книги / Сопротивление материалов. Ч. 1

Ix −I y sin 2α0 +Ixy cos 2α0 =0. 2

Это уравнение дает формулу для нахождения угла α0 , опреде-

ляющего положение главных осей u, v несимметричного сечения (рис. 4.10), для которого известны моменты инерции Ix, Iy и Ixy:

ли расчеты моментов инерции выполняются в левой системе координат, то правило знаков для угла α0 изменяется на обратное.

Для вычисления главных моментов инерции следует подста-

Можно также получить формулы для вычисления главных моментов инерции, не содержащие тригонометрических функций. Для

61

этого используем формулы (4.26), (4.27) и представление (4.23) для центробежного момента инерции относительно главных осей u, v

( Iuv =0 ):

Iu −Ix +2 I y = Ix −2 I y cos 2α0 −Ixy sin 2α0 ,

Ix −I y sin 2α0 +Ixy cos 2α0 =0 . 2

Возведем в квадрат правые и левые части этих выражений, сложим их и после простых преобразований получим весьма удобную для практических расчетов формулу:

Сумма дает значение наибольшего главного момента инерции Imax , разность – наименьшего Imin .

Для ответа на вопрос, относительно какой из осей ( u или v ) момент инерции максимален, надо руководствоваться следующим правилом: если Ix >I y , то I max =Iu , I min =Iv ; если Ix <I y , то I min =Iu , I max =Iv . В большинстве случаев правильный ответ может

быть дан, исходя из формы сечения и его расположения относительно главных осей.

Понятие о радиусе инерции сечения

Момент инерции сечения относительно какой-либо оси на основании известной из курса математического анализа теоремы о среднем можно представить в виде произведения площади всего сечения на квадрат некоторого отрезка, называемого радиусом инерции сечения, например:

Ix = Aix2 ,

62

где ix – радиус инерции относительно оси x .

На основании приведенного определения радиусы инерции сечения относительно осей x и y могут быть выражены следующим образом:

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции:

Например, для прямоугольника, изображенного на рис. 4.4, главные радиусы инерции:

Размерностьрадиуса инерции – единица длины; например, мм, см, м. Радиусы инерции сечения являются еще более явственной ха-

рактеристикой формы сечения, чем моменты инерции, так как в них исключено влияние площади. В практических расчетах обычно применение находят главные радиусы инерции.

Моменты сопротивления сечения

Полярным моментом сопротивления сечения называется отно-

шение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:

Wx =Wy = πD3 (1−α4 ). 32

Полярные моменты сопротивления используются в расчетах на прочность при кручении, осевые – при изгибе. Заметим, что при вычислении моментов сопротивления сложных сечений их нельзя ни складывать, ни вычитать, так как моменты сопротивления не являются интегральными величинами (как статические моменты и моменты инерции); в таких случаях расчет выполняется в соответствии с формулами (4.31) и (4.32).

65

Лекция 5

СДВИГ

Расчет на срез

С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только поперечная сила Qy (или Qx). С достаточной степенью приближения деформация сдвига или среза практически может быть получена в случае, когда на стержень с противоположных сторон на весьма близком расстоянии друг от друга действуют две равные силы, перпендикулярные к его оси и направленные в противоположные стороны. Примером может служить резка ножницами полосы, прутьев и т.п. (рис. 5.1, а, б).

Получим формулу для напряжений в поперечном сечении стержня, представленного на рис. 5.1. Пусть известна внешняя нагрузка F. Используя метод сечений, находим, что на участке bc поперечная сила

Qy = F.

Опуская в дальнейшем индекс при Q, запишем интегральную связь (1.1) между поперечной силой и напряжениями, действующими в рассматриваемом сечении, в следующем виде:

Принимая касательные напряжения τ равномерно распределёнными по площади поперечного сечения А (рис. 5.2), на основании выражения (5.1) имеем

Q =τA,

аб

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

Допущение о равномерности касательных напряжений по сечению весьма условно, однако оно широко используется в инженерной практике при расчёте болтов, шпонок, заклёпочных и сварных соединений и других деталей.

Условие прочности на сдвиг (срез) по методу предельных состояний записывается в виде

A ср

где Rср – расчётное сопротивление материала на срез, величина ко-

торого зависит от свойств материала. Отметим, что для пластичных материалов

R = R ≈0,6R.

67

Понятие о чистом сдвиге

Выделим из бруса, представленного на рис. 5.2, элементарный параллелепипед (элемент) в окрестности данной точки поперечного сечения (рис. 5.3, а).

Компоненту касательных напряжений, возникающих на боковых гранях элемента (в поперечных сечениях), обозначим τzy. Очевидно, что для равновесия элемента на горизонтальных гранях (в продольных сечениях) должны быть указаны компоненты напряжений τyz. Найдём соотношение этих напряжений из условия равновесия элемента в виде:

Σmx =0; (τyz dxdz)dy−(τzy dxdy)dz =0.

Сократив это выражение на произведение dxdydz, получим равенство

называемое законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и направлены в противоположные стороны.

Таким образом, в плоскости на гранях прямоугольного элемента действуют касательные напряжения τyz =τzy =τ (рис. 5.3, б).

68

Напряжённое состояние, при котором на гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называют

чистым сдвигом.

Типичным примером тела, во всех точках которого имеет место чистый сдвиг, является скручиваемая тонкостенная труба, показанная на рис. 5.4, а. Прямоугольные до деформации элементы материала стенок трубы превращаются в параллелограммы за счёт изменения первоначально прямого угла на малый угол γ (рис. 5.4, б).

а б

Рис. 5.4.

Закон Гука при чистом сдвиге

Рассмотрим деформацию элемента, ограниченного площадками чистого сдвига. Для наглядности закрепим его по одной из граней (рис. 5.5). Под действием касательных напряжений верхняя грань сдвигается параллельно нижней, превращая прямоугольный элемент в параллелограмм. При этом высота элемента остаётся неизменной, а первоначально прямые углы изменяются на малый угол γ, назы-

ваемый углом сдвига, или относительным сдвигом.

Величину смещения грани обозначают ∆ и называют абсолют-

ным сдвигом.

69

Экспериментальное изучение деформации чистого сдвига обычно проводят путём кручения трубчатых образцов, получая зависимость между напряжением τ и углом сдвига γ. Типичный вид

диаграммы сдвига для пластичной стали показан на рис. 5.6. До пре-

дела пропорциональности при сдвиге τпц справедлива линейная зави-

называемая законом Гука при сдвиге. Здесь G – коэффициент пропорциональности, который называется модулем сдвига материала (модулем упругости II рода). Из выражения (5.6) следует, что модуль G имеет размерность напряжений (Па), так как γ – величина безразмерная. Можно показать, что модуль сдвига не является независимой константой материала и может быть определен для изотропного материала через модуль упругости E и коэффициент Пуассона µ с помощью соотношения

70