книги / Физика. Основы электромагнетизма

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:

Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.

С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых:

q t q0e t cos t 0 Bcos t .

Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с цикли-

ческой частотой 02 2 . Второе слагаемое соответст-

вует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы . Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотами и . Такой режим колебаний называется переходным. Первое слагае-

231

мое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания 1/ . Переходный режим

заканчивается, и наступает режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы :

Характеристики вынужденных колебаний B и зависят, во-первых, от параметров вынуждающей силы X0 и , во-

вторых – от параметров самой колебательной системы 0 и , но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию q t (4.19) в уравнение (4.18), можно найти вы-

ражение для амплитуды вынужденных колебаний В и величины . Опуская математические выкладки, приведем конечные результаты:

рис. 4.6, называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет максимум. Максимальное значение амплитуды установившихся колебаний достигается при резонансной

нии мало отличается от собственной циклической частоты колебаний системы 0 . Таким образом, резонанс наступа-

ет при условии совпадения частоты внешней синусоидальной силы и собственной частоты колебательной системы P 0 . Кривая 1 на рис. 4.6 относится к колеба-

тельной системе с меньшим затуханием. Чем меньше ко-

232

соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его к постоянной ЭДС 0 .

Отношение резонансной амплитуды Bmax к величине статического отклонения колебательной системы B0 называется добротностью колебательной системы Q Bmax B0 .

Используя формулы для B0 и Bmax (см. пример (4.3)),

атакже связь циклической частоты с периодом колебаний

2 T , получим:

Поскольку T логарифмический декремент затухания, то

Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.

Добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к ее потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).

4.4. Переменный ток в электрических цепях

Переменный ток представляет собой вынужденные электрические колебания под действием внешней ЭДС. Здесь мы будем рассматривать только синусоидальные ЭДС, изменяющиеся со временем по закону синуса или косинуса. В общем случае любая электрическая цепь переменного тока содержит сопротивление, емкость и индуктивность.

234

4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивление

Рассмотрим сначала цепь, состоящую из одного лишь сопротивления R , подключенного к синусоидальной ЭДС:

0sin t .

Из второго правила Кирхгофа для такой цепи

UR I R 0sin t I R0 sin t

можно сделать следующие три вывода:

1)ток через сопротивление R совершает гармонические колебания в одной фазе с напряжением;

2)максимальная сила тока (достигается при значении

синуса, равном единице) I0 0 R ;

3) связь амплитуд силы тока I0 и напряжения 0 на

сопротивлении R формально совпадает с законом Ома для участка цепи с постоянным током.

Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь емкости C , подключенной к синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи

UC qC 0sin t q C 0sin t . Тогда сила тока I q C 0 cos t 0 Csin t 2 .

Величина XC 1 C называется емкостным сопротивлением. Можно сделать следующие выводы:

1)ток в цепи совершает гармонические колебания, опережая по фазе напряжение на 2 ;

2)максимальная сила тока I0 0 C 0 XC ;

3)связь амплитуд силы тока и напряжения на конденсаторе формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов.

235

Почему конденсатор оказывает конечное сопротивление переменному току? Ведь между обкладками конденсатора – диэлектрик, а значит, цепь разомкнута и ее сопротивление должно быть очень большим. Этот факт имеет простое объяснение. Переменный электрический ток не проходит сквозь конденсатор, а представляет собой периодически повторяющийся процесс зарядки и разрядки конденсатора.

Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь катушки индуктивности L , присоединенной к синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи

UL L I 0sin t I L0 sin t .

Интегрируя, получаем:

Величина X L L называется индуктивным сопротивле-

нием. Можно сделать следующие три вывода:

1) ток через индуктивность совершает гармонические колебания и отстает от напряжения по фазе на 2 ;

3) связь амплитуд силы тока и напряжения на индуктивности формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов.

Пример 4.4. Сравнить накал лампочек, подключенных к синусоидальному и постоянному напряжениям (рис. 4.7, а, б, в). Накал лампочек на рис. 4.4, а одинаков.

Решение. Одинаковый накал лампочек на рис. 4.4, а означает, что напряжение источника постоянного тока равно эффективному напряжению источника переменного тока (определение эффективного напряжения будет дано ниже).

236

4.4.2. Закон Ома для переменного тока.

Активное и реактивное сопротивление

Рассмотрим цепь, включающую в себя все три элемента – R, C и L, включенные последовательно (см. рис. 4.5). Подставим в выражение для амплитуды заряда (4.20) значения

X0 0 / L , 02 1/ CL , R 2L .

Тогда формула (4.20) приводится к виду

а зависимость заряда конденсатора от времени (4.19) примет вид

Сила тока в цепи

Таким образом, ток в цепи совершает гармонические колебания с амплитудой

238

Для удобства переобозначим циклическую частоту колебаний внешней ЭДС: . Тогда

Термин «активное сопротивление» используется в том смысле, что именно при этом сопротивлении рассеивается

тивлением цепи.

Формулу (4.23), связывающую амплитудные значения тока и напряжения, можно записать в виде, формально совпадающим с законом Ома для участка цепи в случае по-

Уравнение (4.24) представляет собой закон Ома для пере-

менного тока.

Наибольшим амплитудное (резонансное) значение силы тока будет при наименьшем значении знаменателя в уравнении (4.23), т.е. когда X L XC 0 .

0 .

Последнее уравнение представляет собой условие резонанса для тока: амплитуда силы тока максимальна при совпадении частоты внешней ЭДС и собственной частоты контура. Вспомним, что амплитуда заряда достигает мак-

239

для резонанса тока и заряда конденсатора практически совпадают при небольших затуханиях.

В резонансе полное сопротивление цепи переменному току равно активному сопротивлению: Z R . При этом амплитудное значение тока I0 0 R .

4.4.3. Метод векторных диаграмм

Закон Ома для амплитуд переменных токов внешне напоминает закон Ома для постоянного тока. А как выглядят законы последовательного и параллельного соединения элементов в цепи переменного тока? Как можно рассчитать токи и напряжения на отдельных элементах в случае разветвленных цепей?

Если два синусоидальных тока I1 I01cos t 1

амплитуда суммарного тока в общем случае может быть не равна сумме амплитуд втекающих в узел токов: I0 I01 I02 . Действительно, колебания токов I1 и I2 про-

исходят с некоторой разностью фаз (величины 1 и 2

240