ференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, можно интегрировать в области операторных изображений.
Идея операторного метода заключается в замене вещественной переменной t комплексной переменной p = δ+ jω, осуществляемой
в соответствии с функциональным преобразованием Лапласа. При этом каждой временной функции f (t) , называемой оригиналом (про-
образом), ставится в соответствие функция F ( p) , именуемая изобра-
жением (образом). Эта операция записывается f(t) •=• F(p). В результате такой замены система дифференциальных уравнений для оригиналов преобразуется в систему алгебраических уравнений для их изображений. В результате решения этой системы определяют изображение X ( p) искомой величины, а на заключительном этапе пере-
ходят к физически понятной функции – оригиналу x(t) .
Подобный прием применялся при анализе стационарного решения цепей символическим методом. Однако в то время, как символический метод можно применять лишь к гармоническим функциям, операторный метод обладает значительно большей общностью и применим к широкому классу функций.
4.5.1.Преобразование Лапласа
4.5.1.1.Условия существования, ограничения
Известно, что функция (4.29), называемая интегралом Лапласа,
которая ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображе-
ние F(p), т.е. f(t) •=• F(p), имеет вид
∞ |
|
F ( p) = ∫ f (t )e− pt dt , |
(4.29) |
0 |
|
Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:
♦функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;
♦функция f(t) ограничена, т.е. при t → ∞ она конечна или если и растет по модулю, то не быстрее некоторой экспоненциальной
функции Aeαt , где A и α – положительные числа, т.е. f (t) ≤ Aeαt .