книги / Прочность и устойчивость статически неопределимых рам

2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

2.1. Общий алгоритм расчета

Определение степени кинематической неопределимо-

сти. В методе перемещений за основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов системы. Число и вид неизвестных перемещений, принимаемых за основные, называется степенью кинематической неопределимости.

Степень кинематической неопределимости зависит от свойств модели, с помощью которой схематизируется работа деформируемой системы. Определяя число неизвестных, будем считать стержни нерастяжимыми (несжимаемыми), т.е. ЕА=∞.

Общая степень кинематической неопределимости состоит из числа угловых перемещений ny и числа независимых линейных смещений узлов nл:

n = ny + nл.

Значение ny равно числу жестких узлов.

Число независимых линейных смещений узлов, согласно принятой модели ЕА= ∞, будет определяться только изгибной деформацией стержней. Устраним этот вид сопротивления стержней, введя во все жесткие узлы, включая и опорные, полные шарниры.

Значения nл для рам с прямыми стержнями равно степени свободы шарнирной схемы:

nл = 2У−С −Со,

где У – число шарнирных узлов рамы, включая опорные; C – число стержней рамы;

Со – число опорных связей.

Выбор основной системы. Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Она полу-

31

чается из заданной путем введения дополнительных связей в точках и по направлению искомых перемещений. Угловая связь (плавающая заделка) вводится только в жесткий узел. Она закрепляет узлы только от поворота, не накладывая ограничений на линейные смещения. В плавающей заделке появляется только одна реакция – реактивный момент. Линейные смещения устраняются постановкой соответствующих стержневых связей.

Введение дополнительных закреплений компенсируется угловыми и линейными перемещениями Zi, которые принимаются за неизвестные. Окончательная основная система представляет собой заданную нагруженную систему с наложенными на нее связями и неизвестными перемещениями Zi.

Канонические уравнения метода перемещений. Канони-

ческие уравнения метода перемещений устанавливают эквивалентность основной системы и заданной. При n неизвестных она имеет вид

нагрузки.

Произвольное i-е уравнение системы означает, что суммарная реакция в дополнительной связи i от действия всех неизвестных и нагрузки на основную систему равна нулю.

Построение грузовой и единичных эпюр. Благодаря на-

личию дополнительных связей основная система представляет собой ряд повторяющихся статически неопределимых балок постоянной жесткости. Результаты расчета таких балок на кинематические и статические воздействия приведены в табл. 2.1.

32

Эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (МF) и от единичных перемещений дополнительных свя-

зей (M1, M2 , ...) строятся согласно табл. 2.1.

Продолжение табл. 2.1

M A = ql2 /8;

RA =5ql /8;

RB =3ql /8

M A = ql2 /15;

RA = 4ql /10;

RB = ql /10

M A = 7ql2 /120;

RA =9ql / 40;

RB =11ql / 40

МА = 3EJ2hαt′ = = 3i2αht′l ;

RA = RB = 3EJ2hlαt′ = = 3i2αht′;

α – коэффициент линейного расширения;

h – высота поперечного сечения

34

Продолжение табл. 2.1

35

Вычисление единичных и грузовых коэффициентов. Ко-

эффициенты и свободные члены канонических уравнений (реакции в дополнительных связях) находят из условия равновесия. Для определения реактивного момента в плавающей заделке необходимо вырезать соответствующий узел, а для определения реакции в введенном стержне – весь ригель или всю стойку. Прикладываем к вырезанному узлу или части рамы внутренние

36

усилия и неизвестную реакцию RiF или rij , считая ее положи-

тельной. Записывая уравнения равновесия и решая полученную систему уравнений, находим RiF и rij .

Коэффициенты и свободные члены можно определить также по формулам:

где M F0 – эпюра изгибающих моментов в любой статически оп-

ределимой (или статически неопределимой) системе, полученной из основной путем обязательного исключения связи i и любых других лишних связей по усмотрению.

Построение эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. После решения системы (2.1) и определения неизвестных Zi, окончательная эпюра изгибающих моментов строится по формуле

M = M F + M1Z1 +M2Z2 +...

Построение эпюр поперечных и продольных сил аналогично построению их в методе сил.

Проверка расчета. Критерием правильности решения задачи является то, что внутренние усилия, вычисленные по данным перемещениям Zi, удовлетворяют и всем условиям равновесия системы. Практически надо вырезать узел или соответствующую часть рамы, приложить к ним известные внутренние усилия и внешнюю нагрузку и проверить для них выполнение статических уравнений равновесия.

37

2.2. Расчет статически неопределимых рам на неподвижную нагрузку

Пример. Для рамы, показанной на рис. 2.1, а построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

а

б

Рис. 2.1

Решение.

1. Определим степень кинематической неопределимости как сумму неизвестных углов поворота ny и неизвестных линейных перемещений узлов nл:

n = nу + nл = 2 +1 = 3.

2. Образуем основную систему, введя связи, препятствующие возможным угловым и линейному смещениям, и обозначим

38

предполагаемые направления трех неизвестных перемещений Z1, Z2 и Z3 (рис. 2.1, б). Система канонических уравнений будет иметь вид

Рис. 2.2

39

Рис. 2.3

4. Вычислим коэффициенты rij , применив статический спо-

соб. Для определения коэффициентов первого канонического уравнения, представляющих собой реактивные моменты в защемлении (первой связи), вырежем узел 1 и рассмотрим его равновесие при действии на основную систему Z1 = 1, Z2 = 1, Z3 = 1 (см.

рис. 2.2). На рис. 2.4 показан узел 1 с действующими на него моментами со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в защемлении. Условия равновесия узла дают:

Рис. 2.4

40