книги / Основы теории цепей. Ч. 2
.pdfПри этом имеет место соотношение
|
|
|
|
U& |
1 |
= |
I& |
= eΓ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
& |
|
& |
|
|
||||
|
|
|
U2 |
|
I2 |
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U&2 = |
U& |
= −12, 7 В; |
I&2 = |
I& |
= j1, 64 А. |
||||||
|
1 |
|
1 |
||||||||
e |
Γ |
e |
Γ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание, что выходные электрические величины по сравнению с одноименными входными величинами повернуты на угол 180° .
Задача 4.
|
1 |
j |
Ом. |
Дано: для схемы (рис. 2.17) А= |
−3 j |
, ωL = 4 |
|
|
4 |
|
Найти: А-параметры составного четырехполюсника.
Решение. |
1 |
Первый способ. Схема (см. рис. 2.17) |
|
содержит два четырехполюсника, соеди- |
[A] |
ненных каскадно. А-параметры первого |
|
четырехполюсника заданы в условии за- |
|
дачи. А-параметры второго четырехпо- |
1' |
люсника (обведен пунктиром) опреде- |
Рис. 2.17 |
лим, представив четырехполюсник в виде |
|
симметричной Т-схемы с параметрами: |
|
2
L
2'
Z1 = Z 2 = 0, Y 0 |
= |
1 |
= |
1 |
= − j0, 25 Ом-1. |
|
|
||||
|
|
jωL j4 |
Определим параметры эквивалентной симметричной Т-образ- ной схемы замещения по формулам (2.19), помня о том, что у эквивалентного четырехполюсника параметры A11 = A22 :
A1 = A1 =1+Z1Y |
0 |
=1; A1 = Z1 +Z |
2 +Z1 Z 2 Y |
0 |
=0; A1 =Y |
0 =−j0, 25 Ом-1. |
|
11 |
22 |
|
12 |
|
|
21 |
|
81
Проверка правильности расчетов:
det A = A1 A1 |
− A1 |
A1 = 1 − (− j0, 25) 0 = 1. |
|
11 |
22 |
12 |
21 |
Для определения эквивалентной А-матрицы каскадного соединения четырехполюсников необходимо перемножить А-матрицы четырехполюсников, входящих в каскад, в том порядке, в каком они соединены в каскаде:
Aк = [ A] A1 |
|
A |
A |
A1 |
A1 |
|
A11 A1 |
+ A12 A1 |
A11 A1 |
+ A12 A221 |
|
= |
||
= 11 |
12 |
11 |
12 |
|
= |
11 |
21 |
11 |
+ A22 A221 |
|
||||
|
|
|
A21 |
A22 A1 |
A1 |
|
A21 A1 |
+ A22 A1 |
A21 A1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
11 |
21 |
12 |
|
|
|
1 |
j |
1 |
0 |
1,25 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 j |
4 − j0,25 |
1 |
− j4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Проверка правильности расчетов:
det Aк = 1, 25 4 − (− j4) j = 1 .
Второй способ. Построим эквивалентную П-образную схему замещения первого четырехполюсника по формулам (2.22):
Z 0 = A12 = j; Z1 = |
1 |
= |
A12 |
= |
|
j |
= |
1 |
j; |
Z 2 = |
1 |
= |
A12 |
= |
|
j |
|
= 0. |
Y 1 |
|
|
|
|
Y 2 |
|
|
−1 |
||||||||||
|
|
A22 −1 4 |
−1 3 |
|
|
A11 −1 1 |
|
Получившийся четырехполюсник представлен на рис. 2.18.
1 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1/3 |
|
1/3 |
|
|
4 |
1' |
2' |
1' |
Рис. 2.19 |
2' |
|
|
Рис. 2.18 |
|
|
||
Исходную схему (см. рис. 2.17) можно теперь заменить экви- |
|||||
валентной П-образной схемой |
(рис. 2.19), |
в которой Z 0 = j Ом, |
|||
Y 1 = −3 j Ом-1, |
Y 2 = −0, 25 j Ом-1, и определить для нее А-параметры |
по формулам (2.20):
82
A11 =1 +Y 2 Z 0 =1 + (− j0, 25) j =1, 25;
A12 = Z 0 = j;
A21 =Y 1 +Y 2 +Y 1Y 2 Z 0 = −3 j −0, 25 j + (−3 j)(−0, 25 j) j = −4 j;
A22 =1 +Y 1 Z 0 =1 + (−3 j) j = 4.
