книги / Оптимизация в LINDO

Далее, в;сскщш щрок отчета,приводится одна строка для каждого ограничения, включающая имя ограничения, его резерв (slack) или избыток (surplus) и его двойственную цену. SLACK OR SURPLUS - это значение дополнительной переменной, равное разности правой и левой частей ограничения. Эта величина в неравенствах «меньше или равно» называется резервом, а в неравенствах «больше или равно» - избытком. Если ограничение в точности удовлетворяется как равенство, то значение SLACK OR SURPLUS равно нулю. Если ограничение,^нарушено, что соответствует недопустимому решению, значение SLACK OR SURPLUS будет отрицательным. Это знание поможет найти невыполняемые ограничения в неразрешимой модели.

Двойственную цену (Dual price) можно интерпретировать как значение, на которое критерий; мог бы улучшиться при добавлении единицы в правой части ограничения. Ее цнорда называют .теневой иеной Iресурса1. потому что она показывает, сколько бы был.- готов ЛПР заплатить за дополнительную единицу ресурса. Двойственные цёны Имеют важное значение в линейннрс и квадратичных моделях, но обычно не предб'Жляют интереса для моделей целочисленного программирования.

Как и Reduced cost, двойственная цена действительна только в ограниченном диапазоне значения правой части, так как строго математически двойственная переменная - это производная оптимального значения критерия по правой части ограничения. Для определения этих диапазонов может быть использована команда Range.

Последняя строчка отчета показывает число итераций, или симплекспреобразований, требуемых для решения модели. В моделях целочисленного программирования LINDO будет также печатать, число ветвей, т.е. число переменных, которые решатель использовал. для ветвления до достижения решения.

Ranee____________ Alt + 1

Команда Range генерирует отчет о диапазонах (т.е. анализ чувствительности) для активной модели. Использование команды возможно только после решения модели. Этот отчет включает:

•имена переменных с их текущими коэффициентами в целевой функции и допустимыми увеличениямии уменьшёншми этих коэффициентов,

•номера строк (Условий) с их текущим правосторонним значением (RHS) и допустимыми увеличениями и уменьшениями этих значений.

Отчет о диапазонах уместен только для линейных моделей и практически не используется при решении квадратичных и целочисленных моделей.

Для ранее приведенной модели фирмы "Кама” вид отчёта показан на рис. 10. Интерпретация отчета* следующая: допустимое увеличение и уменьшение

коэффициентов каждой переменней в критерии - это значение, на которое могут быть увеличены или уменьшены коэффициенты без изменения базиса (значений ненулевых переменных). Так, из приведенного отчета следует, что увеличение коэффициента при переменной Х2 в критерии на величину, меньшую 11, или уменьшение его на величину, меньшую 3, не изменит базиса' и значений переменных XI и Х2. Таким образом, имеем следующий диапазон:

7 < значение коэффициента <^1

Допустимое увеличение и уменьшение правой части каждого ограничения - это значение, на которое могут быть увеличены или уменьшены правые части без смены базиса.

31

Команда LINDO Parametrics автоматизирует процесс параметрирования только для правых частей ограничений (LINDO не поддерживает эту функцию для коэффициентов целевой функции). Команда Parametrics будет генерировать отчет и/или график детального изменения значения критерия как функции изменения определенных правосторонних значений. Достаточно определить новое значение правой части ограничения, и LINDO будет изменять текущее правостороннее значение □о шагам до нового значения, показывая значение критерия на каждом шаге. Перед использованием команды Parametrics необходимо решить модель с исходными значениями правых частей.

Вызов команды Parametrics приводит к появлению диалогового окна (рис. 11).

Рис. 11

32

Сначала выбирается параметризуемое ограничение. Его можно ввести непосредственно в поле Parametric Row или двойным щелчком на выбранном имени в списке строк под этим полем. Тогда UNDO покажет ниже списка тип введенного ограничения (<=, = или >=), а в поле New RHS Value текущее значение его правой части. Если в нашем примере мы выберем строку 2, то диалоговое окно примет вид как на рис. 12.

Рис. 12

Теперь в поле New RHS Value нужно изменить текущее значение правой части на то, до которого требуется провести параметрирование. .Далее с помощью флажков в правой половине окна выбирается тип отчета (Report Туре): текстовый или графический, или оба. Для графического отчета можно выбрать его размерность: 2- мерный или 3-мерный. Генерация параметрического отчета начнется после нажатия кнопки ОК. Текстовый отчет будет послан в окно отчетов, а графический - в отдельное окно.

Для иллюстрации введем в поле New RHS Value значение 7 и закажем оба отчета. Полученный текстовый отчет приведен на рис. 13.

Рис. 13

Как видно, параметрический отчет показывает для каждого симплекспреобразования вводимые (var in) и выводимые переменные (var out), направляющую

33

строку (pivot row), правосторонние значения (rhs vai) и как они изменяются от текущего значения до нового, двойственную цену (dual price)1и значение критерия (obj val) для соответствующего значения правой части.

