книги / Производственный и операционный менеджмент
..pdfЖенщина-менеджер по сдаче внаем жилья считает, что спрос на квартиры может быть соотнесен с числом рекламных объявле ний в газетах в течение прошлых месяцев. Она собрала данные, показанные в таблице ниже.
Реклама в газетах, х |
Наем жилья, у |
15 |
6 |
9 |
4 |
40 |
16 |
20 |
6 |
25 |
13 |
25 |
9 |
15 |
10 |
35 |
16 |
Мы можем найти математическое уравнение, используя метод наименьших квадратов.
Реклама, х |
Наем, у |
15 |
6 |
9 |
4 |
40 |
16 |
20 |
6 |
25 |
13 |
25 |
9 |
15 |
10 |
35 |
16 |
рь- |
м X II 00 о |
м X и 00 |
х2 |
ху |
225 |
90 |
81 |
36 |
1600 |
640 |
400 |
120 |
625 |
325 |
625 |
225 |
225 |
150 |
1225 |
560 |
X х2 = 5006 |
£ х у = 2146 |
ь _ Ъ х у -п х у _ 2146- (8)(23)(Ю) _ Q ^
I х 2- т с г |
5006 - (8)(232) |
' |
’ |
а = у -Ь х= ( 10 - (0.395X23) = 0.91.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
у= .91 + ,395.x
или
наем жилья = .91 + .395 реклама, помещенная в газете.
Если число реклам равно 30, мы можем определить число сданного жилья через уравнение регрессии:
.91 + .395 (30) = 13 квартир.
Используя данные о рекламе и сдаче жилья задачи 4ЛО.ДОП, рассчитайте стандартное отклонение уравнения регрессии (5,д).
Р |
' L y ^ a ' L y - b ' Z x y |
(9 5 0 - (,91)(80)-(.395X2146) |
=Sqr---------— 2---------= Sqf------------- 8^2------------ =
=2,2 квартиры.
Задача 4.12.ДОП
Для задачи 4.Ю.ДОП со следующими данными:
Z * = 184; "Lx2= 5006; Z y = 80; Z y 2 = 950; |
= 2146; п = 8 |
рассчитайте коэффициент корреляции.
г _ _______п Z * y -Z * Z y ______ _
sqr [(и Z х2- ( Z х)2)(пZ y 2- ( Z У)2)]
_ ________8(2146)- 184 |
(80)________ |
2448 |
од |
sqr [(8 (5006) - (184)2)(8 |
(950) - (80)2)] |
sqr (7 430 400) |
|
Этот коэффициент /*= .90 означает существенную корреляцию и подтверждает связь между двумя переменными: х и у.
Задача 4.14.ДОП
Прогноз спроса и текущий спрос на лодки показан в таблице ниже. По ней мы рассчитываем трекинговый сигнал и MAD.
Год |
Прогноз |
Текущий |
Ошибка |
RSFE |
Ошибка |
Кумуля |
MAD |
Трекин |
тивная |
говый |
|||||||
|
спроса |
спрос |
|
|
прогноза |
ошибка |
|
сигнал |
1-й |
78 |
71 |
- 7 |
- 7 |
7 |
7 |
7.0 |
-1 .0 |
2-й |
75 |
80 |
5 |
- 2 |
5 |
12 |
6.0 |
-0 .3 |
3-й |
83 |
101 |
18 |
16 |
18 |
30 |
10.0 |
+ 1.6 |
4-й |
84 |
84 |
0 |
16 |
0 |
30 |
7.5 |
+ 2.1 |
5-й |
88 |
60 |
-2 8 |
-1 2 |
28 |
58 |
11.6 |
-1 .0 |
6-й |
85 |
73 |
-1 2 |
-2 4 |
12 |
70 |
11.7 |
-2.1 |
. , . _ |
z Ошибка прогноза |
MAD = |
---------------------- 7. |
|
п |
Трекинговый сигнал = |
= -2.1 MAD. |
Г л а в а 5
ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ
Очереди являются важной частью мирового операционного менеджмента. В этой главе мы представим задачи по ряду систем очередей и математические модели для их анализа.
Модель, иллюстрируемая одноканальной однофазной систе мой с пуассоновым распределением появления заявок и экспонен циальным временем обслуживания — это модель А; модель В — многоканальный эквивалент модели А; модель С характеризуется постоянным временем обслуживания; модель D — с ограничен ным размером источника появления заявок. Все четыре модели связаны с пуассоновым распределением заявок, дисциплиной обслуживания «первым пришел, первым ушел» и с однофазным сервисом. Типичными операционными характеристиками рас сматривают среднее время ожидания в очереди и в системе, среднее число заявок в очереди и в системе, время простоя и коэффициент использования системы.
