книги / Теория автоматического управления. Нелинейные системы

Пример 3.1

Пусть дана нелинейная система со структурной схемой, приведенной на рис. 3.1,линейная часть которой представлена как

Wл ( p) = p(T1 p + 1k)(T2 p + 1)

с параметрами k = 100; T1 = 0,2 c; T2 = 1 c. и идеальным трехпозиционным реле (см. табл. 3.1) с параметрами с = 1, b = 1.

Методом гармонической линеаризации определим наличие автоколебаний, их параметры и устойчивость.

Используя аналитический способ определения автоколебательных режимов, на основании (3.11) и (3.17) запишем:

D1(ω) = – (T1 + T2)ω2 + 1;

D2(ω)= – T1 T2ω3 + ω;

K1(ω) = k;

K2(ω) = 0;

Решая систему уравнений с исходными параметрами

определим значения амплитуд и частот возможных автоколебательных режимов.

Из второго уравнения системы имеем:

ω1 = 0, ω2,3 ≈ ± 2,236 с–1.

Из первого уравнения системы, решая биквадратное уравнение, определим амплитуды возможных автоколебаний, соответствующие ω2 = 2,236 с–1:

61

elib.pstu.ru

(А1,2) = ± 10,56.

Аналитический расчет показывает, что в системе возможно 2 автоколебательных режима с параметрами: частота ω = 2,236 с–1

и амплитуды А1= 10,56 и А2= 1,0046.

Для дополнительных исследований используем критерий устойчивости Михайлова, по которому для устойчивости линеаризованной системы необходимо выполнение условия:

Для заданной структуры нелинейной системы имеем:

С учетом полученных параметров системы проверим выполнение вышеприведенных условий для автоколебательных режимов:

а) при ω= 2,236 с–1 и А1 = 10,56

×(−3 0,2 2,2362 + 1) = +1,121 > 0.

Неравенство выполняется, значит, при данных значениях входного сигнала в системе будут наблюдаться устойчивые автоколебания;

62

elib.pstu.ru

б) при ω= 2,236 с–1 и А2 = 1,0046

×(−3 0,2 2,2362 + 1) = −13745,0 < 0.

Условие устойчивости не выполняется, поэтому автоколебания физически существовать не могут.

Проведен анализ периодических режимов по результатам имитационного моделирования системы с расчетными параметрами в MatLab. 6.5 по нижеприведенной структурной схеме (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Структурная схема моделируемой модели

На рис. 3.6–3.8 приведены переходные процессы и соответствующие им фазовые траектории свободного движения системы при различных значениях начальных условий.

Параметры ω = 2,236 и А = 10,56 относятся к устойчивым автоколебаниям, что было получено расчетами, и подтверждаются результатом моделирования системы (см. рис. 3.6–3.7).

При начальном значении y(0) = 15 (см. рис. 3.6) фазовая траектория накручивается снаружи на предельный цикл, а при y(0) =

=1,003 (см. рис. 3.7) колебания расходятся до параметров предельного цикла.

На фазовой плоскости (см. рис. 3.7) наблюдается еще один предельный цикл с параметрами неустойчивых автоколебаний ω =

=2,236 и А = 1,0046, от которого фазовая траектория стремится к устойчивому предельному циклу.

63

elib.pstu.ru

3.5. Частотные методы исследования автоколебаний

Пусть два необходимых условия применимости метода гармонической линеаризации выполнены:

1.На входе НЭ амплитуды высших гармоник малы (выполнена гипотеза фильтра).

2.На условия баланса амплитуд и фаз мало влияют высшие гармоники и неучтённые параметры.

Сигнал на выходе линейной части в форме преобразований Фурье:

3.5.1. Определение наличия и устойчивости автоколебаний (по методу Л.С. Гольдфарба)

По данному методу условие (3.20) записывается в виде

Для оценки наличия автоколебаний на комплексной плоскости выполняются построение АФХ линейной части Wл ( jω) в функции частоты и инверсная характеристика НЭ I (A) в функции амплитуды.

65

elib.pstu.ru

Точка пересечения годографов свидетельствует о наличии решения (3.22) с параметрами автоколебаний, частота которых определяется по АФХ Wл ( jω) , аамплитуда – по инверсной характеристике I(A).

На рис. 3.9 приведено расположение на комплексной плоскости характеристик Wл ( jω) и I(A), где наличие точек пересечения (точки 1

и 2) означает возможность существования автоколебательных режимов. Для оценки устойчивости автоколебаний воспользуемся критерием устойчивости Найквиста для линейных систем.

Рис. 3.9. К определению устойчивости автоколебаний

Пусть в линеаризованной системе существует периодический режим с амплитудой, соответствующей точке N. Если амплитуда получает малое приращение (Аn + ∆А), тогда точка N1, соответствующая значению I(Аn + ∆А), располагается вне контура Wл ( jω) ,

что соответствует устойчивой линеаризованной системе, и периодический режим принимает прежнее значение амплитуды Аn. Если же амплитуда принимает значение (Аn – ∆А), то точка N2, соответствующая значению I(Аn – ∆А), оказывается внутри контура Wл ( jω) , что соответствует неустойчивой системе, в которой пе-

риодический режим расходящийся, поэтому амплитуда вновь принимает значение Аn. Таким образом, параметры периодического режима, соответствующие значениям Аn и ωn, являются амплитудой

66

elib.pstu.ru

и частотой устойчивых автоколебаний. Проведя подобный анализ периодического режима, соответствующего точке M на рис. 3.9, можно установить, что он оказывается неустойчивым.