Полученный результат совпадает с А-матрицей, полученной первым способом.
Задача 4.
Дано: для схемы (рис. 2.20) параметры элементов X C = X L = R = 2 Ом.
Найти: А-параметры через параметры холостого хода и короткого замыкания; Z-, Y-, H- характеристические параметры.
Решение.
1. Определение параметров холостого хода и короткого замыкания.
1 ХC |
XL 2 |
R XC
1' |
2' |
|
Рис. 2.20 |
|
Z1x |
= − jX C |
+ |
|
R(− jX C ) |
=1 − j3 Ом, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R − jX C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Z 2x |
= jX L + |
|
R(− jX C ) |
=1 + j Ом, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R − jX C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jX L |
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Z1к |
= − jX C + |
|
R(− jX |
C |
) |
|
|
= 2 |
− j2 |
Ом, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R(− jX C ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jX L + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− jX C |
|
|
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Z 2к |
= jX L + |
|
|
|
|
|
R(− jX |
C |
) |
|
|
= 0, 4 |
+ j1, 2 |
Ом. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− jX C + |
|
R(− jX C ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z1x |
= |
Z 2 x |
; |
1 − j3 |
= |
1 + j |
; 1 − j0,5 =1 − j0,5 . |
|||||||||||||||||||||||
|
Z1к |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z 2к |
|
|
|
2 − j2 0, 4 + j1, 2 |
|
|
|
|
83
2.Определение А-параметров через параметры холостого хода
икороткого замыкания.
Воспользуемся формулами (2.16), (2.17):
A11 |
= |
|
|
|
|
Z1х |
|
= |
|
|
|
1 − j3 |
= 2 |
− j ; |
|||
|
Z 2х − Z 2к |
|
|
j +1 −0, 4 − j1, 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A12 |
= A11 Z 2к = (2 − j)(0, 4 + j1, 2) = 2 + j2 Ом; |
||||||||||||||||
A21 |
= |
A11 |
= |
2 − j |
= 0,5 + j0,5 Ом-1; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Z |
1х |
|
|
1 − j3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= A |
|
Z 2 х |
= 2 − j |
1 + j |
= j . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22 |
|
11 Z |
1х |
|
1 − j3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка:
det( A) = A11 A22 − A12 A21 = (2 − j) j −(2 + 2 j)(0,5 + j0,5) =1 .
Таким образом, матрица А-параметров
2 − j
A = |
+ j0,5 |
0,5 |
3. Определение Z-параметров.
2 + j2 . j
Воспользуемся приведенными ниже формулами:
|
Z11 = Z1x =1 − j3 Ом; |
|
||||||
|
Z 22 = −Z 2x = −1 − j Ом; |
|||||||
|
U& |
|
|
I& |
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
1 |
R − jX |
C |
|
|
||
Z 21 = |
2 |
|
= |
|
|
=1 |
− j Ом; |
|
& |
|
& |
|
|||||
|
I |
|
I&2 =0 |
I |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z12 = −Z 21 = −1 + j Ом.
Таким образом, матрица Z-параметров:
1 − j3 |
−1 + j |
|
Z = |
1 + j |
. |
|
−1 − j |
84
4. Определение Y-параметров.
Воспользуемся формулами (см. табл. 2.1), для чего вычислим сначала определитель Z-матрицы:
∆Z = Z11 Z 22 − Z12 Z 21 = (1 − j3)(−1 − j) −(1 − j)(−1 + j) = −4 .
