книги / Основы биомеханики

Это решение есть круг, дающий абсолютный минимум задачи (2.44). Полярный момент инерции в этом случае

Доказательство формулы (2.45). Введем функционал, где ограничение учитывается с помощью множителя Лагранжа

Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид

F есть подынтегральная функция функционала J,

F = 1 ρ4 − λ ρ2 . 4 2

Из уравнения Эйлера–Лагранжа имеем

ρ3 −λρ = 0 ρ(ρ2 −λ) = 0 .

Имеем три корня последнего уравнения:

ρ1 = 0 не удовлетворяет ограничению,

ρ22,3 = λ .

Значение λ может быть найдено из ограничения задачи

2π

I1 = 12 ∫0 ρ2 (ϕ) dϕ = S ,

πρ2 = S πλ = S λ = Sπ .

51

Окончательно,

ρ(ϕ) = λ = Sπ .

Далее покажем, что профиль в виде круга дает абсолютный минимум полярного момента инерции. Возникает также задача нахождения профиля поперечного сечения, дающего абсолютный максимум полярного момента инерции при заданной площади

Для простоты предположим, что профили поперечных сечений кости должны иметь форму правильного многоугольника с данной площадью S (рис. 2.20).

Таким образом, мы учтем, что биологическая природа должна иметь определенную симметрию поперечных сечений.

Известно, что полярный момент инерции правильного многоугольника выражается формулой

где n − число углов многоугольника (рис. 2.21).

Формула (2.47) может быть получена непосредственным интегрированием.

52

Очевидно, что полярные моменты инерции правильных многоугольников образуют последовательность при n = 3, 4, 5, ...

Можно доказать, что производная d I p < 0 и функция I p (n) dn

является убывающей функцией от n, имеющей следующий вид

(рис. 2.22):

Рис. 2.22. Зависимость полярного момента инерции многоугольника от числа углов при неизменной площади многоугольника

Следовательно, I p имеет максимум при n = 3 (треугольное се-

чение) и стремится к инфимуму (наименьшее значение) при n → ∞ (круг).

Основываясь на полученных результатах для сплошного стержня, мы можем рассмотреть задачу для полого стержня, использовав суперпозицию для сечения с внешней и внутренней границами, каждая из которых есть контур правильного многоугольника с различным, вообще говоря, числом сторон (рис. 2.23).

Математическая постановка принимает вид

53

с ограничениями

∫ ds = S1 , и ∫ ds = S2 .

В результате мы приходим к выводу, что задача (2.49) имеет решение при n = 3 , а задача (2.50) – при n = ∞ . Поэтому решение проблемы (2.48) дается профилем поперечного сечения кости в виде правильного треугольника на внешнем контуре и кругом – внутри

(рис. 2.24).

54

2.8.4. Выводы

1.На основании полученных результатов можно заключить следующее:

а) трубчатые кости, имеющие профили с правильным треугольником снаружи и кругом внутри, оптимально адаптированы к крутящим моментам, так как ониимеют максимальную крутильную жесткость;

б) наоборот, кости с внешним круглым контуром не адаптированы к кручению.

Следовательно, в первом случае кости в процессе эволюции были подвержены в основном крутильным нагрузкам, а во втором случае ситуация была другой.

2.С точки зрения анатомии человека можно заключить, что бедренная кость человека (практически круглая в поперечном сечении) подвергается при ходьбе, беге, прыжках и других активных движениях

восновном изгибу и сжимающим нагрузкам. В то же время большеберцовая и малоберцовая кости имеют поперечное сечение, по форме близкое к треугольнику, что говорит о крутильном характере воздействий на них. Эти результаты связаны с формой суставов этих костей: головка бедренной кости представляет собой почти идеальную сферу, что не позволяет передавать крутящие моменты к бедренной кости через тазобедренный сустав, в то же время форма коленного сустава аналогична одноосному суставу, который позволяет передачу закручивающих усилий, но не изгиб костей.

В результате две кости при минимуме костного материала адаптированы природой для передачи различных нагрузок от скелета человека к нижним конечностям

2.9.ПЕРИОСТАЛЬНОЕ (НАДКОСТНИЧНОЕ) И ЭНДОСТАЛЬНОЕ

УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕСТРОЙКОЙ КОСТИ ПРИ КРУТИЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ

Предлагаемая модель позволяет описать изменение формы кости, имеющее место в средней части диафиза длинных костей при адаптивной перестройке, вызванной увеличением или уменьшением

55

крутящего момента [9]. В этой модели средний диафиз длинной кости представляется как полый толстостенный правильный круглый цилиндр. Далее будет показано, что модель перестройки зависит от того, что является стимулом перестройки – периостальная или эндостальная поверхность. Также предполагается, что имеется конечный интервал изменения напряжений, где перестройка не происходит («ленивая зона» – lazy zone). В данном решении рассматривается только статика, но не динамика перестройки, т.е. не рассматривается ход перестройки со временем, а лишь конечная форма кости после окончания перестройки.

