенному току I , текущему по проводнику. Если же рассмотреть поверхность S2, то циркуляция вектора напряженности Н по тому же самому контуру L равна нулю, поскольку проводник с током не пересекает поверхность S2. Получаем противоречие.

201

Рассмотрим еще один идеальный эксперимент. Окружим заряженный металлический шар проводящей средой. Тогда шар начнет разряжаться, и от него радиально по всем направлениям потекут электрические токи. Электрический ток должен создавать магнитное поле, но при попытке определить его направление мы испытываем замешательство. Ведь шар и токи симметричны, поэтому не существует какого-то особого направления, отличающегося от всех остальных, вдоль которого могло бы быть направлено магнитное поле. Значит, поля нет. Опять получаем противоречие.

В первом случае мы получили положение противоречащее теореме о циркуляции. Совершенно понятно, что вокруг проводника с током должно быть электрическое поле и циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L должна быть отлична от нуля. Второй рассмотренный случай опровергает самую основу магнетизма: магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущегося заряда или тока.

А что если магнитное поле создается не только движущимися зарядами? Ведь электрические поля существуют не только вокруг зарядов, но порождаются и переменными магнитными полями. Рассматривая подобные примеры, Максвелл пришел к выводу, что магнитные поля, в свою очередь, могут порождаться переменными электрически-

ми полями. Он «поправил» теорему о циркуляции (см. формулу (3.45)) следующим образом:

S

тора электрического смещения D через поверхность S, на-

202

тянутую на контур L, соответственно, величина dФD / dt есть скорость изменения этого потока. Если учесть, что

то уравнение (3.49) можно представить следующим образом:

Если электрическое поле постоянно, производная по вре-

мени вектора электрического смещения равна нулю:

dD / dt 0 . В этом случае магнитное поле создается одними только токами. В присутствии переменного электриче-

ского поля величина dD / dt отлична от нуля и дает до-

полнительный вклад в циркуляцию вектора H . Это и означает, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным электрическим полем. В этом смысл уравнения Максвелла (3.49).

Величину dФD / dt Максвелл назвал током смещения:

Уравнение Максвелла (3.49) можно записать в виде:

тогда по смыслу производная вектора электрического смещения представляет собой ток смещения, пронизывающий единичную площадь поверхности, или плотность тока смещения:

203

Действительно, ведь поток плотности тока через поверхность S есть полный ток, пронизывающий эту поверхность:

Ток смещения – воображаемый ток. Это удобная модель явления, поскольку мы привыкли к тому, что магнитные поля создаются движущимися зарядами или токами. Нам проще считать, что источником некоторого дополнительного магнитного поля является не переменное электрическое поле, а некоторый ток смещения, дополнительный к обычным токам проводимости. Сразу отметим, что ток смещения не просто дополняет токи проводимости, а всегда замыкает их. В результате получается, что полный ток всегда замкнут. Итак, теперь мы можем сказать, что в присут-

ствии переменных электрических полей текут токи смещения, которые замыкают токи проводимости и порождают магнитное поле, наряду с токами проводимости.

Вектор электрического смещения в каждой точке пространства выражается через вектор напряженности

электрического поля E и вектор поляризации P (1.25):

D 0 E P .

Тогда

dD / dt 0dE / dt dP / dt .

Первое слагаемое представляет собой плотность тока смещения в вакууме. А второе слагаемое – плотность вполне реального тока связанных зарядов. Этот ток связан с изменением состояния поляризации вещества в переменном внешнем электрическом поле. При этом поляризационные заряды движутся, что соответствует некоторому току.

Отметим, что уравнение (3.50) напоминает уравнение (3.25, а), выражающее собой закон электромагнитной индукции. ЭДС индукции равна скорости изменения потока

204

вектора магнитной индукции, а ток смещения равен скорости изменения потока вектора электрического смещения. Причиной возникновения ЭДС индукции является переменное магнитное поле, а причиной возникновения тока смещения является переменное электрическое поле.

Возвратимся к рассмотренным в начале этого подраздела примерам и попытаемся дать им объяснение. Сразу обратим внимание на тот факт, что в обоих рассмотренных случаях присутствовало переменное электрическое поле. В первом случае в процессе зарядки поверхностная плотность заряда конденсатора возрастала, а следовательно, увеличивалось напряженность электрического поля E / 0 между пластинами. Во втором случае

заряд шара q уменьшался, а следовательно, уменьшалось поле E q 4 0r2 в окружающем пространстве.

Применим уравнение (3.49, б) для поверхностей S1 и S2, натянутых на контур L. Поверхность S1 пронизывается током проводимости I , поэтому циркуляция вектора на-

пряженности по контуру L: H , dl I . Проводник не

L

пересекает поверхность S2, поэтому суммарный ток проводимости, текущий через эту поверхность, равен нулю: I 0 . Но между обкладками конденсатора течет ток смещения (см. рис. 3.29), порожденный переменным электри-

ческим полем, поэтому: H , dl Iсм . Найдем ток сме-

L

щения. Для простоты расчета предположим, что поверхность S2 в области между обкладками плоская и параллельна обкладкам. Тогда поток вектора электрического смещения через поверхность S2 ФD DS , где S – площадь

обкладок. Следовательно, по формуле (3.50) получим:

Iсм dФD / dt S dD / dt .

