книги / Надёжность систем автоматизации

Был академиком Императорской Санкт-Петербургской академии наук. Отец А.А. Маркова-младшего – выдающегося советского математика (рис. 5.2).

Нормальный алгорифм Маркова – один из стандартизованных вариантов представления об алгорифме (алгоритме). Понятие нормального алгорифма введено А.А. Марковыммладшим в конце 1940-х гг. Марковские процессы принадлежат А.А. Маркову-старшему.

Рассмотрим пример 5.1 [6]. Пусть некоторая фирма может быть в двух состояниях: 1-е – спрос на продукцию есть, 2-е – спроса нет. С течением времени рынок изменяется так, что имеется вероятность 4/5, что фирма останется в состоянии 1. Если фирма оказывается в состоянии 2, то она принимает меры к улучшению продукции и с вероятностью 3/5 к концу года перейдет в состояние 1. Тогда матрица переходов имеет вид

41

55 ,

32

55

ацепь Маркова или граф Марковской цепи имеет вид, представленный на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Граф Марковской цепи

141

Обозначим вероятность нахождения системы на i-м шаге в состоянии j – πij , а вероятность перехода из j-го состояния в k-е – p jk . Тогда для 1-го шага Марковского процесса, если начальное состояние 1(шаг 0),

π11 = π10 p11 +π02 p21 =1 54 +0 53 = 0,8; π12 = π10 p12 +π02 p22 =1 15 +0 52 = 0,2.

Для 2-го шага

π12 = π11 p11 +π12 p21 = 0,8 54 +0,2 53 = 0,74;

π22 = π11 p12 +π12 p22 = 0,8 15 +0,2 52 = 0,24.

Продолжим расчеты и получим таблицы вероятностей состояний при начальном состоянии 1 и 0 соответственно

(табл. 5.1, 5.2).

Таблица 5.1

Таблица 5.2

Если в Марковской цепи существует предельное распределение вероятностей при n →∞ и не зависящее от начального состояния, то это определяет установившийся режим системы. Такая система называется статически устойчивой, а Марковский процесс – эргодическим. Переход к эргодическому процессу – переходный процесс.

5.2.Надежность систем с восстановлением

Вобщем случае функционирование восстанавливаемого объекта представляет собой с точки зрения надежности последовательность чередующихся интервалов работоспособности tр и восстановления tв [4] (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Процессы работоспособности и восстановления

Конец интервала работоспособности определяется случайным событием – отказом. Поэтому отрезок работоспособности tр – величина случайная. Время восстановления, определяясь многими факторами: временем поиска дефектов, квалификацией обслуживающего персонала, запасом инструментов и принадлежностей и т.д., также является случайной величиной.

Важной характеристикой восстанавливаемых систем является параметр потока отказов ω(t):

ω(t) = nN(∆∆tt) ,

где n(∆t) – число изделий, отказавших за момент времени ∆t.

143

Параметр потока отказов ω(t), определяемый как отно-

шение числа изделий, отказавших в единицу времени, к числу испытываемых изделий, представляет собой интенсивность, или плотность потока. Интенсивность же отказов λ(t)

является условной плотностью вероятности отказа в момент t при условии, что до момента t объект работал исправно, т.е. это частота отказов изделий, имеющих наработку t

(табл. 5.3).

Между λ(t) и ω(t) могут быть установлены следующие

соотношения [4]:

1. Если λ(t) увеличивается, то λ(t) > ω(t). 2. Если λ(t) уменьшается, то λ(t) < ω(t). 3. Если λ(t) = const, то λ(t) = ω(t).

3-е соотношение описывает важный частный случай, характерный для периода нормальной работы, когда λ(t) =

= const.

144

5.3. Комплексные показатели надежности

Поток восстановления может характеризоваться параметром потока восстановления µ(t), представляющим ин-

тенсивность потока. Физический смысл µ(t) – вероятность

восстановления в течение достаточно малого отрезка времени. Если поток восстановлений простейший ординарный, стационарный поток без последствий, то µ(t) является вели-

чиной, обратной среднему времени восстановления Тв:

µ(t) = 1 .

Tв

Потоки отказов и восстановлений описывают процесс функционирования объекта с двух сторон независимо друг от друга. Для связи потока вводятся комплексные показатели, в качестве которых используются обычно коэффициент го-

Коэффициент готовности – это вероятность застать объект исправным в произвольно выбранный момент времени t. Для простейших потоков

Kг = T0T+0 Tв .

