Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория вероятностей и математическая статистика. Прикладная статистика с использованием MS EXCEL

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

№

п/п

Гипотеза

m = m 0, m 0

задано

m1 = m 2

Таблица 3.2

Статистика критерия K

Область принятия гипотезы H0

Предполо-

Тест

и ее распределение

для двусторон-

для правосто-

для левосто-

жения

MS Excel

ронней кри-

fH0 (k)

ней критической

ронней крити-

тической

области

ческой области

области

U = m − m0 ,

дисперсия

ZТЕСТ

< u

> u

σ2

(массив; m0;

набл

1−α/ 2

σ/

набл

сигма)

1−α

известна

U N (0;1)

дисперсия

T =

m − m

Tнабл

Tнабл < t1−α, n−1

Tнабл > tα, n−1

ZТЕСТ

σ2

s /

< t1−α/ 2, n−1

неизвестна

(массив; m0)

T Stn−1

дисперсии

Двухвыбо-

− m

σ2 и σ2

рочный

U =

Uнабл

< u1−α/ 2

< u

> u

Z-тест для

+ σ

набл

1−α

набл

известны

средних

U N (0;1)

m1 − m2

σ1

и σ2

T = σ 1 n1

ТТЕСТ

+1 n2

неизвестны,

(массив1;

набл

но принята

(n1 −1)s12

+ (n2 −1)s22

< t

гипотеза

массив2;

σ =

1−α/ 2, n1+n2 −2

1−α, n1+n2 −2

α, n1+n2 −2

n1 + n2 −1

о их равен-

хвосты; 2)

стве

T Stn +n

−2

Окончание табл. 3.2

	Гипотеза			Статистика критерия K	Область принятия гипотезы H0
№	Гипотеза	Предполо-	Тест	Статистика критерия K	для двусторон-		для левосто-
п/п	H0	жения	MS Excel	и ее распределение	ней	для правосто-	ронней кри-
				fH0 (k)	критической	ронней крити-	тической
					области	ческой области	области
					области		области

T =

−m

σ2

и σ2

s12 n1 + s22 n2

ТТЕСТ

T Stk ,

неизвестны,

5 m1

m 2

гипотеза

(массив1;

(s12 n1 + s22

набл

< t

> t

n2 )2

< t

о их

массив2;

набл

1−α, k

набл

α, k

1−α/ 2, k

равенстве

хвосты; 3)

k =

n1 )

n2 )

отклонена

(s1

+ (s2

n1 −1

−1

Таблица 3.3

Гипоте-

Статистика кри-

Область принятия гипотезы H0

№

Предположения

Тест

терия K и ее

для двусторонней

для правосто-

для левосто-

п/п

за H0

MS Excel

распределение

ронней крити-

ронней кри-

fH0 (k)

критической области

ческой области

тической

тизвестно

области

nσ2B

χ2α

< χ набл

χ2набл >

≡

χ2 =

/ 2, п

χ2набл < χ21−α, п

σ2

= σ2

σ02

> χ2

∑

< χ2

≡

− m)

набл

1−α/ 2, п

n j=1

α, п

σ0

задано

тне известно,

χ2 =

(n −1) s2

χ2α/ 2, п < χ набл

χ2набл

χ2набл >

σ2

> χ2α, п−1

χ набл < χ21−α/ 2, п

< χ21−α, п−1

χ2 χп2−1

m1 и m2

известны,

σ12B ,

: σ2

> σ2

σ2

2 B

набл

Fнабл <

σi B ≡

∑(xi j − mi )2

> σ

< f

2 B

j =1

1 B

1−α/ 2, n1, n 2

< f 1−α, n1 , n2

σ2

= σ2

F F

i =1, 2 .

n , n

Двухвыбо-

F =

, s1 > s2

Fнабл <

: σ2

> σ2

m1 и m2

рочный

Fнабл <

неизвестны

F-тест для

< f 1−α/ 2, n1−1, n 2−1

дисперсии

F F

−1

< f

1−α, n1 −1, n2 −1

n −1, n

Вычислим наблюдаемое значение t-критерия.