205

В пространстве между обкладками поле однородно и напряженность (см. формулу (1.20, б)) E / 0 , тогда

вектор электрического смещения: D 0 E q / S . На-

ходим скорость изменения вектора электрического смещения и ток смещения:

dD / dt S1 ddqt Iсм dФD / dt dq / dt I ,

скорость изменения заряда конденсатора равна заряду, поступившему за единицу времени из провода, или силе тока,

H , dl I . Получили тот же результат, что и для поверх-

L

ности S1. Результат вычисления циркуляция вектора напряженности теперь не зависит от поверхности, натянутой на этот контур. Противоречие устранено. Кроме того, мы показали, что величина тока смещения равна величине тока проводимости, т.е. ток смещения замыкает ток проводимости.

Используя представление о токе смещения, можно легко объяснить отсутствие магнитного поля в пространстве вокруг разряжающегося шара. В этом случае токи смещения, замыкая токи проводимости, текут противоположно токам проводимости из бесконечности к поверхности шара и по величине равны токам проводимости. В результате, полный ток, текущий от поверхности шара, равен нулю, а следовательно, нет и магнитного поля.

Докажем, что суммарный ток смещения равен скорости изменения заряда шара dq / dt или полному току про-

водимости I . Напряженность электрического поля заряженного шара

E 4 q 0r2 ,

тогда

D 0 E 4 qr2 .

206

Плотность тока смещения на расстоянии r от центра шара

Тогда полный ток смещения, пересекающий сферическую поверхность радиуса r :

Iсм jсмS jсм 4 r2 ddqt I .

После того как Максвелл ввел понятие тока смещения и дополнил теорему о циркуляции, он сформулировал систему из четырех фундаментальных уравнений, которая объединила все знания об электрических и магнитных явлениях:

Для описания полей в изотропных средах к системе нужно

добавитьуравнения связимежду векторами E и D , B и H :

D 0 E и B 0 H .

Система уравнений (3.51) содержит в себе все основные законы электричества и магнетизма. Первое уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции. Смысл уравнения в том, что электрическое поле может порождаться переменным магнитным полем. В этом случае электрическое поле является не потенциальным, а вихревым, его силовые линии замкнуты. Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле, а значит,

207

и циркуляция вектора напряженности вихревого поля, отличны от нуля. Левая часть уравнения (циркуляция электрического поля) представляет собой ЭДС индукции i ,

а правая – скорость изменения магнитного потока dФdt .

Второе уравнение системы отражает тот факт, что магнитное поле (или буквально: циркуляция магнитного поля) может порождаться как токами проводимости I (движущимися свободными зарядами), так и переменным электрическим полем. Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой скорость изменения потока вектора

электрического смещения dФD dt , или ток смещения.

Третье уравнение системы представляет собой теорему Гаусса. Ее смысл в том, что источником электрического поля (буквально: потока силовых линий) является заряд.

Наконец, четвертое уравнение системы свидетельствует о том, что магнитных зарядов не существует. Магнитные силовые линии нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они всегда замкнуты, т.е. магнитное поле – вихревое поле. Значит, если силовая линия входит в поверхность, то она не может оборваться внутри поверхности, а обязательно выходит из нее. И следовательно, поток магнитных силовых линий через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Отсутствие в природе магнитных зарядов является причиной того, что уравнения (3.51) не симметричны относительно электрического и магнитного полей.

Для стационарных, т.е. не меняющихся с течением

времени полей изменения потоков векторов D и B через любую мысленно выделенную в пространстве поверхность равны нулю. Поэтому равна нулю правая часть первого уравнения и второе слагаемое правой части второго урав-

208

нения системы (3.51). В этом случае система уравнений Максвелла в безындукционном приближении имеет вид:

Стационарное электрическое поле создается системой неподвижных зарядов и называется электростатическим полем. Смысл первого уравнения системы (3.52) в том, что электростатическое поле потенциально, работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в таком поле равна нулю. Второе уравнение свидетельствует о том, что в отсутствии переменных электрических полей источником магнитного поля может быть только ток или движущийся заряд. Третье и четвертое уравнения остаются без изменений.

Одним из важнейших выводов, вытекающих из системы уравнений Максвелла (3.51), является вывод о возможности существования магнитного и электрического полей, не связанных с какими-то материальными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля, порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распространение электромагнитного возмущения называется электромагнитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, гамма-излучение – все эти явления представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся частотами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (ее часто называют ско-

209

ростью света) с 3 108 м/с. Она выражается через электрическую и магнитную постоянную (что само по себе указывает на электромагнитную природу света):

Таким образом, уравнения Максвелла являются фундаментом раздела физики, называемого волновой оптикой, или, в более широком, смысле – физической оптики, науки о природе света.

Более подробно электромагнитные волны будут рассмотрены в главе 4.

3.20. Природа магнетизма

Физика не только описывает то или иное явление природы, но и объясняет, почему это явление происходит. В самом начале нашего курса мы говорили о том, что некоторые элементарные частицы, такие, например, как протон или электрон, обладают свойством, которое называется электрическим зарядом. Заряды взаимодействуют с электрическими силами посредством особой формы материи – электрического поля. Но все же ответить на вопрос, почему взаимодействуют заряды или почему поле одного заряда действует на другой заряд, невозможно. Можно только сказать, что так устроена природа, и что основное свойство электрического поля – действие на заряды.

Движущиеся заряды создают магнитное поле и посредством этого поля взаимодействуют между собой с магнитными силами. Оказывается, на вопрос о причинах магнитного взаимодействия ответить можно. Правда, основываясь на факте существования взаимодействия электрического. Этой важной проблеме и посвящен данный подраздел.

210