книги / Прочность и устойчивость статически неопределимых рам
..pdf• для первого пролета
δ |
= − |
1 |
1 6 (6 − x) x (x +6) 1 = |
1 |
(x2 −36) x ; |
|||
|
|
|||||||
1F |
1,2EJ |
2 |
6 |
3 |
6 1,2EJ |
36 |
||
|
|
δ2F |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
6 |
(6 − x) x |
(x +6) |
1 |
= |
|
|||||||||||||||||
|
1,2EJ |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
x (x2 −36) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − |
|
x +6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x (6 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
δ3F |
= − |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1, 2EJ |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x (6 − x)(12 − x) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1, 2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
• для второго пролета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ( |
4,8 − x) |
|
|
|
x +4,8 |
|
||||||||||||||
δ1F = − |
|
|
|
|
|
|
|
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4,8 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1, 2EJ |
|
2 |
|
|
|
|
|
4,8 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − x (4,8 − x) (9,6 − x) ; 34,56EJ
δ2F = 0; δ3F = 0.
=
1
4,8
(1.14)
=
(1.15)
Подставляя выражения (1.14) и (1.15) в (1.13), получим выражения для построения линий влияния лишних неизвестных x1, x2 и x3.
Линии влияния изгибающего момента MkF0 , поперечной силы QkF0 в основной системе показаны на рис. 1.10. Единичные значения Mki , Qki и Nki взяты из рис. 1.5:
21
|
|
|
k1 = −0,6; |
|
|
|
|
k 2 = 0,6; |
|
|
|
k 3 = −1,8; |
|||||||
|
M |
|
M |
M |
|||||||||||||||
|
|
|
k1 = −0,167; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q |
Qk 2 = 0,167; |
Qk 3 =0,75; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
Nk 2 = 0; |
|
|
Nk 3 = −1; |
Рис. 1.10
Вычисленные значения ординат линий влияния M и Q сведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Вели- |
|
|
Первый пролет |
|
Второй пролет |
||||||||
|
чина |
1 м |
2 м |
|
3 м |
3,6 м |
4 м |
5 м |
1 м |
2 м |
3 м |
4 м |
|
δ1 f |
–0,810 |
–1,481 |
–1,875 |
–1,920 |
–1,852 |
1,273 |
–0,945 |
–1,231 |
–1,031 |
–0,518 |
|||
δ2 f |
0,810 |
1,481 |
|
1,875 |
1,920 |
1,852 |
1,273 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
δ3 f |
–5,729 |
–8,333 |
–8,437 |
–7,560 |
–6,667 |
–3,646 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
л.в. x1 |
0,084 |
0,212 |
|
0,326 |
0,364 |
0,368 |
0,279 |
0,435 |
0,567 |
0,475 |
0,236 |
||
л.в. x2 |
–0,163 |
–0,264 |
–0,301 |
–0,291 |
–0,271 |
–0,171 |
0,154 |
0,201 |
0,168 |
0,085 |
|||
л.в. x3 |
0,074 |
0,104 |
|
0,101 |
0,088 |
0,076 |
0,038 |
–0,026 |
–0,034 |
–0,028 |
–0,014 |
||
л.в. Mk0 |
0,400 |
0,800 |
|
1,200 |
1,440 |
1,200 |
0,600 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
k1 |
–0,050 |
–0,127 |
–0,196 |
–0,218 |
–0,221 |
–0,167 |
–0,261 |
–0,340 |
–0,285 |
–0,142 |
||
(л.в. x1) |
|||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 1.1
Вели- |
|
|
Первый пролет |
|
Второй пролет |
||||||||||||||
|
|
чина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 м |
2 м |
|
3 м |
|
3,6 м |
4 м |
5 м |
1 м |
2 м |
3 м |
4 м |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
k 2 |
–0,098 |
–0,158 |
–0,181 |
|
–0,175 |
–0,163 |
–0,103 |
0,092 |
0,121 |
0,101 |
0,051 |
||||||
(л.в. x2) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
–0,133 |
–0,187 |
–0,182 |
|
–0,158 |
–0,137 |
0,068 |
0,047 |
0,061 |
0,050 |
0,025 |
||||||||
(л.в. x3) |
|
||||||||||||||||||
л.в. |
0,119 |
0,328 |
|
0,641 |
0,889 |
|
0,679 |
0,262 |
–0,122 |
–0,158 |
–0,134 |
–0,069 |
|||||||
Mk |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
л.в. Qk0 |
–0,167 |
–0,333 |
–0,500 |
