книги / Определение остаточных напряжений при пластических деформациях
..pdf(3т а х~ $ % |
8 °s |
8 ° S |
±в Q°s |
а |
6 |
Рис. 6 |
|
|
ш р |
= _ / ^ £ |
|
t/зг |
Q ^тах |
Приравняем изгибающие моменты |
||
У пр -пл |
Упр |
|
му з г |
- М |
: |
|
изг |
|
|
ж * Ч - |
|
*max |
|
|
|
max |
JL |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
отсода |
|
|
|
|
|
Эпюра остаточных |
напряжений |
показана на р и с .6, в |
|||
|
Остаточные напряжения при кручении балки |
|
|||
|
круглого |
поперечного |
сечения |
|
|
Рассмотрим кручение балки круглого поперечного |
сечения. |
||||
Радиус |
сечения R (рис. 7 ). |
|
|
|
|
Цусть до разгрузки всё сечение балки находилось в пластичес |
|||||
ком состоянии. На р и с .8,<7 |
показана эпюра напряжений, возникаю |
||||
щих в |
балке при пластическом состоянии. Величина соответствующего |
||||
крутящего момента |
|
|
|
|
|
|
ft |
2Л~ |
|
|
|
*C4 |
f v dF~S $%гг<Ь' |
y = |
|||
|
о о |
f |
о |
о |
|
|
= 2 3 t% — |
- v |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с теоремой о разгрузке, к балке прикладываем изги
бающий момент, равный |
М ^ р , |
но с |
обратным знаком. |
На р и с .8, (Г показана эпюра |
напряжений при разгрузке. В |
||
предположении упругих |
свойств |
материала крутящий момент |
|
Рис. 7
Рис. 8
D
W * d F - ^ b s L J J j f d p d f .
A
F |
|
Q |
Й |
|
О о |
23^'Etnax. |
к |
<М Г |
|
||
|
|
|
" m a x |
||
|
|
М |
О |
|
|
|
|
|
|
||
|
ПЛ |
Упр |
|
|
|
Приравниваем |
Mнр |
м ИР |
|
|
|
? 3 |
Э"й" |
|
^ ? m a x |
3 T S |
|
3 * * % |
|
■Т |
|
||
|
|
max |
|
|
|
Эпюра остаточных касательных напряжений показана на р и с .В ,#
при |
р = R |
ост |
-------— Т”' « |
. т * |
____ —г* |
||
|
J " |
- з |
1*з |
С$ |
- з |
Ts у |
|
т |
f> ~ о |
' t 0 c m = - 'Z s |
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда часть сечения находится в упругом состоянии, а часть - в пластическом (рис, 9, <7 ) . Значения можно представить в виде
Т |
- \с % |
|
при |
|
С |
|
|
|
|
С , |
|
||
|
|
|
при |
^ |
|
|
где С |
- радиус границы между упругой и |
пластической |
зонами. |
|||
Крутящий момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я 23Г |
|
|
С 3 |
|
|
|
о о |
|
|
|
|
+ |
= |
23Г% |
|
с |
р * |
Я |
|
4 |
0 + 2 f l T 5 f - |
С |
|||
|
С |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
2 1 |
3 ? |
о |
|
|
|
— |
'V - r % C R - c ' ) . ± a i b k ( 1 _ J r |
|
||||
а
Рис. 9
|
л |
|
|
|
|
Vnp- п л |
3 / |
|
||
Пусть |
С |
, тогда |
МНр |
|
|
|
|
|||
|
На рис. 9, (Г показана эпюра напряжений при разгрузке (в пред |
|||||||||
положении упругих свойств материала). В этом случае |
||||||||||
|
|
М |
Упр |
Сt f ? |
|
|
|
|
||
|
|
кр |
|
-------- 7 “ |
m a x |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Упр |
|
|
|
|
Приравниваем |
|
|
|
|
м ыр |
|
|
|
|
|
|
|
|
СЯЯ' |
Т т а к |
|
|
31 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
max. ~ ~2Ч |
|||
Эпюра остаточных касательных напряжений показана |
на рис. 9, В |
|||||||||
тт |
<* |
|
' W |
- % + § ? % ~ j j - T s |
, |
|||||
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
J> * - 5- |
''Г |
|
_ |
£$ + JJQ |
' Г |
____ И -п~ |
|
||
|
2 |
|
|
о с т — |
^ |
- jya Ss |
||||
Если остаточные напряжения найдены правильно, то система ос таточных напряжений, являясь самоуравновешенной, должна сводить ся к нулевому крутящему моменту / 8/ .