Мы отметим, что существует набор моделей очередей, для которых все требования традиционных моделей не удовлетворя ются. В этих случаях мы используем более сложные математиче ские модели или методы, называемые моделированием МонтеКарло.
5.1. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
Задача 5.1
Компания нанимает ежегодно одного рабочего, чьей обя занностью является погрузка кирпича на грузовики компании. В среднем проходит 24 грузовика в день, или три грузовика в час, которые появляются согласно распределению Пуассона. Рабочий загружает их по правилу четыре грузовика в час, время обслужи вания подчиняется экспоненциальному закону.
Полагают, что второй грузчик существенно повысит произво дительность в фирме. Менеджеры рассчитывают, что два грузчика будут работать по тому же правилу: четыре грузовика в час на одного и восемь грузовиков в час на двоих. Проанализируйте эффект в очереди от такого изменения и сравните с результа том, найденным для одного рабочего. Какова вероятность того, что будет больше чем три грузовика загружаться или ожидать в очереди?
Характеристики системы |
Количество грузчиков: |
||
один |
|
два |
|
|
|
||
Правило прибытия грузовиков / |
З /ч |
З /ч |
|
Правило погрузки т |
4 /ч |
8 / ч |
|
Среднее число грузовиков в системе Ls |
3 грузовика |
.6 грузовиков |
|
Среднее время в системе Ws |
1 ч |
.2 ч |
|
Среднее число грузовиков в очереди Lq |
2.25 грузовика |
.225 |
грузовиков |
Среднее время в очереди Wq |
3/4 ч |
.075 |
ч |
Коэффициент использования р |
.75 |
.375 |
|
Вероятность нуля грузовиков в системе Ро |
.25 |
.625 |
|
Вероятность более, чем к грузовиков в системе
к |
Вероятность п > к |
||
Один грузчик |
Два грузчика |
||
|
|||
0 |
.75 |
.375 |
|
1 |
.56 |
.141 |
|
2 |
.42 |
.053 |
|
3 |
.32 |
.020 |
|
Эти результаты показывают, что когда только один грузчик нанят, грузовик в среднем должен ждать 3/4 часа прежде, чем его погрузят; более того, в среднем 2.25 грузовика стоят в очереди на погрузку. Эта ситуация может быть недопустима для службы ме неджмента. Возможно уменьшение размера очереди за счет до бавления второго грузчика.
Задача 5.2
Водители грузовиков, работающие в компании (смотри задачу 5.1) получают $10 в час в среднем. Грузчики получают около $6 в час. Водители грузовиков, ожидая в очереди, получают зарплату, но бесполезно проводят это время. Что будет с часовыми затрата ми, если фирма наймет двух грузчиков вместо одного?
Используя данные задачи 5.1, мы узнаем, что среднее количе ство грузовиков в системе — 3, когда работает только один груз чик, и .6, когда их двое.
Решение
Затраты |
Количество грузчиков: |
||
один |
два |
||
|
|||
Затраты за время незанятости водителей |
(3)($10) = $30 |
$6 = (.6)($10) |
|
[(среднее число грузовиков) х (часовая зарплата)] |
|
|
|
Затраты на погрузку |
$6 |
$12 = (2)($6) |
|
Общие затраты в час |
$36 |
$18 |
|
Фирма экономит $18 в час, нанимая второго грузчика.
Компания собирается строить вторую платформу, чтобы уско рить процесс погрузки кирпичей на грузовики. Эта система, как думают менеджеры, будет более эффективна, чем просто наем другого грузчика в помощь тому, кто работает на первой платфор ме (как было сказано в задаче 5.1).
Также рассчитывают, что рабочие на каждой платформе будут способны нагружать четыре грузовика в час каждый и что грузо вики будут появляться в очереди по правилу три машины в час. Применив затем соответствующие уравнения, находят параметры очереди в новых операционных условиях. Является ли новый подход более быстрым, чем другие два из рассмотренных?
Решение
ро=^т---------------------------------- |
= |
[ I (1/л!)(3/4)"] + (1/2!)(3/4)г2 ^ |
3 |
= -------------------------------- |
454- |
1 + 3 4 + (1/2) (3/4)2 [8/(8 - 3)] |
|
Ls = ■3(4)(3/4)2г (.4545) + 3/4 = .873;
(1!) (8- 3)г
Ws =.873/3 =.291 ч;
Lq =.873-3/4 =.123.
Среднее число грузовиков в системе и среднее время ожида ния в системе больше, чем когда два рабочих работают на погруз ке на одной платформе. Следовательно, вторую платформу стро ить не рекомендуется.
Задача 5.4
Госпиталь имеет пять коек, которые предназначены для сроч ных больных, доставляемых в кардиологическое отделение. Две регистрационные сестры работают на приеме больных в отде
лении.