T	=	m	−m	=	42 −40	≈ 2,29.
			0

набл		s /	n		3,5/ 16
		s /	n		3,5/ 16

По таблице критических точек распределения Стьюдента или с помощью MS Excel (см. подразд. 1.2.3) для уровня значимости α = 0,01 и числа степеней свободы ν = n −1 =15 находим

при односторонней критической области значение t1−α; ν = t0,99;15 =

= СТЬЮДРАСПОБР (2* α ; 15) = СТЬЮДРАСПОБР (0.02; 15) = = 2,60248, удовлетворяющее условию P{T ≥ t0,99;15}= 0,01

и являющееся здесь правосторонней критической точкой:

tкрправ = t0,99;15 = 2,602.

Поскольку Tнабл = 2,29 <tкрправ = 2,602, нет оснований для

отклонения нулевой гипотезы (пересмотра технической нормы времени исполнения данной операции).

Для данной задачи граничное значение уровня значимости αгр, разделяющее области принятия и отклонения основ-

ной гипотезы, можно определить из условия t1−αгр;15 =

=Tнабл = 2,29, имеем αгр = СТЬЮДРАСП(2.29; 15; 1) = 1 – 0,9815346 =

=0,0184654. При этом значении уровня значимости гипотеза H0 отклоняется. Более подробно вопросы назначения уровня

значимости рассмотрены выше, в подразд. 3.1.

Пример 3.2. Выборка 50 электроламп завода А показала среднюю продолжительность работы x =1282 ч с известным среднеквадратическим отклонением 80 ч, а такая же по объему выборка того же типа ламп завода Б – y =1208 ч с известным

среднеквадратическим отклонением 94 ч. Проверить гипотезу о том, что эти заводы выпускают лампы одинакового качества (средний срок службы ламп обоих заводов одинаков). Уровень значимости принять равным 0,05.

Решение. Объемы выборок достаточно велики, предположим, что продолжительность работы электроламп, выпускаемых заводами А и Б, являются случайными величинами,

имеющими нормальное распределение:	X N (m1,σ1 )
и Y N (m2 ,σ2 ), причем σ1 =80, σ2 = 94, а m1	и m2 неизвест-

ны. Согласно условию, нам необходимо проверить нулевую гипотезу H0: m1 = m2 (средний срок службы ламп, выпускаемых заводами А и Б, одинаков) против альтернативной гипоте-

зы H1 : m1 > m2 (лампы,			выпускаемые заводом А,					имеют боль-
ший срок службы).
Для проверки нулевой гипотезы применим правосторон-
ний U -критерий (дисперсии известны, см. 3-й критерий
табл. 3.2). Вычислим наблюдаемое значение статистики.
Uнабл =		x − y				=	1282 −1208	= 4,23.
	σ 2	/ n + σ		2 / n
						802 / 50 +942 / 50
1		1	2	2
По таблице значений нормированной функции Лапласа
Ф0 (x) = F(x) −0,5		( x > 0)			или по таблице квантилей стан-

дартного нормального распределения или с помощью MS Excel (см. подразд. 1.2.3) найдем критическую точку (квантиль) u0,95 ,

удовлетворяющую условию P{U ≥ u0,95} = 0,05. Это значение

равно u1−α =u0,95 = НОРМСТОБР (0,95) = 1,64485 ( Ф0 (u0,95 ) = = 0,95 −0,5 = 0,45 ).

Поскольку Uнабл = 4,23 >1,64, нулевая гипотеза отклоня-

ется в пользу альтернативной. Другими словами, с уровнем значимости 0,05 считается статистически установленным, что срок службы ламп, выпускаемых заводом А, больше срока службы ламп, выпускаемых заводом Б.

Пример 3.3. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать σ02 = 0,04 мм2 . Взята проба из 11 случайно отобранных деталей, и получены следующие результаты

(в мм): 100,6; 99,6; 100,0; 100,1; 100,3; 100,0; 99,9; 100,2; 100,4; 100,6; 100,5. На основании имеющихся данных проверить, обеспечивает ли станок заданную точность. Уровень значимости принять равным 0,05.

Решение. Из условия следует, что нам необходимо прове-

рить нулевую гипотезу H0 : σ2 = σ02		= 0,04 (станок обеспечива-
ет заданную	точность) против	альтернативной гипотезы
H1 : σ2 > 0,04	(станок не обеспечивает заданную точность) при

неизвестном математическом ожидании. Альтернативная гипотеза сформулирована в виде H1 : σ2 > 0,04 , т.к. мы не считаем

σ2 < 0,04. Если в действительности и окажется, что σ2 < 0,04,

это означает, что станок хорошо налажен и выпускает детали более высокого качества, чем предполагалось.