|
|
Остаточные напряжения в полом шаре |
|
|
|||||
|
|
под |
действием |
внутреннего |
давления / 3 / |
|
|||
|
|
|
|
Постановка задачи |
|
|
|
||
Рассмотрим упругопластическое равновесие полого |
шара, испы- |
||||||||
тывавдего внутреннее |
давление Р (рис. 10, |
где |
- |
пластичес |
|||||
кая зона, |
□ |
- |
упругая зон а). Решение |
в сферических |
координа |
||||
тах Z , |
, $ |
. Вследствие |
центральной |
симметрии |
сдвиги |
||||
Yz<p - |
|
- Y Q S - |
О > касательные |
напряжения |
|
= ^tpQ = |
|||
г 7-*^2 ~ О |
п |
|
|
• |
|
|
|
|
|
Уравнение равновесия имеет вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
2 |
= |
/7 |
|
|
(I ) |
dz 2
|
|
|
Р и с.10 |
|
|
Условие |
сплошности: |
|
|
г/ |
|
d£< |
|
|
|
c /fl |
|
c te Vf + |
г |
_ |
О , |
с/г |
2 |
где U - радиальное |
смещение. |
|
|
||
Граничные условия: |
|
|
|
||
|
Z**CL = " Р , |
|
( 2 ) |
||
|
г |
- |
0 |
|
( 3) |
|
|
|
I |
|
|
Упругое состояние
Если давление Р невелико, то шар находится в упругом со стоянии.
. |
р( 1 - |
6 |
,) , |
|
_, |
у |
в3, г |
|
+ Т |
1 Г> ■ |
|
^ |
3 |
|
|
/-у |
|
|
|
Р Я3-О3
Эпюры напряжений показаны на р и с .II,«Г.
Упругошгастическое состояние
Условие текучести имеет вид
<Оф — (оg |
= |
G>s |
(5) |
Уравнение равновесия |
(I) |
приводится к |
виду |
|
|
|
- |
2 |
|
* |
О |
|
|
Отсюда находим |
<ог * 2<os ваг |
+ |
|
||||||
|
|
|
|||||||
Постоянную |
С / |
определяем из граничных условий (2 ): |
|
||||||
|
|
C f = |
- |
р - |
2 <os Bа а. |
|
|||
Окончательно получаем для пластического состояния: |
|
||||||||
б * |
= |
2<2s |
e n - £ - |
- |
р |
|
9 |
|
|
рп 1 _____ ( - ) * - |
- р |
/ |
- |
- L |
(6) |
||||
* * * |
3 |
С CL) |
U |
|
3 |
|
|||
Gy |
|
+ &$г б$ ( f+2fa ) ~Р • |
|
||||||
Рассмотрим упругоплаотическое состояние полого шара, когда |
|||||||||
часть сферы |
a £ Z |
|
(где |
G |
С < |
) находится в |
пластическом |
||
состоянии, а |
часть |
с ^ 2 ^ 5 - |
в |
упругом состоянии. |
Обозначим |
||||
Рис Л I
ф - интенсивность давления пластического слоя толщиной |
( с - а ) |
|||||||
на упругую часть толщиной |
( & - С |
) . |
|
|
|
|
||
Решение для упругой зоны получим из |
формул (4 ), |
если |
подста |
|||||
вим в них вместо р |
и |
а |
значения |
ф и |
С , где ф |
- |
напряже |
|
ние 6*2 на границе |
областей упругости и текучести. |
|
|
|||||
Используя условия непрерывности |
|
|
|
|
||||
~,Пл\ |
— |
-i |
Уг*Р |
|
|
|
|
|
I г = с |
|
©* |
|
|
\ |
|
|
|
пл\ |
|
г*УПР |
|
|
|
|
||
«с |
z —с |
|
|
|
||||
(оч>IZ - С |
|
G p |
|
|
|
|||
подучим уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 - 2 < g g A t - 1 - - р |
, |
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Задавая конкретное |
значение Р |
=т у |
2 |
> получим |
|
|
||
6
- 5- = ^
Окончательное решение:
€>2= 2<os £n~$[ ~ р >
1 |
при а |
2 ^ С , (8) |
4 Ч>т - $ 0 + т ' - ф - ) |
при |
> (9) |
|
|
Гда |
? = |