книги / Оптимизация в LINDO

SMALLEST AND LARGEST ELEMENTS IN ABSOLUTE VALUE=1.0 5.0: NO.<: 84 N0.==: 0 N O > : 0, OBJ=MAX, GUBS <*4

SINGLE COLS= 1 _________

To обстоятельство, что есть столбец с одним ненулевым значением (SINGLE COLS* I), выглядит подозрительно. Допустим, известно, что каждая переменная, имя которой начинается с ‘R \ а третьим символом является ‘С’, должна входить в модель 21 раз (т.е. число ненулевых элементов должно быть 21). Чтобы проверить это, снова запустим команду Reports|Peruse и заполним появившееся диалоговое окно (рис; 27): '*;

Здесь условие п = *г%с%* .and. z # 21 требует от LINDO показать все переменные, которые имеют имя с первым символом ’г’ и третьим символом ‘с’ (д=г%с%) и число, ненулевых значений, не равное 21. В результате можем получить такой отчет:

Из отчета видно, что большая часть переменных содержит ошибки. Для просмотра каждого из вышеприведенных столбцов можно воспользоваться командой ReportsjShow Column.

61

Команда DEBUG

Предположим, модель линейной задачи содержит одну ошибку-опечатку, которая делает ее неразрешимой. Ограничение, содержащее ошибку, будет иметь ненулевую двойственную переменную в отчете о решении. К сожалению, помимо него может быть большое число других ограничений, которые также имеют не равные нулю двойственные цены. Ненулевые двойственные цены означают, что ослабление соответствующих ограничений может уменьшить сумму неразрешимостей. Например, в нижеприведенной модели коэффициент в 4-й строке должен быть не 0.55, а 5.5.

MAX 3X + 7Y

ST

Л). -:.'X+2Y-<3

3)2Х + Y <2

4)0.55Х + Y >4

END

При попытке решить эту модель выдается следующий отчет о решении:

NO FEASIBLE SOLUTION AT STEP 1 (нет допустимого решения на шаге 1) SUM OF INFEASIBUniES (сумма недопустимостей) = 2,483333

VIOLATED ROWS HAVE NEGATIVE SLACK,

OR (EQUALITY ROWS) NONZERO SLACKS.

ROWS CONTRIBUTING TO INFEASIBILITY HAVE NONZERO DUAL PRICE.

(Нарушенные строки имеют отрицательные дополнительные переменные или (в

Все ограничения имеют ненулевые двойственные цены, а ошибка только в

одном.

Команда Solve|Debug будет пытаться определить одно или больше критических ограничений. Ограничение является критическим, если удаления только этого ограничения из всей модели достаточно, чтобы сделать модель разрешимой. Это ограничение идентифицируется командой Debug как д о с т а т о ч н о е М Н О Ж Е С Т В О (SUFFICIENT SET). Не каждая неразрешимая модель имеет критические ограничения. В любом случае команда Debug также определяет множество ограничений таких, как

62

границы столбцов, которые составляют Н Е О Б Х О Д И М О Е М Н О Ж Е С Т В О (NECESSARY SET). Такое множество неразрешимо, однако, если какой-либо элемент этого, множества удалить, оно становится разрешимым. Таким образом, необходимо сделать, по крайней мере, одну коррекцию в NECESSARY SET(ROWS) для разрешимости модели.

Для рассматриваемой модели команда Debug выдает следующий отнет:

SUFFICIENT SET (ROWS), CORRECT ONE OF: (достаточное множество, правильно одно из:)

4) 0.55 X +Y >= 4

NECESSARY SET (ROWS), CORRECT ONE OF: (необходимое множество, правильно одно из:) 2) X + 2 Y <= 3______________________ _

Заметим, что строка 2, которая оказалась правильной, не появляется в списке достаточного множества (SUFFICIENT SET) возможных ошибочных строк, в то время как ошибочная строка 4 вошла в него. Итак, команда Debug может быть полезна в уменьшении числа ограничений, в которых нужно искать ошибки.

Команда Debug может быть использована подобным образом в неограниченных моделях для определения множества потенциально неправильных переменных, которые следует ограничить.

6. Предельныеразмеры и числа

Размер модели, которая может быть решена в UNDO, зависит в основном от быстродействия процессора используемого компьютера, объема его оперативной памяти и от того, как сформулирована модель. На стандартном персональном компьютере с 8 мегабайтами ОЗУ возможно решение с 8000 строк и 16000 столбцов. На машинах с большими объемами памяти версии UNDO позволяют решать задачи с 64000 строк и 100000 столбцов.

