книги / Сопротивление материалов. Ч. 1

поперечные сечения смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими.

Рис. 2.5.

Если представить себе стержень состоящим из тонких продольных элементов, торцы которых образуют плоскости поперечных сечений, то все они будут удлиняться одинаково. Следовательно, напряжения в каждой точке поперечного сечения также будут одинаковы, что позволяет однозначно определить их из интегрального условия равновесия (рис. 2.6):

σz =σ(x, y)=σ=const;

N =∫σ(x, y)dA =σA.

A

Все изложенное справедливо и для коротких сжимаемых стержней.

Подчеркнем, что найти напряжение σ (x, y) только из условий равновесия

Ν =∫σ(x, y)dA

A

21

не удаётся, так как этим условиям могут удовлетворять различные законы распределения напряжения по сечению стержня σ(x, y) (рис. 2.7).

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

Поэтому для нахождения функции σ(x, y) кроме условий равновесия необходимо дополнительно привлекать геометрические соображения, в нашем случае – гипотезу плоских сечений.

Рассмотрим возникающие при растяжении и сжатии деформации. При растяжении длина стержня l получит приращение на величину ∆l, а поперечные размеры сократятся соответственно на ∆a и∆b (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

22

При сжатии, соответственно, уменьшится длина и увеличатся поперечные размеры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

Относительным удлинением стержня (продольной линейной деформацией) называется величина

ε=∆dzdz

Отсюда ∆dz =εdz; проинтегрировав это выражение по всей длине, получим абсолютное удлинение стержня

∆l =∫εdz.

l

Эксперименты показывают, что линейная деформация по длине однородного стержня при растяжении постоянной силой не меняет-

ся, т.е. ε=const , или

∆l =εl ;

Аналогично продольной деформации определяется поперечная деформация в направлении размеров a и b:

ε'а =−∆aa ; ε'b =−∆bb

23

Знак «минус» в этом выражении отражает тот факт, что поперечные размеры уменьшаются при растяжении и увеличиваются при сжатии.

Для изотропных материалов можно принять ε'а =ε'b =ε' , при-

чем отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала есть постоянная величина, называемая коэффициентом Пуассона:

µ = ε'

ε

У всех существующих изотропных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5. Конструкционные стали имеют µ = 0,25…0,3.

Значение коэффициента Пуассона, близкое к 0,5, свидетельствует о несжимаемости материала, т.е. независимости его объема от действующих нагрузок.

Между напряжениями и деформациями при растяжении существует зависимость, известная как закон Гука:

Здесь Ε – модуль упругости при растяжении (модуль упруго-

сти I рода). Модуль упругости E и коэффициент Пуассона µ являются основными упругими константами материала. Для сталей модуль упругости E составляет величину (2,0–2,2)·105 МПа; для ряда других конструкционных материалов его значение можно найти, например, в справочных таблицах [6]. Подставив в формулу (2.3) выражения (2.1), (2.2), получим ещё одну формулу записи закона Гука, позволяющую найти абсолютное удлинение стержня при растяжении:

Знаменатель этой формулы EA (произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

24

Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими сосредоточенными силами, удлинения вычисляются на участках, где сила N и жесткость EA постоянны, а результаты алгебраически суммируются:

Формулу (2.5) можно обобщить на тот случай, когда нормальная сила и жесткость стержня непрерывно меняются по длине:

N =N (z), ΕA=ΕA(z).

Полученные зависимости позволяют найти продольные перемещения сечений растягиваемого стержня:

u(z) =u(0) +∫z N (z)dz ,

0 ΕA

где u(0) – перемещение сечения, расположенного в начале координат. Принимая за начало отсчета неподвижное сечение, перемещение произвольного сечения u(z) можно найти как удлинение части стержня, расположенного между этим сечением и заделкой

(рис. 2.10).

Рис. 2.10.

25

Пример 2.2. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в вертикальном стержне, представленном на рис. 2.11, а. Площадь поперечного сечения A, удельный вес материала γ.

Рис. 2.11. б, в, г).

Пример 2.3. Построение эпюр нормальных сил, нормальных напряжений и продольных перемещений в ступенчатом стержне, изображенном на рис. 2.12, а.