2.9.1. Описание теоретической модели

Геометрическая модель области диафиза длинной кости есть полый правильный круговой цилиндр (рис. 2.25).

Механическое нагружение цилиндра и возникающие напряжения могут быть исследованы методами сопротивления материалов.

Цилиндр подвержен сжатию аксиальной силой Р и кручению крутящим моментом М.

Аксиальное напряжениеσ, производимое силой Р,

56

Формулировка периостального (или эндостального) управления перестройкой связана с предельными значениями напряже-

ний (2.51) и (2.52).

Мы предполагаем, что деформация в некотором месте кости управляет процессом перестройки в окрестности этого места в соответствии с законом Вольфа. Это деформационное управление в процессе перестройки кости аналогично управлению в термостате путем нагрева–охлаждения (холодильник). Предполагается, что существует конечная область деформации, связанная с равновесием перестройки, где перестройка отсутствует. Аналогично работает термостат: при превышении верхней предельной температуры включается система охлаждения, при уменьшении температуры ниже нижней предельной температуры включается система нагрева.

Другими словами, в упругой кости имеется зона напряжений (или деформаций), где перестройка отсутствует («lazy zone»).

Диапазон аксиальных нормальных напряжений σ в периосте и эндосте в равновесии перестройки

здесь индексы « p » и « e » относятся к периосту и эндосту, « + » и « − »

означают верхние и нижние предельные значения.

Заметим, что нормальные напряжения σ однородны по сечению, а касательные напряжения τ изменяются линейно по координате ρ.

Из формулы (2.52) видно, что отношение касательных напряжений на периостальной и эндостальной поверхностях равно отношению радиусов:

57

На рис. 2.26 показано линейное распределение касательных напряжений и область напряжений при равновесии перестройки на периостальной и эндостальной поверхностях.

Здесь фактор времени не учитывается, а значения сил соответствуют усреднению по достаточно большому промежутку времени.

Рис. 2.26. Распределение касательных напряжений при равновесии перестройки

Рис. 2.27. Напряжения при периостальном управлении перестройкой

Рис. 2.28. Напряжения при эндостальном управлении перестройкой

58

Допустим теперь, что одно из касательных напряжений ( τe или τp ) или нормальное напряжение σ выходит за пределы интервала,

образованного предельными значениями (или, другими словами, за пределы «lazy zone»). В результате конфигурация области (в данном случае радиусы цилиндра) меняется таким образом, чтобы все на-

пряжения (σ, τe , τp ) оказались внутри области равновесия пере-

стройки (внутри «lazy zone»).

Если σ или τ превышает заданное предельное значение на периостальной (или эндостальной) поверхности, то поверхность становится активной поверхностью. На рис. 2.27 и 2.28 приведены иллюстрации периостального и эндостального управления, даваемого касательными напряжениями.

Линейное распределение касательных напряжений показано стрелками. На рис. 2.27 периост есть активная поверхность. На рис. 2.28 эндост является активной поверхностью.

2.9.2. Численный пример

Пусть рассматривается длинная цилиндрическая кость с начальными радиусами R0 и r0 (рис. 2.29). Начальный крутящий момент приложен к этой кости. После этого крутящий момент увеличивается в два раза, т.е. M1 = 2M 0 , где M1 − конечный крутящий момент, соот-

ветствующий новому состоянию равновесия кости после перестройки. Площадь поперечного сечения предполагается постоянной (т.е. в данном случае нет изменения нормальных напряжений). Начальный полярный момент инерции I p 0 = 63813,60 мм4 . Это значение соот-

ветствует начальной форме сечения ( R0 =15 мм, r0 =10 мм, толщина δ0 = 5 мм, средний радиус R0m =12,5 мм) .

Увеличение крутящего момента в два раза при условии возвращения касательных напряжений в интервал равновесия перестройки приводит к изменению размеров сечения: r1 = 21,513 мм,

R1 = 24, 2445 мм, R1m = 22,8 мм, σ1 = 2,73 мм.

59