Во избежание числовых сложностей следует правильно масштабировать элементы модели. Не должно быть ненулевых коэффициентов с абсолютным значением больше чем 100000 или меньше чем 0.0001. Если LINDO определит, что матрица неудачно масштабирована, то выведет соответствующее сообщение. В таких ситуациях UNDO будет делать проверку значения критических вычислений (т.е. выяснять, в каких случаях число, скажем, 0.00000325 действительно нуль и в каких оно действительно верный ненулевой коэффициент).

В очень больших задачах со многими несвязанными ограничениями возможно небольшое повышение эффективности решения, в частности, сокращение времени, при преобразовании ограничений «больше или равно» в ограничения «меньше или равно».

LINDО принимает введенные данные точно до 6 десятичных цифр. В основном, ответы из UNDO будут иметь почти такую же точность, что и вводимые данные. Очевидно, что число, содержащее меньше цифр, воспринимается как точное значение коэффициента. Это следует иметь в виду при вводе значений, которые нельзя представить точно. В противном случае можно получить неправильные результаты. Например, следующая модель представлена неудачно:

MAX Z

SUBJECT ТО

63

2)- 0.6666 Z + X = О

3)- 0.3333 Z + Y = 0

4)-Z + X +Y = 0

5)Z < - 1

END

Вероятно, составитель модели исходил из следующих соотношений:

2 ) X=(2/3)Z

3)Y = (1/3)Z

4)X+Y=Z

5)Z<r=l

Вэтом случае решение должно быть Z “ 1, X ~ 2/3, Y = 1/3. UNDO, однако, воспринимает коэффициенты, которые,были введены, буквально (как точные значения)

ипредлагает следующее решение в качестве оптимального:

Естественно, что для полученных входных данных ограничение (4) согласуется с ограничениями (2) и (3) только при X = Y = Z = 0. Действительно, если сложить ограничения (2) и (3), то получим -0.99992 + X + Y = 0. Это согласуется с (4) до пяти десятичных знаков только тогда, когда X = Y = Z = 0.

Если же ввести коэффициент модели с точностью до б десятичных знаков в дробной части, а именно:

MAX Z

SUBJECT ТО

2)- 0.666666 Z + X = 0

3)- 0.333333 Z + Y = 0

4)-Z + X +Y = 0

5)Z<= 1

END

то UNDO получит решение:

64

Такой результат обусловлен тем, нго UNDO рассматривает значения 0.999999 и 1 как неразличимые.

Из этого примера следует, что при грамотной записи модели допустимое множество не должно так существенно изменяться при малых изменениях в коэффициенте. Такое влияние обусловлено наличием в модели линейно-зависимых ограничений. В рассмотренном примере такими ограничениями являются (2), (3) и (4). Когда Z =1, ограничение (4) излишне или несовместно с (2) и (3), зависящих от очень маленьких изменений в коэффициенте. Если же удалить ограничение (4), то обнаружится, что модель стала устойчивой' (робастной), и решение только слегка изменится при малых изменениях в .коэффициентах при Z в (2) и (3). Большая двойственная цена 9998.34 в первом решении как раз и говорит о том, что модель содержит линейно-зависимые, но не вполне совместные, ограничения. Большое значение двойственной переменной показывает, что малые изменения параметра могут сильно сказываться на результатах.

Рекомендации

Известно, что компьютеры используют бинарную систему счисления, в которой нельзя представлять точно большинство дробей. Например, большинство компьютеров не могут представить вполне простую дробь типа 0.1 с полной точностью. Таким образом, если^ вводится модель, имеющая дроби, то модель, сохраненная внутри компьютера, может слегка отличаться от введенной. В результате решение может быть слегка отличным от того, которое ожидается (вместо 1.0 появится в отчете 0.99999 и т.п.). Чтобы уменьшить подобные явления, следует избегать, по возможности, дробей в вводимых данных, особенно типа 0.66666.

В связи с этим ограничение вида

-.66666 Z + X = 0

лучше переписать как

-2Z + 3 Х = 0,

а ограничение

Х-0.1 у < 0

можно представить в виде

10 X - Y < 0.

65

Приложение 1

Краткий обзор команд LINDO для Windows

1. Меню FILE

2. Меню EDIT

бб

4. Меню REPORTS

67

Positive Definite (Положи­

Определяет, является ли матрица положительно

тельная определенность)

определенной (в модели квадратичного

5. Меню WINDOW

6. Меню Help

68

Приложение 2

Краткое описание команд для командной строки

Все команды. .LINDО,., применимые в операционных системах с текстов интерфейсом (MS-DOS и др.), сгруппированы в 11 категорий.- . Каждая: катего| представлена соответствующей таблицей.

69

70