Определяем Y-параметры:
|
|
|
|
|
|
|
Y 11 = |
|
|
Z 22 |
= |
|
−1 − j = 0, 25 + j0, 25 Ом-1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y 12 = |
|
−Z12 |
= |
|
1 − j |
= −0, 25 + j0, 25 Ом-1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Y 21 = |
−Z 21 |
= |
|
−1 + j = 0, 25 − j0, 25 Ом-1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y 22 = |
|
|
Z11 |
= |
|
1 − j3 |
= −0, 25 + j0, 75 Ом-1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y 11 = |
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
= 0, 25 + j0, 25 Ом-1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1к |
|
2 − j2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Y 22 |
= − |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
= −0, 25 + j0, 75 Ом-1; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2к |
|
|
|
|
|
0, 4 + j1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
I&1 |
|
|
|
= −I&1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&′ R(− jX C ) |
|
|
|
U&2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Y |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
−1 |
|
|
2 |
R − jX C |
|
= |
−1 |
|
|
|
|
1 − j |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R(− jX C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
U& |
|
U&1 =0 |
|
U& |
|
|
|
|
U& |
|
|
|
|
|
|
− jX C |
U& |
|
Z |
2к |
1 |
− j − j2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R − jX C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − j |
= −0, 25 + j0, 25 Ом-1; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ j1, 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
|
|
1 − j3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y 21 = −Y 12 = 0, 25 − j0, 25 Ом-1.
85
Таким образом, матрица Y-параметров:
Y = |
0, 25 + j0, 25 |
−0, 25 + j0, 25 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
− j0, 25 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
0, 25 |
−0, 25 + j0, 75 |
||||||||||||||||||
5. Определение H-параметров. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Воспользуемся формулами (см. табл. 2.1): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
H11 = |
A12 |
= |
2 + j2 |
|
= 2 − j2 Ом= Z1к ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A22 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
H12 |
= |
1 |
|
|
= |
1 |
= − j ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
H21 = − |
1 |
= − |
1 |
= j ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 |
|
|
|
j |
|
|
|
|
||||
H22 = |
A21 |
= |
0,5 + j0,5 |
|
= 0,5 − j0,5 Ом |
-1 |
= |
1 |
|
||||||||||||
Z 2x . |
|||||||||||||||||||||
A22 |
|
|
|
j |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, матрица H-параметров: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
H = |
2 − j2 |
|
|
|
|
− j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 − j0,5 |
|
|
|
|
6. Определение характеристических параметров.
Для определения характеристических сопротивлений воспользуемся формулами (2.25), (2.26):
Z1C = |
|
A11 A12 |
= |
|
(2 − j)(2 + j2) |
= |
−4 − j8 =1,57 − j2,54 Ом; |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
A21 A22 |
|
(0,5 + j0,5) j |
|
|||||
Z 2C = |
A22 A12 |
= |
|
j(2 + j2) |
|
= −0,8 + j1,6 = 0,7 + j1,1 Ом. |
||||
|
(0,5 + j0,5)(2 − j) |
|||||||||
|
A |
A |
|
|||||||
|
21 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
Характеристические сопротивления также можно найти при помощи параметров холостого хода и короткого замыкания, воспользовавшись формулами (2.27):
86
Z1C = |
Z1х Z1к |
= |
(1 − j3)(2 |
− j2) =1,57 − j2,54 Ом; |
Z 2C = |
Z 2 х Z 2к |
= |
(1 + j)(0, |
4 + j1, 2) = 0, 7 + j1,1 Ом. |
Меру передачи определим по формуле (2.43): |
||||
Γ = ln ( A11 A22 |
+ A12 A21 ) = ln( 1 + j2 + j2) = ln(2, 272 + j1,786) = |
|||
= ln(2,89e j 0,67o |
) = ln 2,89 + j0,67o =1,06 + j0,012. |
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1.Могут ли все параметры четырехполюсника быть: а) вещественными; б) мнимыми; в) комплексными?
2.Сколько параметров четырехполюсника необходимо знать, чтобы записать уравнения, связывающие входные и выходные токи
инапряжения, если известно, что четырехполюсник: а) симметричный; б) несимметричный?
3.Определить А-параметры четырехполюсников, изображенных на рис. 2.21.