Примечание. LINDO использует • обозначение SLK для дополнительных переменных, вводимых в неравенства. Номер такой переменной - это номер строки соответствующего условия в модели.

Каждая строка отчета представляет собой точку излома в кусочно-линейной (или кусочно-квадратичной в квадратичной модели) зависимости между значением критерия и правой части (точка излома - момент смены базиса). Графический отчет наглядно иллюстрирует эту зависимость (рис.14).

Г

\RHS Parametrics for Row: 2

Рис. 14

Если взять две соседние строки отчета, то приращение критерия вычисляется как произведение двойственной оценки во второй строке на разность значений правых частей в этих строках, что следует из смысла теневых цен. Так, например, изменение правой части с 16.3333 до 11.3333 приводит к уменьшению критерия на

(16.3333 - 11.3333)^3.3333 = 16.6667

и новое значение критерия будет (96 - 16.6667) = 79.3333.

Очевидно, что команда Parametrics позволяет исследовать непосредственно изменения в правой части только одного ограничения. Однако простая модификация модели делает возможным параметрировать одновременно несколько ограничений в линейной модели. Для этого в условия вводится дополнительный столбец (переменная изменений) и дополнительное ограничение, правая часть которого и будет парамЬтризироваться UNDO. При этом будут одновременно изменяться значения правых частей тех исходных ограничений, в которые вошла переменная изменений. Например, пусть исходная модель имеет вид

34

10X+25Y->max

X<30

Y<40

3X + Y < 85

Для одновременного параметрирования 1 и 2 ограничения- с разной величиной изменения модифицируем модель следующим образом:

10X+25Y->max X + 22 < 30 Y -Z<40 ЗХ + Y < 85:

Z = t

При t = 0 имеем исходную модель, при t = 5 правая :ласть 1-го ограничения уменьшается на 10, а второго - увеличивается на 5. Таким^образом, лараметрируя только t, получаем желаемое параметрирование необходимого числа ограничений.

Команда Parametrics может быть применена для линейных и квадратичных моделей, но не применима для целочисленных моделей:

Statistics_________Alt + 3

Команда Statistics посылает небольшой отчет в окно отчетов. Этот отчет дает сводную статистику активной модели.

Первая строка содержит:

•число строк, включая строку критерия;

•число переменных;

•число всех целых переменных, в скобках - из них бинарных;

•QCP - индекс первого реального ограничения в квадратичной модели (О показывает, что модель не квадратичная).

Вторая строка содержит:

•число ненулевых коэффициентов во всей модели;

•число ненулевых коэффициентов в ограничениях, в скобках - из них число коэффициентов, равный +1 или -1;

•плотность модели, определенную как:

(число ненулевых элементов) / [(число строк) * (число столбцов + 1)].

Третья строка содержит абсолютные значения минимальных н максимальных ненулевых элементов соответственно.

В четвертой строке представлены:

•смысл целевой функции (MIN или МАХ);

•число ограничений «меньше или равно», «равно» и «больше или равно »;

•оценка верхней границы числа ограничений с обобщенной.верхней границей (GUBS) ~ ограничения, не имеющие общих переменных;

•оценка нижней границы числа верхних границ переменных (VUBS). Для примера, ограничение XI + Х2 - ХЗ - 0 содержит следующие выводы:

из ХЗ = 0 следует XI = О из ХЗ = 0 следует Х2 = 0.

Последняя строка содержит:

•число столбцов, имеющих только один ненулевой коэффициент;

•число лишних столбцов, т.е. идентичных некоторым другим столбцам кроме, возможно, границ.

35

Окно отчета для нашей моделипредставлено нарис. 15.

Рис. 15

Команда Statistics может быть использована для проверки возможных ошибок в модели. Например, если в каком-нибудь ограничении имя переменной будет записано с ошибкой, то в отчете появится столбец с единичным ненулевым элементом, которого не должно быть.,Или если неправильно поставлена или пропущена десятичная точка в коэффициенте, то эта ошибка может-быть обнаружена в отчете при анализе самого большого или самого маленького по абсолютной величине значения среди коэффициентов.

Peruse__________ A lt+ 4

Команда Peruse может быть использована для просмотра или анализа отдельных частей решения модели и/или структуры. Pemse-отчеты генерируются в текстовом и/шш графическом формате. Возможность сфокусироваться на отдельных частях модели и ее решения с помощью Peruse - это очень полезное средство в больших моделях, где попытка внимательно рассмотреть всю модель или решение может оказаться сверхсложной задачей.

Чтобы использовать все возможности команды Peruse, можно сначала запустить команду Solve для активной модели (хотя это и не обязательно). Далее, по команде Peruse UNDO выдаст диалоговое окно настройки параметров (рис. 16).

Команда Peruse будет выдавать отчет или по столбцам, или по строкам. В левой части диалогового окна даны параметры управления отчетом (Report Parameters). В зависимости от желаемого типа отчета выбирается кнопка Columns (столбцы) или Rows (строки) в группе Orientation. Далее нужно выбрать данные, включаемые в отчет, с помощью установки флажков в группе View Items. Список элементов этой группы с их интерпретацией в зависимости от выбора ориентации отчета приведен в табл. 5.