|
−0, 600 |
|
0,333 |
0,176 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
0, 400 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q |
–0,014 |
–0,035 |
–0,054 |
|
–0,061 |
–0,062 |
–0,046 |
–0,073 |
–0,095 |
–0,079 |
–0,039 |
||||||||
(л.в. x1) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
–0,027 |
–0,044 |
–0,050 |
|
–0,049 |
–0,045 |
–0,029 |
0,026 |
0,033 |
0,028 |
0,014 |
||||||||
(л.в. x2) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
0,056 |
0,078 |
|
0,076 |
0,066 |
|
0,057 |
0,029 |
–0,019 |
–0,025 |
–0,021 |
–0,101 |
|||||||
(л.в. x3) |
|
|
|||||||||||||||||
л.в. Q |
–0,152 |
–0,334 |
–0,529 |
|
−0,644 |
0,283 |
0,121 |
–0,066 |
–0,086 |
–0,072 |
–0,036 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
0,356 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия влияния продольной силы построена по формуле
л.в. Nk = л.в. NkF0 + Nk1 (л.в. x1 ) + Nk 2 (л.в. x2 ) + Nk 3 (л.в. x3 ) = = Nk 3 (л.в. x3 ) = −1 (л.в. x3 ).
Таким образом, ординаты линии влияния N равны ординатам линии влияния x3, взятым с обратным знаком (рис. 1.11).
23
Рис. 1.11
1.4. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры и смещение опор
Система канонических уравнений метода сил при расчете на действие температуры и осадки опор имеет вид
δ11x1 +δ12 x2 +…+δ1n xn +∆1t,∆ = 0; |
|
|
|
+…+δ2n xn +∆2t,∆ = 0; |
|
δ21x1 +δ22 x2 |
(1.16) |
|
....................................................... |
||
|
|
|
|
+…+δnn xn +∆nt,∆ = 0, |
|
δn1x1 +δn2 x2 |
|
|
где ∆it,∆ – перемещение по направлению силы |
xi в основной |
|
(статически определимой) |
системе от действия |
температуры |
и осадки опор.
Матрица системы канонических уравнений остается прежней (как при силовом воздействии).
24
При температурных воздействиях перемещения ∆it определяются по формуле
|
|
∆it = ∑α ∆ht ∫ M |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i ds +∑αt0 ∫ N |
i ds = |
|
||||||
|
|
k |
sk |
|
|
k |
sk |
(1.17) |
||
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑α |
ωM |
i +∑αt0 ωN |
i , |
|
||||
|
|
h |
|
|||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
где t0 |
– температура у нейтральной оси; |
|
|
|
|
|||||
∆t – перепад температур между нижним и верхним волок- |
||||||||||
нами сечения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α – коэффициент линейного расширения материала; |
|
|||||||||
ωM |
, ωN |
– площади эпюр изгибающих моментов и про- |
||||||||
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
дольных сил единичного состояния (от xi |
=1). |
|
Грузовые перемещения ∆i∆ , возникающие вследствие не-
точности изготовления отдельных стержней и осадки опор, определяются в статически определимых основных системах. Они могут быть найдены чисто геометрически или с учетом принципа возможных перемещений. В этом случае роль возможных состояний играют состояния от xi =1. После вычисления свобод-
ных членов ∆it,∆ и коэффициентов δij решается система (1.16)
и определяются усилия по формуле |
|
S = S1x1 + S2 x2 + ... + Sn xn. |
(1.18) |
Для нахождения окончательных перемещений необходимо к перемещениям от действия температуры или осадки опор добавить перемещения от лишних неизвестных. При деформационной проверке результат перемножения окончательной
эпюры M на единичную эпюру Mi должен быть равен соответствующему грузовому члену, взятому с обратным знаком.
25
Пример 1. Рама (рис. 1.12) нагревается так, что температура внутренних поверхностей стержней повышается на 30 °С, внешних – на 18 °С. Толщина стержней составляет одну десятую часть их длины; коэффициент линейного расширения материала
стержня α =125 10−7 1°С, модуль упругости E = 2 105 МПа, момент
Рис. 1.12
Рис. 1.13
инерции J = 104 см4 . Рассчитать раму.