В среднем каждые два часа (в соответствии с распределением Пуассона) в отделении появляется пациент. Сестра тратит в сред нем 30 минут на осмотр и регистрацию пациента (время осмотра подчиняется экспоненциальному распределению). Если одновре менно могут появиться пять пациентов, требующих обслужива ния, встают два важных вопроса: каково среднее число пациентов в очереди к сестре и каково среднее время ожидания в очереди к каждой сестре?
N = 5 пациентов. М = 2 сестры.
7 = 30 мин. U = 120 мин.
Т __ 30
T + U 30 + 120
Для Х = .20и/И = 2Р = .976.
Н= Среднее число пациентов в очереди = FNX =
=(.976)(5)(.20) =.98 = один пациент;
W = Среднее время ожидания в очереди = 7 (1 -0
XF
30 (1 - .976) = 3.69 МИН. (.20Х.976)
5.2.ВОПРОСЫ ДЛЯ ДИСКУССИИ
1.Что такое теория очередей? Какие компоненты присущи очереди?
2.Какие предположения делаются в моделях очередей, опи санных во введении к этой главе?
3.Укажите наиболее важные операционные характеристики очереди.
4.Как связано время обслуживания и время появления заявок
водноканальной системе очереди?
5.Напишите о трех ситуациях, в которых правило FIFO не применимо для обслуживания в очереди.
6.Приведите примеры четырех ситуаций, в которых имеет место ограниченная (или конечная) длина очереди.
7.Какие компоненты характеризуют следующие системы оче редей (объясните конфигурацию каждой):
а) парикмахерская; б) автоматическая мойка машин;
в) автоматическая прачечная; г) маленький бакалейный магазин.
8.Является ли появление пациентов в приемной врача подчи няющимся случайному закону? Является ли случайным время приема? При каких обстоятельствах время приема может быть постоянным?
9.Как Вы думаете, распределение Пуассона, которое прини малось для независимых появлений заявок, хорошо работает в
перечисленных ниже системах очередей (обоснуйте вашу позицию в каждом случае):
а) кафетерий в вашем университете; б) парикмахерская; в) хозяйственный магазин;
г) приемная стоматолога; д) аудитория университета; е) кинотеатр.
5.3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
Задача 5.1 .ПК
Электронная компания ремонтирует сломанные машины, ко торые поступают в среднем с /= 3 в день (согласно распределению Пуассона). Имеется возможность обслужить в среднем т = 8 ма шин в день, время ремонта распределено согласно экспоненци альному закону.
а) Каков коэффициент использования сервисной системы? б) Чему равно среднее время ремонта сломанной машины? в) Как много машин ожидают в очереди сервиса в некоторое
установленное время?
г) Какова вероятность того, что больше чем одна машина находится в системе? Какова вероятность того, что более чем две машины сломались и ожидают ремонта или сервиса? А больше чем три? Больше чем четыре?
Ответ 5.1: а) .375; б) 1.6 ч; в) .225.
Задача 5.2.ПК*б)
Автоматическая мойка машин работает шесть дней в неделю, но самый тяжелый день для бизнеса — всегда суббота. Из про шлых данных менеджер знает, что грязные автомобили прибыва ют со скоростью 20 в час. Он считает, что с полностью работаю щей моечной линией автомобили могут быть помыты со скорос тью один каждые две минуты. Прибытия распределяются по закону Пуассона, а время обслуживания — по экспоненциальному закону. Найдите:
а) среднее число автомобилей в очереди; б) среднее время ожидания автомобиля перед мойкой;
в) среднее время нахождения автомобиля в сервисной си стеме;
г) коэффициент использования системы;
д) вероятность отсутствия автомобилей в системе; е) оборудование полностью автоматической мойки позволяет
вымыть один автомобиль каждую минуту с постоянным временем обслуживания. Как вы ответите на вопросы «а» и «б» при новой системе обслуживания?
Ответ 5.2: а) 1.33 автомобиля; б) 4 мин (.067 ч); в) 6 мин; г) .6667; Д) .333;
е) .083 автомобиля, .0042 ч.
Задача 5.3.ПК
Менеджер управляет комплексом кинотеатров, называемых кинотеатры 1, 2, 3, 4. В каждом из четырех показывают разные фильмы, расписание сеансов построено так, чтобы время нача ла сеансов не совпадало. Кинотеатр имеет одну билетную кассу, и кассир продает 280 билетов в час. Время обслуживания подчи нено экспоненциальному распределению. Прибытия в нормаль ный день подчинены закону Пуассона и появляются в среднем 210 в час.
Для определения эффективности существующей операцион ной системы продажи билетов менеджер определил ряд характе ристик очереди.
