книги / Теоретические основы теплотехники. Техническая термодинамика

лярной и статистической физики. Для каждого вещества характер функциональной связи индивидуален, и термодинамические свойства описываются своим уравнением состояния. Даже для газов, свойства которых изучены наиболее полно, вопрос построения уравнения состояния окончательно не решен.

Наиболее простой вид имеет уравнение состояния идеального газа. Это уравнение впервые получено в 1834 г. французским физиком Д. Клапейроном путем объединения газовых законов Бойля – Мариотта и Гей-Люссака:

Уравнение записано в размерности Дж/кг и называется уравнением Клапейрона. Умножая обе части уравнения на массу газа m, получим уравнение состояния в другой размерности, Дж:

Через R в уравнениях (1.1) и (1.2) обозначена так называемая удельная газовая постоянная, отнесенная к массе газа 1 кг. В соответствии с уравнением ее размерность Дж/кг/К.

Смысл газовой постоянной можно установить, рассматривая процесс расширения газа в процессе при P = const. Пусть газ массой m, кг, в этом процессе перешел из состояния с параметрами P, v1, T1 в новое состояние с параметрами P, v2, T2. Пользуясь уравнением (1.2), для каждого состояния можно записать:

PV1 = mRT1 ,

PV2 = mRT2 .

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

R= P((V2 − V1 )).

m T2 − T1

11

Числитель представляет собой работу m килограммов газа в изобарном процессе расширения. При условиях, что в процессе участвует газ массой m = 1 кг, а изменение температуры при расширении равно T =T2 − T1 = 1K, можно утверждать, что га-

зовая постоянная численно равна работе 1 кг газа в изобарном процессе расширения при изменении температуры газа на 1 К.

Умножая обе части уравнения (1.1) на молярную массу газа μ (кг/кмоль), получим уравнение состояния, записанное в размерности Дж/кмоль:

представляет собой объем 1 киломоля газа и называется мольным (или молярным) объемом.

На основании закона Авогадро киломоль любого газа при одинаковых давлении и температуре занимает один и тот же

объем. Следовательно, величина, μR, кмольДж К:

μR = Rμ ,

имеет одинаковое постоянное значение для всех газов. Нормальными физическими условиями считаются:

T0 = 273,15 К, P0 = 101 325 Па.

При этих условиях объем одного киломоля газа равен Vμ = 22,4146 м3. Тогда найдем Rμ , кмДжоль К:

Rμ = 101 325 22,4146 = 8314,2 . 273,15

Эту величину, впервые введенную в уравнение состояния Д.И. Менделеевым, называют универсальной газовой постоянной. Таким образом,

12

аумножаяобечастиуравнения(1.4) наколичество киломолейгаза

Уравнения (1.4) и (1.6) называют уравнениями Клапейрона – Менделеева.

13

2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ. ГАЗОВЫЕ СМЕСИ

При расчетах тепловых устройств очень важным моментом является определение количества теплоты, участвующего в процессах. Точное его определение обеспечивает правильную оценку работыаппаратастехническойиэкономическойточекзрения.

Сообщение телу теплоты вызывает изменение его состояния и в общем случае сопровождается изменением температуры. Было замечено, что для нагрева до одной и той же температуры двух различных тел одинаковой массы и в одинаковых условиях требуется различное количество теплоты. Следовательно, существует какое-то свойство тела, определяющее изменение его температуры в процессе подвода или отвода теплоты. Это свойство называют теплоемкостью тела. Таким образом, теплоемкость тела С, Дж/К – это величина, характеризующая способность тела изменять свою температуру с подводом или отводом теплоты. Она равна количеству теплоты, которое надо подвести к телу, чтобы изменить его температуру на 1 К:

C = QT .

В дифференциальной форме, то есть при подводе элементарного количества тепла:

Теплоемкость тела в общем случае не является характеристикой вещества (материала), из которого тело состоит. Она, в частности, будет зависеть от размеров тела. В зависимости от того, в каких единицах измеряется количество вещества – килограммах, кубометрах, киломолях, различают:

• массовую (удельную) теплоемкость: c = Cm , кгДжК, то есть теплоемкость одного килограмма вещества;

14

•объемную теплоемкость: c′ = VC , мДж3 К, то есть теплоемкость одного кубометра вещества;

•мольную теплоемкость: cμ = MC , кмольДж К, то есть теплоемкость одного киломоля вещества.

Очевидная связь между этими величинами имеет вид

C = cm = c′V = cμM.

Например, массовую теплоемкость, если известна объемная, можно определить следующим образом:

Однако и эти величины еще не являются характеристиками вещества. Процесс нагревания или охлаждения может происходить в различных условиях: P = const, V = const, T = const, а также многих других. Значения теплоемкостей одного и того же вещества в разных процессах также будут различными. В частности, в соответствии с (2.1) теплоемкость в процессе при постоянной температуре оказывается бесконечно большой. В связи с этим теплоемкость называют функцией процесса.

Чтобы теплоемкость являлась физической характеристикой того или иного вещества, ее измерение необходимо проводить в одних и тех же условиях. Обычно экспериментальные измерения теплоемкостей проводят при P = const, V = const и определяют соответственно изобарную cP и изохорную cV теплоемко-

сти. Разность между этими теплоемкостями для идеального газа, в соответствии с известной из физики формулой Майера, равна:

cP − cV = R; cμP − cμV = Rμ ,

15

а отношение теплоемкостей

k= cP cV

называется показателем адиабаты. Из молекулярно-кинетической теории идеальных газов известны численные значения показателя адиабаты, онизависятотчислаатомоввмолекулегаза:

•одноатомный газ k = 1,67;

•двухатомный газ k = 1,4;

•трех- и многоатомный газ k = 1,33.