Найдем точечные оценки параметров нормального закона:

	1	n
x = m =100,2 мм; s2 = σиспр2 =		∑(xi − x)2 = 0,1 мм.

	n −1 i=1

Для проверки нулевой гипотезы применим критерий χ2

с правосторонней критической областью (математическое ожидание неизвестно, см. 2-й критерий табл. 3.3). Вычислим наблюдаемое значение тестовой статистики

χ	2	=	(n −1)σиспр2	=	1		= 25.
	набл		σ02		0,04

По таблице критических точек						χ2-распределения или

с помощью MS Excel (см. подразд. 1.2.2) для заданных уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы ν =10 находим

критическую точку		χ2		= χ2		= ХИ2ОБР ( α ; ν) =
		1−α; n−1		0,95;10
= ХИ2ОБР (0,05; 10)		=	18,307,		удовлетворяющую условию
P{χ2 ≥ χ0,95;2	n−1} = 0,05.

Поскольку χнабл2 = 25 >18,307, нулевая гипотеза отклоня-

ется в пользу альтернативной – станок не обеспечивает заданной точности и требует дополнительной наладки.

Пример 3.4. Двумя методами произведены измерения одной и той же физической величины. Первым методом эта величина измерялась 10 раз. Получены следующие результаты:

x1 =10,28; s12 = σ12испр = 0,00084.

Вторым методом эта же величина измерялась 8 раз. Получены следующие результаты:

x2 =10,30; s22 = σ22 испр = 0,00041.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность? Уровень значимости принять α = 0,05. Предпо-

лагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Решение. Из условия следует, что нам необходимо проверить нулевую гипотезу H0 : σ12 = σ22 (оба метода обеспечивают одинаковую точность) против альтернативной гипотезы H1 : σ12 > σ22 (второй метод измерения обеспечивает более вы-

сокую точность).

Вычислим наблюдаемые значения F-критерия:

Fнабл = 0,00084 / 0,00041 = 2,05.

По таблице критических точек F-распределения или с помощью MS Excel (см. подразд. 1.2.4) для уровня значимости α = 0,05

ичисел степеней свободы ν1 =10 −1 = 9 и ν2 =8 −1 = 7 находим критическую точку f0,95; 9; 7 = FРАСПОБР( α ; ν1 ; ν2 ) = = FРАСПОБР(0,05; 9; 7) = 3,676675 ( f0,95; 9; 7 ≠ f0,95; 7; 9 ).

Поскольку Fнабл = 2,05 < 3,68, основания для отклонения

нулевой гипотезы нет. Другими словами, имеющаяся информация о точности этих методов не дает основания считать, что второй метод измерения лучше первого.

Пример 3.5. Рассмотрим снова пример 3.2 в предположении, что дисперсии неизвестны и оценены по сделанным вы-

боркам: выборка 50 электроламп завода А показала среднюю продолжительность работы x =1282 ч с исправленным среднеквадратическим отклонением 80 ч, а такая же по объему выборка того же типа ламп завода Б – y =1208 ч с исправленным

Решение. Снова предположим, что продолжительность работы электроламп, выпускаемых заводами А и Б, являются случайными величинами, имеющими нормальное распределение: X N (m1,σ1 ) иY N (m2 ,σ2 ), причем m1, σ1 и m2, σ2 неизвестны. Согласно условию, нам необходимо проверить нулевую гипотезу H0 : m1 = m2 (средний срок службы ламп, выпускаемых заводами А и Б, одинаков) против альтернативной гипотезы H1 : m1 > m2 (лампы, выпускаемые заводом А, имеют

больший срок службы).

Для проверки нулевой гипотезы применим t-критерий значимости с правосторонней критической областью, но, т.к. дисперсии неизвестны, необходимо сначала проверить гипотезу о их равенстве H0 : σ12 = σ22 . Вычислим наблюдаемое значе-

ние F-критерия (в числителе должна стоять максимальная дисперсия, первое число степеней свободы должно соответствовать выборке с максимальной дисперсией):

Fнабл = 942 /802 ≈1,38.

С помощью MS Excel для уровня значимости α = 0,05 и чисел степеней свободы ν1 = 50 −1 = 49 и ν2 = 50 −1 = 49 находим критическую точку f0,95; 49; 49 = FРАСПОБР( α ; ν1 ; ν2 ) = = FРАСПОБР(0.05;49;49) = 1,607289.

