книги / Определение остаточных напряжений при пластических деформациях
..pdf
Эшоры напряжений показаны на р я с « II, О. ( С - граница между 'ynpjrro't я пластической зонами).
Определение остаточных напряжений
Если снять давление Р , то в шаре зозникнут остаточные напря
жения, Согласно теореме о разгрузке для их определения нужно к на пряжениям, полученным в упругопластическом состоянии (формулы (8),
(9) |
), прибавить |
напряжения, |
полученные |
в |
упругом состоянии |
(фор |
|||||
мулы |
|
(4) ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточные напряжения имеют вид |
|
|
|
|
|
||||
ост |
. Л |
J L |
л |
Г |
\ |
, |
|
|
|
|
|
<Ог |
=2<os Eaa |
Р р ( * ~ - ^ з ) |
|
|
при ОГ^ 2 |
С |
|||||
tOcrn |
|
|
|
f л |
^ |
В |
3 |
||||
, |
*£> |
. |
|
^ |
|
|
|||||
4» =26Jn--p+<Ss-pO +Y'^)
4 cm -(p+?)(<-j?).
при с ^ г ^ В
г д а ^ |
= |
Эпюры остаточных напряжений для ^Р- - 1_ ,т2 2.* e^ - 1I. 015,* |
|
« |
2 показаны на ри с.11, & |
Остаточные напряжения в трубе под действием давления / 3 ,4 /
Рассмотрим упругопластическое равновесие толстостенной трубы под действием внутреннего давления Р (рис.12, где EZS3 - плас тическая зона, СПЗ - упругая вона).
Р и с.12
Упругое состояние
Система уравнений для упругого материала, находящегося в у с ловиях плоскодофоршрованного состояния, имеет вид
d lO z |
(ёъ ~ бц> ) |
О |
|
dz |
Z |
||
|
(хо)
er- e . , e ( f — §-)
<ох ё = 2 в ( - § - ) '
|
|
|
|
|
<S - |
з к <2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
к = |
1-2JU |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
122 |
- |
упругое |
перемещение при разгрузке; |
|
|
|||||||
|
ё |
- |
относительное |
изменение объема, |
£ —6-4-8 |
*г £» |
|||||||
с |
аи |
, |
е |
- |
^ |
|
^ |
|
г |
||||
|
- g z |
+ ^<.0 |
|
||||||||||
г= "зГ * сч>- |
|
|
5 |
<Q = |
|
||||||||
|
|
|
|
Л |
|
||||||||
Граничные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
<ог \? = |
а. |
” ^ |
|
|
|
|
( I I ) |
||
|
|
|
|
<gf2 I 2 = |
£ = |
О |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решая систему уравнений |
(10) |
и используя граничные условия |
||||||||||
( I I ) , |
получим напряжения в упругодеформированной |
трубе, |
находя |
||||||||||
щейся под |
|
воздействием |
внутреннего давления |
Р /3/: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
- |
“f r ) |
> |
|
|
|
|
|
|
|
й у , = Р ( 1 + - ф ) |
, |
|
|
|
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
а 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^£ = Р gz-c ? = т ( * г * |
> |
|
|
||||||||
где P = P W ^ ? -
Эпюры напряжений показаны на рид.13,<Г.