Коэффициент оперативной готовности – это вероят-

ность того, что объект, будучи исправным в момент t, проработает безотказно в течение времени τ. Kо.г(t,τ) вычисляют как произведение вероятности застать объект исправным

вмомент t(Kг) на вероятность безотказной работы Рост(τ)

втечение оставшегося интервала времени:

Kо.г(t,τ) = KгPост(τ) .

Если время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение, то Рост(τ) = e−ωt , отсюда

Kо.г(t,τ) = Kгe−ωt .

Пример 5.2 [18]. Интенсивности отказов и восстановле-

ний подсистем следующие:

ПдС1: λ = 14·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС2: λ = 14·10–5 1/ч;

µ = 0,4 1/ч; ПдС3: λ = 14·10–5 1/ч, µ = 0,6 1/ч; ПдС4: λ = 11·10–5 1/ч,

µ = 0,3 1/ч; ПдС5: λ = 19·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС6: λ = 60·10–5 1/ч,

µ = 0,5 1/ч; ПдС7: λ = 50·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС8: λ = 40·10–5 1/ч,

µ = 0,5 1/ч; ПдС9: λ = 20·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч.

Время t = 2 ч.

146

Решение. Интенсивность отказов СА можно найти по

n

формуле λCA = ∑λi , где λi – интенсивность восстановления

i=1

каждого элемента, n – число элементов системы; а среднее

время безотказной работы Tср = 1

λCA

λCA = (14 + 14 + 14 + 11 + 19 + 60 + 50 + 40 + 20)0,000 01 =

=0,002 42 (1/ч),

Tср = 1/0,002 42 = 413,22 (ч).

Среднее время восстановления СА найдем по следую-

щей формуле: Tв =Tср∑n λi , где λi и µi – интенсивность от-

i=1 µi

казов и интенсивность восстановления каждой подсистемы соответственно.

Tв = 413,22(0,000 14/0,5 + 0,000 14/0,4 + 0,000 14/0,6 + + 0,000 11/0,3 + 0,000 19/0,5 + 0,0017/0,5) = 2,066 (ч).

Найдем коэффициент готовности системы автоматиза-

147

5.4.Расчет показателей надежности

сиспользованием Марковских цепей

Марковская цепь – ориентированный граф, нагруженный вероятностями или интенсивностями переходов из состояния в состояние.

Пусть необходимо определить показатели надежности изделия, не имеющего резервирования, с заданными интенсивностями переходов – параметром потока отказов ω = const и интенсивностью восстановления µ. Состояние 1 – состояние работоспособности, состояние 2 – состояние отказа

(рис. 5.5).

ω

1 2

µ

Рис. 5.5. Пример Марковской цепи

Получим систему алгебраических уравнений для установившегося режима путем анализа входящих и исходящих дуг – если дуга исходит из вершины, то произведение вероятности нахождения в этой вершине на соответствующую интенсивность берется с минусом, иначе – с плюсом:

0= −P1(t)ω+ P2 (t)µ; 1 = P1(t) + P2 (t).

Очевидно, что достаточно уравнения для одной вершины, например Р1, и уравнения сумм вероятностей нахождения во всех состояниях. Решаем систему уравнений:

0= −(1− P2 (t))ω+ P2 (t)µ;

ω= P2 (t)[ω+µ];

148

По определению, коэффициент готовности – это вероятность нахождения в состоянии 1:

где То – время наработки на отказ, Тв – среднее время восстановления. Время восстановления определяется следующим образом:

Тв = Тобн + Тлок + Тзам,

где Тобн – время обнаружения; Тлок – время локализации; Тзам – время замены.

Таким образом, чем меньше отношение интенсивности отказов к интенсивности восстановления, тем более коэффициент готовности приближается к 1.

Граф Марковской цепи может быть довольно сложным, система может быть резервированной, без контроля, с контролем, с разными возможностями восстановления и т.п. Удобным инструментом для решения таких задач может быть программа расчета Марковских цепей, разработанная студентом механико-математического факультета ПГНИУ Н.В. Мельковым (рис. 5.6).

Рассмотрим Марковскую модель, где одна из трех вершин представляет собой состояние отказа, т.е. вводится дополнительное работоспособное состояние (рис. 5.7).

149

Рис. 5.6. Экранная форма программы расчета Марковской цепи

3 Р3

δφ

Рис. 5.7. Граф Марковского процесса для одного дополнительного состояния готовности Р3

Решение соответствующей системы алгебраических уравнений Колмогорова для установившегося режима может быть получено аналитически:

150