2.1. Истинная и средняя теплоемкости

Теплоемкость является функцией параметров состояния – давления и температуры, поэтому в технической термодинамике различают истинную и среднюю теплоемкости.

Теплоемкость идеального газа зависит только от температуры и по определению может быть найдена лишь в интервале температур t. Однако всегда можно предположить, что этот интервал очень мал вблизи какого-либо значения температуры. Тогда можно сказать, что теплоемкость определена при данной температуре. Такая теплоемкость называется истинной.

В справочной литературе зависимость истинных теплоемкостей cP и cV от температуры задают в виде таблиц и аналитиче-

ских зависимостей. Аналитическую зависимость (например, для массовойтеплоемкости) обычнопредставляютввидеполинома:

cx = a0 + a1t + a2t2 + …

Тогда количество подведенной в процессе теплоты в интервале температур [t1, t2 ] определяется интегралом:

16

При исследовании термодинамических процессов часто определяют среднее в интервале температур значение теплоемкости. Она представляет собой отношение количества подведенной в процессе теплоты Q12 к конечной разности температур

Тогда, если задана зависимость истинной теплоемкости от температуры, в соответствии с (2.2) и (2.3):

Часто в справочной литературе приводят значения средних теплоемкостей cP и cV для интервала температур от 0 до t °C. Как и истинные, их представляют в виде таблиц и функций:

При подстановке значения температурыt в эту формулу будет найдена средняя теплоемкость в интервале температур [0, t]. Чтобы найти среднее значение теплоемкости в произвольном интервале [t1, t2 ], пользуясь зависимостью (2.4), нужно найти количество теплоты Q12 , подведенной к системе в этом интервале температур.

На основании известного из математики правила интеграл в уравнении(2.2) можетбытьразбитнаследующиеинтегралы:

Q12 = m2cx (t )dt = m2cx (t )dt − m1cx (t )dt.

1 0 0

Но

2cx (t )dt = cx (t2 )(t2 − 0), а1cx (t)dt = cx (t1 )(t1 − 0).

0 0

17

Тогда

Q12 = m(cx (t2 ) t2 − cx (t1 ) t1 ).

После этого искомое значение средней теплоемкости находят по формуле (2.3).

2.2.Газовые смеси

Втехнике в качестве рабочих тел чаще используются не чистые вещества, а смеси различных газов. Под газовой смесью

вданном случае понимают механическую смесь чистых веществ, называемых компонентами смеси, не вступающих друг с другом

вхимические реакции. Примером газовой смеси является воздух, основными компонентами которого являются кислород и азот. Если компонентами смеси являются идеальные газы, то и смесь в целом также будем считать идеальным газом.

При рассмотрении смесей предполагается, что:

•каждый газ, входящий в состав смеси, равномерно распределен по всему объему, то есть его объем равен объему всей смеси;

•каждый из компонентов смеси имеет температуру, равную температуре смеси;

•каждый газ создает свое давление на стенки сосуда, называемое парциальным давлением.

Парциальное давление – это давление, которое имел бы компонент смеси, если бы он один занимал весь объем смеси при той же температуре. Сумма парциальных давлений каждого компонента равна давлению смеси (закон Дальтона):

n

P = P1 + P2 + … + Pn = Pi .

i=1

Парциальным объемом компонента Vi называется такой

объем, который занимал бы данный компонент при давлении, равном давлению смеси, и температуре, равной температуре

18

смеси. Очевидно, что сумма парциальных объемов равна объему смеси (закон Амаго):

n

V= V1 + V2 + … + Vn = Vi .

i=1

При исследовании термодинамических процессов с газовыми смесями необходимо знать ряд характеризующих их величин: газовую постоянную, молярную массу, плотность, теплоемкость и т.д. Для их нахождения должен быть задан состав смеси, определяющий количественное содержание каждого компонента, входящего в смесь. Состав газовой смеси обычно задают массовыми, объемными или мольными долями.

Массовой долей компонента смеси gi называется величина, равная отношению массы компонента к массе всей смеси:

gi = mmi .

Очевидно, что масса смеси равна сумме масс всех компонентов:

m = m1 + m2 + … + mn ,

а сумма массовых долей

n

gi = 1.

i=1

Объемной долей компонента смеси ri называется вели-

чина, равная отношению парциального объема компонента к объему смеси:

ri = VVi .

19

Сумма объемных долей

n

ri = 1.

i=1

Мольной долей компонента смеси xi называется величина,

равная отношению числа молей этого компонента к общему числу молей смеси:

xi = MMi .

Очевидно, что:

n

xi = 1.

i=1

Состав смеси задают долями единицы или в процентах. Связь между мольными и объемными долями можно установить, записывая уравнение Клапейрона – Менделеева для компонента смеси и всей смеси:

PVi = Mi RμT,

PV = MRμT.

Поделив почленно первое уравнение на второе, получим

ri = xi .

Таким образом, для идеальных газов объемные и мольные доли оказываются равными.

Связь между массовыми и объемными долями устанавливается соотношениями

20