E =2 105МПа; а=1,0 м;

F1 =5 кН; A1 =2,0 см2 ;

F2 =3кН; A2 =1,5 см2 ;

F3 =1 кН; A3 =1,0 см2 .

Рис. 2.12.

26

Решение. Построение эпюры нормальных сил ведем аналогично тому, как это делалось в примере 2.1. Выделяем три силовых участка, границами которых являются сечения, нагруженные внешними силами; на каждом из участков мысленно рассекаем стержень на две части, одну из которых отбрасываем, а ее действие на оставшуюся часть заменяем нормальной силой N. В нашем случае удобнее отбрасывать левые части стержня и находить силу N из условия равновесия правых частей. Принимая за начало отсчета крайнее правое сечение стержня и нумеруя участки справа налево, получим:

I. 0 ≤ z ≤ a, N = F3 = 1,0 кН.

II. a ≤ z ≤ 2,5a, N = F3 – F2 = −2,0 кН.

III. 2,5 ≤ z ≤ 3,0a, N = F3 – F2 + F1 = 3,0 кН.

Пользуясь найденными значениями, строим эпюру N.

Для нахождения нормальных напряжений воспользуемся формулой (2.1), при этом учтем, что на втором силовом участке (при z =

=2a) площадь поперечного сечения стержня изменяется:

I. 0 ≤ z ≤ a, σ = N/A3 = 1,0·103/(1,0·10–4) = 10·10–6 = 10 МПа; a ≤

≤z ≤ 2a, σ = N/A2 = (−2,0·103)/(1,5·10–4) = −13,33·106 = = −13,33 МПа. II. 2a ≤ z ≤ 2,5a, σ = N/A1 = (−2,0·103)/(2,0·10–4) = −10,0·106 =

= −10 МПа.

III. 2,5a ≤ z ≤ 3,0a, σ = N/A1 = 3,0·103/(2,0·10–4) = 15,0·106 = = 15 МПа.

Поскольку левый торец стержня неподвижен, сначала найдем перемещение ближайшего к нему характерного сечения B – места приложения силы F1. Для этого воспользуемся формулой (2.4), учитывая, что перемещение любого сечения равно удлинению части стержня между этим сечением и заделкой:

Далее определим перемещение сечения C, воспользовавшись фор-

мулой (2.5):

27

Здесь σ – нормальное напряжение в поперечном сечении n-n,

σ= NA .

Анализируя полученные зависимости (2.7), можно сделать несколько выводов:

1)наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, где α = 0; cos2 α = 1;

2)наибольшие касательные напряжения возникают в сечениях,

повернутых к оси стержня на 45°, и достигают половины наибольших нормальных;

3) в продольных сечениях ( α= π2 ) как нормальные, так и каса-

тельные напряжения равны нулю, т.е. отсутствуют взаимное давление и сдвиг волокон;

4) сумма нормальных напряжений на любых двух взаимно перпендикулярных площадках постоянна и равна σ:

σα =σcos2 α,

σα+90o =σcos2 (α+90o)=σsin2 α,

σα +σα+90o =σ(cos2 α+sin2 α)=σ=const.

Понятие о концентрации напряжений

Равномерное распределение напряжений по площади поперечного сечения стержня нарушается не только в окрестности приложения нагрузок, но и вблизи мест резкого изменения формы или площади сечения.

Это явление носит название концентрации напряжений, а сами факторы, вызывающие ее, – концентраторами напряжений. Кон-

29

центрация напряжений значительно усложняет картину их распределения по сечению. Однако это усложнение носит местный характер. На рис. 2.14 показано распределение напряжений на некотором удалении от концентраторов (сечения B, C) и вблизи них.

Рис. 2.14.

На некотором расстоянии от концентратора, обычно очень небольшом, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно и вычислять по формуле (2.1). Напряжения, найденные по этой же формуле для сечений с концентраторами, называют номинальными:

N

σн = Aнетто ;

здесь Aнетто – площадь поперечного сечения с учетом ослаблений, вносимых концентратором.

Рост напряжений вблизи концентраторов описывают с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений ασ :

ασ =σσmax

н

Принято считать, что при статическом нагружении пластичные материалы малочувствительны к наличию концентраторов. Если же нагрузки циклически меняются во времени либо материал хрупкий, то влияние концентрации напряжений на прочность необходимо учитывать.

30