Устойчивость автоколебаний в системе определяется по правилу: если, перемещаясь по характеристике I (A) в сторону возраста-

ния амплитуд, выходим из контура, охваченного АФХ линейной части, то точке пересечения соответствуют устойчивые автоколебания (точка N), иначе, неустойчивые (точка M на рис. 3.9).

После нахождения частоты и амплитуды периодического режима следует проверить выполнение гипотезы фильтра:

Wл ( jωa ) Wл ( jkωa при k>1.

3.5.2. Анализ автоколебательных режимов по методу А.А. Вавилова

Условия баланса амплитуд и фаз в логарифмической форме, полученные из показательной формы,

Lл (ω) = −Lн (A), (3.23) θл (ω) + θн (A) = ±(2k + 1)π,

при k = 1, 2, 3,… позволяют просто и наглядно графически определить частоту и амплитуду автоколебаний в системе, а также их устойчивость для нелинейных систем с однозначными нелинейностями, когда Wн(A) = q(A). В этом случае условие (3.23) будет иметьвид:

Lл(ω) = –Lн(A),

На рис. 3.10 приведен пример определения параметров периодических режимов в линеаризованной системе с однозначной нелинейностью.

Условия гармонического баланса могут выполняться лишь в зоне частот, где Lл (ω) >0 и θл(ω) = –π.

Как видно из рис. 3.10, предполагаемые автоколебания возможны при θл (ω) = −180º с частотой ωa . При этом по условию

67

elib.pstu.ru

Lл (ωa ) = −Lн (A) возможны два периодических режима с частотой

ωa и амплитудами А1 и А2.

При исследовании устойчивости периодических решений по данному методу следует, как и в методе Гольдфарба, использовать критерий устойчивости Найквиста.

Рис. 3.10. ЛЧХ линейной части и −Lн(A) однозначной нелинейности

Если под действием возмущения амплитуда колебаний режима (А2, ωa ) увеличилась на величину ∆A2 , то, приняв в качестве частоты

среза ωс2, определяем, что система устойчива, поскольку θл(ω) > –π, т.е. автоколебания рассматриваемого режима устойчивые.

Рассматривая уменьшение амплитуды периодического режима на ∆А2, что равносильно увеличению А1 на ∆А1, можно сделать вывод, что при частоте среза ωс1 система неустойчива и амплитуда периодического режима будет расти до значения А2. Таким образом, можно утверждать, что режим автоколебаний с параметрами А2 и ωa является устойчивым, а А1 и ωa соответствуют параметрам

неустойчивых автоколебаний.

Метод логарифмических характеристик находит ограниченное применение при наличии в системе неоднозначных нелинейностей, так как значительно усложняется процедура проверки условий воз-

68

elib.pstu.ru

никновения автоколебаний по (3.23). (В этом случае проверка за-

ключается в отыскании совпадающих абсцисс пересечения амплитудных и фазовых характеристик).

3.6. Применение метода гармонической линеаризации для систем с несколькими нелинейностями

Наряду с рассмотренными встречаются такие нелинейные элементы, у которых выходной сигнал является функцией входного воздействия и его производной, т.е. z = F(Asinψ, Aωcosψ). Коэффициенты гармонической линеаризации оказываются также зависимыми не только от амплитуды, но и от частоты и в случае нескольких простейших нелинейных элементов, между которыми располагаются инерционные звенья.

Пусть система содержит 2 нелинейных элемента, разделенных линейнымичастями, структурнаясхемакоторойприведенанарис. 3.11.

Рис. 3.11. Структурная схема системы с двумя нелинейными элементами

Полагаем, что линейные части обладают хорошими фильтрующими свойствами.

Если сигнал на входе системы периодический x1 = X1msinωt, то комплексная функция на выходе первого нелинейного элемента

Амплитуда первой гармоники выходного сигнала первой линейной части зависит как от ее частотной характеристики, так и коэффициента гармонической линеаризации первого нелинейного элемента, который зависит от амплитуды входного сигнала системы

Комплексная функция первой гармоники на выходе второго нелинейного элемента имеет вид

elib.pstu.ru

и выходного сигнала системы

где Wл(jω) = Wл1(jω)Wл2(jω).

Уравнение (3.29) для определения автоколебательных режимов запишем в виде

Wл2(jω) = – {Wл1(jω)Wн1(X1m)Wн2[X2m(ω, X1m)]}–1 = – V(jω, X1m), (3.30)

решение которого находится графически по амплитудно-фазовой частотной характеристике второй линейной части Wл2(jω) и семейству инверсных характеристик комплексного коэффициента усиления –V(jω, X1m), построенных для фиксированных значений частоты ωi (i = 1, 2, 3 …). На рис. 3.12 приведен пример взаимного расположения указанных характеристик на комплексной плоскости.

Рис. 3.12. К определению параметров автоколебаний

Параметры автоколебаний находятся в пересечении частотной характеристики Wл2(jω) с той кривой из семейства – V(jω, X1m), у которой частота совпадает с частотой в данной точке годографа

Wл2(jω).

70

elib.pstu.ru