Поскольку Fнабл =1,38 <1,61, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Очевидно, что при проверке основ-

ной гипотезы H0 : m1 = m2 нужно использовать 4-й вариант

критерия из табл. 3.2. Осредненная оценка среднеквадратичного отклонения

(n1 −1)s12 + (n2 −1)s22

802

+ 49 942

σ =

=86,8,

n1 + n2 −1

тогда наблюдаемое значение критерия

m1 −m2

1282 −1208

≈ 4,26.

набл

σ 1 n1 +1 n2

86,8 1 50 +1 50

С помощью MS Excel для уровня значимости

α = 0,05

и числа степеней свободы

ν = n1 + n2 − 2 = 50 +50 − 2 = 98 нахо-

дим

при

односторонней

критической

области

значение

t1−α, n +n

−2

= СТЬЮДРАСПОБР (2* α ; ν ) = СТЬЮДРАСПОБР

(0,1; 98) = 1,660551, удовлетворяющее условию P{T ≥ t0,95; 98} =

= 0,05 и являющееся здесь правосторонней критической точ-

кой: tкрправ =t0,95; 98 =1,66.

Поскольку Tнабл = 4,26 >1,66, результат проверки гипотезы H0 : m1 = m2 совпадает с результатом проверки в примере

3.2 (там выполнялось неравенство Uнабл = 4,23 >1,64 ) – нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной, срок службы ламп, выпускаемых заводом А, больше срока службы ламп, выпускаемых заводом Б.

3.3.Проверка параметрических статистических гипотез

спомощью тестов MS Excel

В MS Excel для проверки параметрических статистических гипотез по выборкам имеются специализированные статистические функции

ZTECT, TTECT, ФТЕСТ

и инструменты, доступные через меню «Сервис» → «Анализ данных»:

–двухвыборочный z-тест для средних;

–парный двухвыборочный t-тест для средних;

–двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями;

–двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями;

–двухвыборочный F-тест для дисперсии.

Кратко рассмотрим их описание и примеры использования, в табл. 3.2, 3.3 также указаны области применения некоторых тестов.

Существенным отличием методики проверки статистических гипотез с помощью статистических функций ZTECT, TTECT, ФТЕСТ является сравнение вероятности, соответствующей наблюдаемому значению критерия, с принятым значением уровня значимости α. В подразд. 2.3 для принятия решения непосредственно сравнивается наблюдаемое значения критерия с границами области принятия гипотезы.

ZТЕСТ (массив; m0; сигма) – возвращает для односторонней критической области P{ x < m0 } вероятность события, что выборочное среднее x = СРЗНАЧ (массив) меньше заданного гипотетического среднего генеральной совокупности m0 . Если x < m0, то благодаря симметрии нормального распределения функция ZTEСT вернет значение, большее 0,5. Для x = m0 функция ZTEСT возвращает значение 0,5.

В приведенном на рис. 3.4 меню MS Excel 2003 ошибочно (как и в начале файла справки по этой функции) утверждается, что функция возвращает двустороннее Р-значение z-теста. В том же файле справки дано верное указание: следующую формулу MS Excel можно использовать для двусторонней критической области при вычислении вероятности того, что выборочное среднее будет значимо отличаться от m0 (в любом на-

правлении):

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20233 б2Теория автоматического управления.-1.pdf
#
12.11.202316.96 Mб3Теория автоматического управления..pdf
#
12.11.202314.08 Mб2Теория анализа хозяйственной деятельности..pdf
#
20.11.20233.15 Mб3Теория бухгалтерского учета.-1.pdf
#
12.11.20235.23 Mб0Теория бухгалтерского учета..pdf
#
12.11.20233.04 Mб8Теория вероятностей и математическая статистика. Прикладная статистика с использованием MS EXCEL.pdf
#
12.11.2023898.56 Кб4Теория вероятностей и математическая статистика..pdf
#
12.11.202318.27 Mб9Теория вертолета. Кн. 1.pdf
#
12.11.202320.53 Mб2Теория вертолета. Кн. 2.pdf
#
19.11.202329.12 Mб6Теория волочения..pdf
#
12.11.20235.68 Mб5Теория гармонизации опыт когнитивного анализа переводческого пространства..pdf