книги / Теория автоматического управления. Нелинейные системы

λ1 = λ2 = –1.

Это означает, что линеаризованная система в окрестности точки (0,0) является устойчивой (на фазовойплоскости – устойчивый узел).

2. Второесостояниеравновесиясоответствуетточке(x1 = 0, x2 =1). Матрица коэффициентов линеаризованного уравнения, вычис-

λ1 = 0, λ2 = 1.

Поскольку один из корней положительный, система в окрестности второй точки является неустойчивой.

4.3. Теорема Ляпунова (второй метод) об устойчивости нелинейных систем

Формулировка теоремы:

«Если при заданных в форме Коши уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V (x1, x2 , ..., xn ) , чтобы ее производная во времени

81

elib.pstu.ru

W (x1, x2 , ..., xn ) тоже была знакоопределенной (или знакопостоян-

ной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива».

Пусть заданы дифференциальные уравнения автоматической системы в форме системы уравнений первого порядка (форме Коши, уравнений состояния), полагая, что они записаны для переходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе:

где функции Fi произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяющие условию

F1 = F2 = ... = Fn = 0 при x1 = x2 = ... = xn = 0,

так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Пусть функция нескольких переменных (функция Ляпунова)

обращается в нуль в начале координат, т.е. при x1 = x2 = ... = xn = 0 ,

и непрерывна в некоторой области вокруг него.

Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

82

elib.pstu.ru

Пример 4.4

Функция V = −(x2 + x2 + ... + x2 ) – знакоопределенная отрица-

1 2 n

тельная.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Пример 4.5

Функция V = x12 + x22 при n = 3 – знакопостоянная (положительная) функция, так как она обращается в нуль при любом значе-

elib.pstu.ru

........................................

Первое из этих выражений соответствует одной точке x1 = x2 = = x3 = 0 (началу координат фазового пространства), а остальные – по-

верхностям эллипсоидов в фазовом пространстве, причём каждый последующий эллипсоид включает в себя предыдущий.

Возьмем теперьпроизводнуюот функции Ляпунова повремени:

и подставим значения dx1 , dx2 , dx3 из заданной системы при n = 3: dt dt dt

dV = 2a2 x1F1 (x1, x2 , x3 ) + 2b2 x2 F2 (x1, x2 , x3 ) + dt

+ 2c2 x3 F3 (x1, x2 , x3 ) = W (x1, x2 , x3 ).

Если полученная таким путем функция W (x1, x2 , x3 ) окажется знакоопределенной отрицательной, т.е. если

во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного

только начала координат dV = 0 при x1 = x2 = x3 = 0 , то при любых dt

начальных условиях изображающая точка М (рис. 4.5), вследствие (4.22) будет двигаться в сторону уменьшения значений V, т.е. будет пересекать эллипсоиды извне внутрь.

В результате изображающая точка М будет стремиться во времени к началу координат фазового пространства (асимптотическая устойчивость) и не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в

84

elib.pstu.ru

которые она проникла. Это означает затухание всех отклонений x1, x2 , x3 в переходном процессе с течением времени, т. е. устойчивость данной системы.

Рис. 4.5. Движение изображающей точки М в фазовом пространстве

Теорема справедлива для исследования устойчивости систем управления не только при малых, но и при больших отклонениях, если для них имеют место исходные уравнения исследуемой системы управления.

Теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т.е. при выполнении условий теоремы система будет устойчива, но эти условия могут не охватить всей области устойчивости системы по параметрам, так как выбор функции V произволен и нет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции V, который бы еще более полно охватывал область устойчивости данной системы.

Понятие устойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции V производная от нее W была необязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю во всем рассматриваемом фазовом пространстве. В этом случае изображающая точка М будет оставаться все время на какой-нибудь одной из поверхностей V = const, соот-

85

elib.pstu.ru

ветствующей начальным условиям. В результате система, хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

Если же функция W будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то траектория изображающей точки М не везде будет пересекать поверхности V = C, а может их касаться в тех точках, где W обращается в нуль (помимо начала координат). При решении задачи остается только проверить, не останется ли изображающая точка М там, где W = 0.

Поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей, то возникает потребность в отдельном определении области неустойчивости путем использования теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия не-

устойчивости систем.

Формулировка теоремы:

«Если при заданных в форме Коши уравнениях системы n-го порядка производная W (x1, x2 , ..., xn ) от какой-нибудь функции Ля-

пунова V (x1, x2 , ..., xn ) окажется знакоопределенной, причем сама

функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то данная система неустойчива».

Справедливость этой теоремы может быть проиллюстрирована так же, как и в предыдущем случае.

(Рекомендуется выполнить при самостоятельном изучении раздела.)

Второй метод Ляпунова универсален, так как не связан с линеаризацией уравнений движения и не накладывает особых ограничений на их правые части. Однако применение этого метода осложняется двумя причинами:

•достаточным характером утверждений, то есть если условия метода не выполнены, то об устойчивости положения равновесия ничего сказать нельзя, а можно порекомендовать подобрать другую функцию V(х);

•отсутствием общих рекомендаций по выбору функций Ляпу-

нова.