87
4. Верно ли утверждение:
а) любой пассивный четырехполюсник имеет Т- и П-образную эквивалентную схему замещения;
б) число элементов простейшей эквивалентной схемы четырехполюсника всегда равно числу его независимых параметров;
в) четырехполюсник симметричный, если в его Т-образной схеме замещения Y 0 = 0, Z1 ≠ Z 2 ;
г) четырехполюсник симметричный, если в его П-образной схеме замещения Z 0 ≠ 0, Y 1 = Y 2 ;
д) четырехполюсник симметричный, если в его Т-образной схеме замещения Y 0 ≠ 0, Z1 = Z2 ;
е) четырехполюсник симметричный, если в его Т-образной схеме замещения Z1 = Z 2 = 1 Y 0 ;
ж) четырехполюсник, родственный симметричному, также является симметричным;
з) если четырехполюсник имеет Т- и П-образную эквивалентную схему замещения, то родственный ему четырехполюсник также имеет обе эквивалентные схемы замещения;
и) для любого пассивного четырехполюсника его А-параметры можно определить экспериментальным путем?
5.Изобразите схемы с необходимыми измерительными приборами для определения А-параметров четырехполюсника экспериментальным путем?
6.Возможно ли соединение четырехполюсников, не являющееся ни последовательным, ни параллельным, ни каскадным? Если да, то приведите такие схемы и определите, в какой системе параметров целесообразно записывать при этом уравнения четырехполюсников.
7.Изобразите два четырехполюсника, которые:
а) навходесоединеныпоследовательно, навыходе– параллельно; б) на входе соединены параллельно, на выходе – последова-
тельно.
8. Заданы А-параметры четырехполюсника [ AI ] . Найти А-пара- метры составных четырехполюсников, изображенных на рис. 2.22.
88
9. Заданы А-параметры четырехполюсника, представленного на рис. 2.23, а. Найти А-параметры составных четырехполюсников, изображенных на рис. 2.23, б− д.
|
|
10. Для цепи (рис. 2.24) заданы параметры: XC |
= 5 Ом; X L = |
= XC |
|
1 |
1 |
2 |
=1,5 Ом; X L = X М = 0,5 Ом. Определить А- |
и H-параметры |
|
|
2 |
|
четырехполюсника, мгновенное значение входного напряжения при условии, что Z Н = 0,5 Ом, а выходной ток i2 (t) = 2 2 cos ωt ; построить родственныйчетырехполюсник.
89
11. Для четырехполюсника (рис. 2.25) определить Z-, Y- и А-па- |
||||||||
раметры, если известно, что R = 30 Ом, |
X L =10 Ом, |
XC = 20 Ом. |
||||||
X C1 |
|
X L |
X C2 |
|
|
X C |
|
|
1 |
* |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
X L |
|
|
|
X |
L |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1' |
|
Рис. 2.24 |
2' |
1' |
|
|
2' |
|
|
|
|
|
Рис. 2.25 |
12. Для составного четырехполюсника (рис. 2.26) известно мгновенное значение входного напряжения u1 (t) =100 2 sin(ωt + 45o) , параметры цепи: X L = 20 Ом; X C = 40 Ом. Определить мгновенное значение выходного тока при условии, что четырехполюсник работает
всогласованном режиме.
13.Для составного четырехполюсника (рис. 2.27) заданы пара-
метры: R = X L = X C =10 Ом. Определить А-параметры.
14. Схема симметричного четырехполюсника собрана из идеальных конденсаторов. Каков будет сдвиг фаз между входным и выходным напряжением, если четырехполюсник нагружен повторным сопротивлением?
Ответить на этот же вопрос при условии, что идеальные конденсаторы заменены на идеальные индуктивности.
1 X L |
2 X L |
X L 2 |
|
X C |
X C |
1' |
Рис. 2.26 |
2' |
|
|
1 |
X L |
R |
2 |
|
X C |
X C |
|
1' |
Рис. 2.27 |
|
2' |
|
|
|
15. Определить коэффициент затухания А симметричной однородной цепной схемы из 6 звеньев, если известно, что при нагрузке
90