Факультативное поле Condition (optional) может понадобиться для ввода условия, которое отфильтрует нежелательные столбцы или строки, исключив их из отчета.

Оставшиеся параметры определяют формат отчета. С помощью группы Report Typesможно выбрать текстовый отчет, графический или оба. Текстовый отчет выводится в окно отчетов. Графический отчет располагается в отдельном окне. При выборе текстового отчета становится доступной группа опций Text Report Format, которая позволяет включать в отчет, если нужно, заголовки столбцов (Include Headers) и вставлять в числа разграничительные запятые (Comma Delimited). Если выбран графический отчет, то можно включить только одну кнопку из группы Graph Туре, определяющей вид графика: area диаграмма с областями, bar - столбиковая диаграмма, pie - секторная диаграмма, line или point - график из линий или точек , а также указать размерность пространства для графика (2D или 3D) в группе Graph Style. При этом доступно и поле Graph Title, куда можно ввести свой заголовок графика.

36

Рис. 16

Таблица 5

В качестве примера приведен графический отчет Peruse (рис. 17) для задачи о фирме "Кама” при параметрах команда, установленных в диалоговом окне Peruse Model (см, рис. 16). На графике показаны переменные и их относительные оценки (dual), которые равны нулю, так как обе переменные - базисные.

37

Как уже упоминалось, можно ограничивать объем выводимых данных с помощью условия фильтрования. Это средство используется, когда исследуются большие модели и полный отчет может быть громоздким.

Условное выражение вычисляется для всех строк и столбцов. Если выражение истинно, то строка или столбец попадают в отчет, иначе они пропускаются.

В дополнение к этим символам табл. 6 показывает различные операции, которые могут быть применены к ним при конструировании условных выражений.

-Вычитание

/Деление

38

Окончание табл. 6

>Сравнение, больше чем

<Сравнение, меньше чем

=Сравнение,.равно ; .

#Сравнение, не равно

Например, если в отчете не нужны переменные (primal), равные нулю, то условие следует записать в виде Р >0.

Picture________ Alt+ 5

Команда Picture показывает модель в матричной форме. Она обычно используется для получения визуальной картины модели. Можно получить текстовое или графическое представления матрицы ненулевых коэффициентов.

Просмотр модели в матричной форме может быть полезен в двух случаях. Вопервых, при отладке модели помогает анализ картины ненулевых коэффициентов. Большинство моделей линейного программирования имеют явно повторяющуюся структуру. Неправильно введенные секции модели будут «бросаться в глаза» в ненулевой картине. Во-вторых, ненулевая матрица может быть полезна для распознания специальной структуры модели. Например, если картина матрицы показывает строго блочно-диагональную структуру, то могут оказаться весьма эффективными алгоритмы декомпозиции.

Для получения картины ненулевой матрицы запускают команду Picture в окне модели. Появляющееся диалоговое окно Nonzero Picture позволяет задать вид картины (рис. 18).

Рис. 18

39

Для переупорядочения столбцов и строк следует выбрать опцию Lower Triangular, иначе - None. В первом случае UNDO переупорядочит строки и столбцы так, что максимальное число ненулевых элементов будет под диагональю матрицы. Модель, у которой наибольшее количество ненулевых элементов находится под диагональю, с большой вероятностью будет относительно просто решаться. Кнопки в группе Picture Туре дают возможность выбрать графический отчет, текстовый отчет или оба. Текстовый отчет запишется в окно отчетов. Графический отчет располагается

вотдельном окне.

Втекстовом отчете имена переменных печатаются вертикально сверху вниз в начале отчета, имена строк - слева, а значения правых частей - справа. Матрица нерулевых коэффициентов располагается между ними. Коэффициенты, которые имеют цеЬые значения в диапазоне от 1 до 9, печатаются без изменений. Другие значения коэффициентов представлены буквами, которые определяют диапазон по табл. 7.

Текстовая версия отчета ненулевой картины модели согласуется с параметром ширины терминала, который может переустанавливаться командой EditjOptions. Таким образом, если ширина картины превышает ширину терминала, отчет может быть продолжен на дополнительных страницах.

В графической версии отчета ненулевой.картины приводятся имя модели, ее размерность и, если пространство позволяет, имена строк слева и имена переменных сверху матрицы. Отрицательные коэффициенты представлены красными прямоугольниками, а положительные голубыми. Если в прямоугольнике есть свободное пространство, то также будет показано действительное значение коэффициента. Различие между графической и текстовой версией отчета ненулевой картины в том, что графическая версия не имеет значений правых частей и направления цели, но она включает точные числа наибольших коэффициентов.

Для иллюстрации возьмем модель небольшой транспортной задачи с ограничениями пропускной способности по двум коммуникациям (рис. 19).

Выбрав в диалоговом окне команды оба отчета, получим их в виде, представленном на рис. 20.

40