а) Найти среднее число зрителей, ожидающих в очереди би летов.
б) Какую часть времени кассир занят?
в) Какое среднее время посетитель находится в системе?
г) Каково время ожидания в очереди до того, как она подойдет к билетному окну?
д) Какова вероятность того, что больше чем два человека стоят в очереди? Больше чем три? Больше чем четыре?
Ответ 5.3: а) 2.25; б) .75;
в) .857 мин; г) .64 мин; д) .42, .32, .24.
Задача 5.4.ПК
Университетский кафетерий построен на самообслуживании, когда студенты выбирают блюда, которые хотят, а затем встают в одну очередь платить кассиру. Студенты прибывают со скоростью
около четырех человек в минуту согласно закону Пуассона. Один кассир тратит 12 секунд на человека в соответствии с экспоненци альным распределением.
а) Какова вероятность того, что больше чем два студента на ходятся в системе? Больше чем три студента? Больше чем четыре?
б) Какова вероятность того, что система пуста?
в) Какое время будет в среднем стоять студент в очереди, прежде чем дойдет до кассира?
г) Каково число студентов в очереди? д) Каково число студентов в системе?
е) Если добавить второго кассира (который будет работать так же, как и первый), каковы будут операционные характеристики, посчитанные в пп. «б», «в», «г» и «д»? Студенты ждут в одной очереди, и первый обслуживается освободившимся кассиром.
Ответ 5.4: а) .512, .41, .328;
б) .20;
в) .80 мин; г) 3.2; Д) 4;
е) />0 = .429; Wq= .0380 мин; Lq= . 1523; Ls= .9523.
Задача 5.5.ПК
Сезон уборки пшеницы короткий, и фермеры доставляют грузовиками пшеницу в гигантское центральное хранилище в течение двух недель. Вследствие этого грузовики с пшеницей ожидают разгрузки и возвращаются на поля после разгрузки. Центральное хранилище является кооперативной собственнос тью, и каждый из фермеров заинтересован сделать процесс раз грузки и хранения эффективным, насколько это возможно. Затра ты на зерно увеличиваются при задержках разгрузки, и затраты на амортизацию грузовиков и оплату простоев водителям являются важными заботами членов кооператива.
Хотя фермерам трудно установить убыток урожая, но они определили затраты ожидания и разгрузки грузовика и затраты водителя $18 в час. Хранилище открыто и работает 16 часов в сутки и семь дней в неделю в течение двухнедельного сезона уборки. Заполненные грузовики поступают весь день (в течение часов, когда хранилище открыто) со скоростью около 30 машин в час согласно закону Пуассона.
Помогите кооперативу решить проблему уменьшения времени, которое грузовики ожидают в очереди или разгружаются в храни лище, найдя:
а) среднее число грузовиков в разгрузочной системе;
б) среднее время на грузовик в системе; в) коэффициент использования для разгрузочной системы;
г) вероятность того, что больше чем три грузовика находятся в системе в некоторый момент времени;
д) кооператив, как известно, использует хранилище только две недели в году. Фермеры думают, что, расширяя хранилище, снизят затраты разгрузки на 50% в следующем году. Это будет стоить $9000. Является ли это решение приемлемым для коопе ратива?
Ответ 5.5: а) 6 грузовиков; б) 12 мин; в) .857143; г) .54;
д) да, является, $3096.
Задача 5.6.ПК
Магазин успешно торгует по каталогам, и клерк принимает заказы по телефону. Если он занимает линию, автоответчик пред лагает клиенту подождать. Как только клерк освобождается, зака зы, которые ждали дольше, обслуживаются первыми. Заказы при ходят со скоростью около 12 в час. Клерк способен обслужить один заказ в среднем за четыре минуты. Звонки поступают по закону Пуассона, а время обслуживания подчинено экспоненци альному закону.
Клерк получает $5 в час, но потеря продаж оценивается около $25 за час ожидания в очереди.
а) Какое среднее время должен ждать клиент в очереди, преж де чем ему ответит и оформит заказ клерк?
б) Каково среднее число заказчиков в очереди?
в) Менеджер решил добавить второго клерка на оформление заказов. Его зарплата также $5 в час. Нужен ли второй клерк? Объясните свой вариант ответа.
Ответ 5.6: а) 16 мин; б) 3.20 заказов;
в) второй клерк определенно должен быть добавлен, экономия затрат составит $85 - -$13.81 =$71.19/ч.
Задача 5.7.ПК
Покупатели подходят к автомату, приготавливающему кофе, по правилу четыре человека в минуту согласно распределению Пуассона. Кофейный автомат выдает чашку кофе с постоянной скоростью раз в 10 секунд.