Упругопластическое состояние
Условие текучести Мизеса имеет вид
|
|
|
|
|
~ |
&>z = 1j15(os |
f |
|
|
|||
где |
(о$ |
- |
предел |
текучести. |
|
|
|
|
|
|||
Уравнение |
равновесия |
приводится к |
виду |
|
|
|||||||
|
|
|
с ^ г |
|
1,15ёа |
^ |
л |
|
|
|||
|
|
|
“Ж-------- «------0 |
|
|
|||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 г = 1 , l S ( ^ Q E m |
+ |
|
|
|||||
Постоянную |
С1 |
оцределяем из |
граничных условий ( I I ) : |
|
||||||||
|
|
г = а —~р = 1,15(озе.па + с1= > |
|
|||||||||
|
С ^ - р - 1 , 1 5 ^ В п а . , |
|
|
|
|
|||||||
|
<02“ |
" р + |
4>15<о§ £ п ~ & |
'*» |
|
\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<olf = 1,i5<£s + (£z = -р |
* |
J,t5ds (f+ |
In-g-) |
|
|||||||
|
Рассмотрим упругопластическое |
состояние |
трубы. Кольцо |
|||||||||
О |
-^ С |
находится в |
пластическом |
состоянии. В упругой |
зоне |
|||||||
с < |
2 б |
справедливы формулы (12),. если подставить вместо /Э |
||||||||||
и а |
значения |
ср |
и |
С |
, где |
ср |
- радиальное |
напряжение |
на |
|||
линии раздела |
2 = |
С . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Используем условие |
непрерывности: |
|
|
||||||||
|
пл |
|
|
|
|
Упр |
|
|
|
|
|
|
|
(Og |
г - с |
|
|
|
T zrC |
, |
L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
,пл |
|
|
|
А Упр |
|
|
|
|
|
||
|
<Оу |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
г = с |
г = с , |
|
|
у. i»15<os tn .-£ [- |
> |
|
|
|
taa + 2~[*~(а) '(-Г)]- ~7Щ, |
Г |
|
||||
|
|
|||||
Задавая конкретные |
Р |
0,72, |
получим |
С |
(от- |
|
значения —р г т' - |
—=~ = 1 ,5 |
|||||
8 |
. |
Gs |
|
решение: |
а |
|
ношение — |
= 2 ) . |
Запишем окончательное |
|
|
||
ёг= -Р+1,15б$еп— , |
|
|
|
|
||
6 у = -Р + 1 ,1 * < 2 а 0 + е п -! • ) |
|
при |
г ^ с 9 |
(1з) |
||
|
|
|
|
|||
Ц> C'f- |
) 3 |
г при С ^ |
^ в 9 (14) |
* r - W * g )
Эпюры напряжений показаны на рис. 1 3 ,а .
Определениеостаточных напряжений
Если снять давление р , то в трубе возникнут остаточные на пряжения. Согласно теореме о разгрузке для их определения нужно к напряжениям, полученным в упругопластическом состоянии (формулы (13), (14) ), прибавить напряжения, полученные в упругом состоя нии (формулы (12) ):
« |
^ - р + 1 . « ь » п ± - р ( 1 - - £ ) , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у при |
G ^ |
%£г С 3 |
d |
; enL - p * m < s s M |
n ^ |
) - p |
( i + t ) |
|
|
|
|||||
|
.ОС/П |
, |
iv |
|
ё г . |
> |
|
|
|
|
||
<&t |
= -(p + t y )( 1 - |
~^т) |
|
|
|
|
||||||
|
®y> |
= - С р + о , Ю * ~ т ) |
|
|
при |
с < г ^ в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
; |
? - * |
£ 2 - C * |
|
|
|||
|
Эпюры остаточных |
напряжений для |
= 0,72 и |
|
|
|||||||
£ |
= 2 показаны на |
р и с .1 3 , в |
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточные |
напряжения в |
трубе |
при волочении / 4 / |
|
|
||||||
|
В данном случае имеет место осесимметричное плоское |
течение |
||||||||||
во всем объеме и |
на поверхности, т . е . всё |
сечение находится в |
||||||||||
пластическом |
состоянии (р и с,14): |
|
|
|
|
|
||||||
|
вг = - |
1>15<6S Вп^р |
’ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
(15) |
|
(0(р — — 1з |
( i + |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
Давление, |
или |
напряжение, |
осадки |
трубы |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Р = г - 1 ,1 5 < о ^ е п ~ - |
|
|
( к ) |
|||||
|
g |
= |
2, |
р |
= 0 ,8 . |
Эпюры напряжений показаны |
на рис. 1 5 ,a . |
|||||
Дусть |
-g r - |
|||||||||||
Согласно |
теореме |
о разгрузке |
вычислим поле напряжений в |
трубе, на |
||||||||
ходящейся под воздействием внешней нагрузки обратного, чем в форму ле (16), знака:
« i — P f f -
G>tp — - p (1 +
где
Эпюры напряжений показаны на рис. 15, ё .
Рис.14
Для определения остаточных напряжений нужно к напряжениям, полученным в пластическом состоянии (формулы (15) ), прибавить напряжения, полученные при разгрузке (формулы (17) ) .
Эпюры остаточных напряжений показаны на рис, 15,$ .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М .: Гостехиздат, 1952.
2. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968.
3. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М .: Наука,
1969.
4.Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986.
5.Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползуче сти. М.: Машиностроение, 1975.
6. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. М., 1965.
7. Петинов С.В. Основы инженерных расчетов усталости судо вых конструкций. Л .: Судостроение, 1990.
8. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1978. Т .2 .