Решение.
1. Определим степень статической неопределимости:
n=3(s −k ) −Cнал =3(2 −1) −1 = 2.
2.Выберем основную систему. Отбросим горизонтальный стержень на правой опоре и включим в левый верхний угол шарнир (рис. 1.13). То-
гда неизвестное x1 будет являться реактивной силой, а x2 – изгибающим
моментом в сечении, где включен шарнир. Канонические уравнения будут иметь вид
δ11x1 +δ12 x2 +∆1t = 0;δ21x1 +δ22 x2 +∆2t = 0.
3. Для вычисления коэффициентов δij построим эпюры
изгибающих моментов M1 и M2 от лишних неизвестных
(рис. 1.14).
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
32 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
||||||
δ11 = ∑∫ EJ1 |
ds = |
|
|
|
4 4 |
|
4 |
= |
|
; |
||
2EJ |
2 |
3 |
3EJ |
26
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
7 |
|
||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
δ22 = ∑∫ EJ2 ds = |
|
|
4 |
1 1+ |
|
2 |
3 1 |
|
|
= |
|
|
|
; |
||||||||||
2EJ |
|
3EJ |
3 |
|
|
3EJ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
δ12 = δ21 = ∑∫ |
M |
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
ds = |
|
|
2 |
4 4 1 = |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
2EJ |
EJ |
|
Для вычисления свободных членов канонических уравнений построим эпюры продольных сил единичных состояний
(рис. 1.15).
Рис. 1.15
27
По формуле (1.17) вычислим свободные члены:
∆1t = ∑α ∆ht ωM1 +∑αt0ωN1 =
=α300,4−18 12 4 4 −α30 2+18 1 3 =168α;
∆2t = ∑α ∆ht ωM2 +∑αt0ωN2 = α300,−418 1 4 +
+α30 2−18 12 3 1+α30 2+18 13 4 = 212α.
Тогда канонические уравнения примут вид
32 x1 + 4 x2 +168α = 0; 3EJ EJ
EJ4 x1 + 3EJ7 x2 +212α = 0.
Решив эти уравнения, получим
x1 =51,3α EJ =12,825 кН м; x2 = −178,8α EJ = −44,7 кН м.
Построим эпюру изгибающих моментов по формуле (1.18), проверим ее и построим эпюры Q и N (рис. 1.16).
Рис. 1.16
28
Пример 2. Левая опора рамы по сравнению с примером 1 опустилась на 15 см, сдвинулась вправо на 4 см и повернулась на угол 0,008 рад (рис. 1.17). Построить эпюры M, Q и N.
Решение. Канонические уравнения для данной рамы имеют вид
δ11x1 +δ12 x2 +∆1∆ = 0; |
|
δ21x1 +δ22 x2 +∆2∆ = 0. |
|
Коэффициенты при неизвестных |
|
вычислены в примере 1. |
|
Для вычисления свободных чле- |
|
нов ∆1∆ и ∆2∆ используем принцип |
|
возможных перемещений (сумма ра- |
|
бот всех сил, находящихся в равнове- |
|
сии, на любых возможных и беско- |
Рис. 1.17 |
нечно малых перемещениях равна |
нулю).
Рассмотрим два состояния: заданное (см. рис. 1.17) и первое единичное (см. рис. 1.14). В заданном состоянии силы отсутствуют, поэтому работа сил этого состояния на перемещениях единичного состояния равна нулю. Составим выражение работы сил единичного состояния на перемещениях заданного состояния:
x1 ∆1∆ +4 0,008 +1 0,04 = 0.
Учитывая, что x1 =1, получим ∆1∆ = −0,072. Составим вы-
ражение работы сил второго единичного состояния на перемещениях заданного:
x2 ∆2∆ + 13 0,15 +1 0,008 = 0,
отсюда
∆2∆ = −0,058.
29
Канонические уравнения будут иметь вид
32 |
x + 4x |
|
−0,072 = 0; |
3EJ |
|
||
1 |
2 |
|
4x1 + 73 x2 −0,058 = 0.
Рис. 1.18
Решим эти уравнения, получим x1 = −0,007EJ; x2 = = 0,037EJ. Эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил показаны на рис. 1.18.
30