86

elib.pstu.ru

Обычно функцию V(x) выбирают квадратичной формы:

с учетом статической характеристики F( ε ) безынерционного нелинейного элемента в структурной схеме расчетного вида:

–функция однозначна и непрерывна;

–F(0) = 0;

–ε ·F( ε ) > 0, ε ≠ 0, т.е. график статической характеристики проходит через начало координат и располагается в первом и третьем квадрантах,

Пример 4.7

Пусть линейная часть системы, приведенной к расчетному виду, имеет передаточную функцию

а нелинейный элемент удовлетворяет приведенным выше требованиям.

При отсутствии воздействия (r = 0) положению равновесия системы соответствует x = 0. Дифференциальное уравнение системы первого порядка в форме Коши запишется так (примем ε = x

при единичной обратной связи):

dx = − 1 [x + k0 F(x)]. dt T0

Выберем функцию Ляпунова в следующем виде:

elib.pstu.ru

Продифференцируем эту функцию по времени с учетом дифференциального уравнения системы:

dV (x) dx = − 1 [x + k0 F(x)]2 = W (x). dx dt T0

Получили отрицательно-определенную функцию W(x), что позволяет сделать вывод об асимптотической устойчивости положения равновесия. Поскольку функция (4.25) определена для всех x и при ׀x׀→∞ имеем V(x)→∞, положение равновесия асимптотически устойчиво в целом. Наконец, примем во внимание, что полученный результат справедлив для целого класса нелинейных функций F(x), удовлетворяющих введенным выше ограничениям, а это значит, что система абсолютно устойчива.

4.4.Абсолютная устойчивость нелинейных систем

Впредыдущем разделе было показано определение асимптотической устойчивости положения равновесия с применением второго метода Ляпунова. Сложность построения функций Ляпунова ограничивает практическое использование теории. Румынским математиком В.М. Поповым предложен частотный метод определения абсолютной устойчивости нелинейных систем.

Частотные методы, хотя и не дают возможности провести полное исследование динамики нелинейной системы, они сочетают простоту и наглядность в решении задач независимо от порядка системы, наличия трансцендентных или иррациональных звеньев передаточной функции линейной части.

Рассматривается замкнутая система с одним нелинейным звеном

стиповой структурой. Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение ограничено при t є [0, ∞) и lim x(t) = 0 (t→∞).

Если окажется, что это свойство выполняется для любых нелинейных элементов из некоторого класса, то устойчивость называет-

ся абсолютной.

88

elib.pstu.ru

Теорема В.М. Попова.

Пусть выполняются условия:

1)все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части;

2)характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору

[0, k], т.е. F(0) = 0, 0 ≤ F(ε) / ε ≤ k при всех ε ≠ 0 (рис. 4.6);

3)существует действительное

Введем понятие модифицированной амплитудно-фазовой частотой характеристики (АФЧХ) линейной части в виде

W*(jω) = ReW(jω) + jωImW(jω).

Тогда можно привести ее особенности на комплексной плоскости:

1.Если степень числителя W(p) не выше степени знаменателя

иона не имеет полюсов в правой плоскости координат как при ω→0, так и при ω→∞, обе АФЧХ (W(jω), W*(jω)) имеют конечные значения. Если W(jω) имеет один полюс в начале координат, то мнимая часть модифицированной характеристики становится также конечной при ω→0. Таким образом, модифицированная АФЧХ располагается на конечной плоскости (рис. 4.7).

2.В отличие от ImW(jω) мнимая часть модифицированной АФЧХ не является симметричной относительно действительной оси.

89

elib.pstu.ru

3. Пусть вместо нелинейного элемента система замкнута линейным с характеристикой z = hx, 0 < h ≤ k, т.е. эта характеристика является частным случаем рассматриваемого класса нелинейностей. Если рассматриваемая система удовлетворяет условиям абсолютной устойчивости, замкнутая линейная система должна быть устойчивой и соответствовать условиям критерия Найквиста. Поскольку W(jω) и W*(jω) вещественную ось комплексной плоскости пересекают в одной и той же точке (ReW(jω) = ReW*(jω)), для устойчивой системы характеристика hW*(jω) не должна пересекать отрезок вещественной оси (–1, –∞) или же пересекать его четное число раз. Для характеристики W*(jω) критическим отрезком при этом будет (–1/h, –∞), а по условию абсолютной устойчивости критическим отрезком будет (–1/k, –∞). Выполнение данного условия устойчивости является необходимым и достаточным условием для линеаризованной системы, характеристика нелинейного элемента которой лежит в секторе (0, k).

Представим условие теоремы Попова для комплексной плоскости, разделив АФЧХ линейной части на действительную и мнимую части:

дает на комплексной плоскости модифицированной АФЧХ уравнение прямой линии с угловым коэффициентом наклона 1/q, касающейся W*(jω). С учетом (4.27) условие абсолютной устойчивости формулируется так: система абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части через точку (–1/k, j0) можно провести прямую так, чтобы модифицированный годограф W*(jω) лежал справа от нее (достаточное условие).

90

elib.pstu.ru