книги / Моделирование электротехнических систем и систем автоматики

а б

Рис. 4. Схема непрямой аналоговой модели суммирования исходных параметров: а – без обратной связи; б – с обратной связью

Замена в непрямой аналоговой модели сопротивления нагрузки Rn внутренним сопротивлением усилителя приводит к нестабильности результата этой модели из-за непостоянства внутреннего сопротивления Rвн операционного усилителя, что является серьезным недостатком такого вида модели.

Этот недостаток устраняется включением сопротивления обратной связи Rос между входом и выходом усилителя (рис. 4, б), которое стабилизирует параметры усилителя и модели в целом. Масштабные коэффициенты непрямой аналоговой модели рассчитываются по следующим формулам:

Операционный усилитель непрямой аналоговой модели должен обладать следующими свойствами:

1)иметь высокий коэффициент усиления (К = 4·104÷108);

2)обеспечивать инверсность выхода относительно входа (это дает возможность обеспечить вычитание исходных параметров);

3)иметь способность к масштабированию выходного сигнала за счет использования масштабных коэффициентов.

Прямая аналоговая модель процесса интегрирования ис-

ходного параметра представлена на рис. 5, а, которая реализована на основе математической модели этого процесса, описанного уравнением

22

Эта модель, как и предыдущая, обладает тем же недостатком (малой чувствительностью).

Рис. 5. Схема прямой (а) и непрямой (б) аналоговой модели интегрирующего процесса

Для устранения этого недостатка применяют операционный усилитель, в обратную связь которого включают конденсатор (рис. 5, б). Такая модель представляет собой непрямую модель интегрирующего процесса. Величина масштабного коэффициента для этой модели определяется по формуле

Исследования характеристик динамических звеньев систем автоматики можно успешно выполнять на соответствующих аналоговых моделях. Примером такой модели может служить модель апериодического звена некоторого автоматического устройства. Математическая модель этого звена описывается уравнением

На рис. 6 представлена аналоговая модель апериодического звена в двух варианта. Прямой вариант этой модели показан на

23

рис. 6, а, непрямая аналоговая модель этого динамического звена – на рис. 6, б. Во втором варианте использованы операционные усилители для выполнения математического процесса интегрирования и алгебраического сложения структурных параметров модели.

Рис. 6. Структурная схема прямой (а) и не прямой (б) аналоговой модели апериодического звена

Смысл логики алгоритма этой модели состоит в следующем. Согласно уравнению (12) первая производная параметра U2 складывается алгебраически с произведением параметра R/L на соответствующие множители U1 и U2. Параметр U1 как входной сигнал модели подается от внешнего источника напряжения. Параметр +U2 должен формироваться как искомый результат моделирования в точке В на выходе интегрирующего блока ОУ1. Благодаря инвертированному свойству этого блока в этой точке результат отрицательный, поэтому для дальнейшего суммирования он должен поменять знак. Эта операция выполняется операционным блоком ОУ2, после этой операции ее результат с соответствующим масштабным коэффициентом из точки С подается к точке А этой модели. Результат этого моделирования также снимается в точке С.

5.2.2. Цифровые математические модели

Цифровая математическая модель представляет собой вычислительное устройство (обычно ЭВМ), с помощью которого по некоторому алгоритму производится решение уравнений

24

этой модели. Такое решение в большинстве случаев выполняется приближенными методами, в которых заданная точность решения является определяющей.

5.2.2.1. Точность решения цифровой математической модели

Под точностью решения уравнений математической модели понимают степень отличия значения моделируемой величи-

ны от ее истинного значения. Различают два вида точности результата решения уравнений математической модели: абсолютную и относительную.

Под абсолютной точностью решения уравнений мате-

матической модели понимают разность между истинным значением моделируемого параметра и его значением, полученным в результате моделирования. Величина абсолютной точно-

сти описывается уравнением следующего вида:

где Хи − истинное значение моделируемого параметра; Хi − значение моделируемого параметра, полученное при моделировании.

Как правило, истинное значение моделируемого параметра Хи заранее неизвестно, поэтому при решении уравнений модели численным, итерационным методом абсолютная точность решения оценивается как

где Хi − решение, полученное на текущей итерации (повторении); Хi–1 − решение, полученное на предыдущей итерации (повторении).

Если такая разность (абсолютная точность решения) становится меньше заранее заданного значения [∆], то величина Х, равная половине разности, полученной из уравнения (14), счита-

25

ется конечным (приближенным) результатом решения уравнений математической модели.

Под относительной точностью решения уравнений математической модели понимают отношение абсолютной точности решения к истинному значению моделируемого пара-

метра. Относительная точность описывается уравнением следующего вида:

где Ха − абсолютная точность моделируемого параметра.

Для численного (итерационного) метода решения уравне-

Относительная точность решения величина безразмерная, поэтому она более удобна для оценки точности решения в итерационных методах решения математических моделей.

Если решение задачи математической модели в аналоговом варианте определяется структурным набором и взаимодействием решающих аналоговых блоков, то в цифровом варианте решения такой модели ее результат зависит только от структуры алгоритма при постоянной структуре вычислителя (как правило, ЭВМ).

5.2.2.2. Виды цифровых математических моделей, их отличительные признаки

Математические модели цифрового типа делятся на аналитические, имитационные, комбинированные.

Аналитические математические модели обычно пред-

ставлены функциональными отношениями (алгебраическими или дифференциальными уравнениями), связанными между со-

26

бой или логическими отношениями. Функциональные отношения элементов аналитической модели могут быть заданы в форме уравнения или системы уравнений, а также в форме алгоритмических связей отдельных функциональных блоков, имитирующих определенные математические функции. Примером такой модели является модель динамического звена системы автоматического управления, показанная на рис. 7. Эта модель выполнена инструментальными средствами приложения Simulink программного пакета МАТLAB. На рис. 8. показан результат работы этой модели при разных значениях ее параметров.

Рис. 7. Пример аналитической модели для исследования параметров динамического звена системы автоматики

27

Рис. 8. Графики колебательного процесса в динамическом звене системы автоматики при разных значениях его параметров

Имитационные математические модели обычно пред-

ставлены набором функциональных блоков, реализуемых через отдельные подпрограммы, логически связанных между собой единым алгоритмом. Каждый из этих функциональных блоков имитирует элементарное действие (явление) общего моделируемого процесса. При этом функциональные возможности таких имитационных блоков максимально совпадают с функциональными качествами реальных объектов. Модель, представленная на рис. 9, является примером моделей такого типа. Эта модель выполнена инструментальными средствами приложения SimPowerSystems программного пакета МАТLAB. Результат работы этой модели показан на рис. 10.

28

Рис. 9. Пример модели имитирующего типа для исследования параметров сети переменного тока с различным видом нагрузки

Рис. 10. Графики фазовых токов и межфазных напряжений при включении сети переменного тока с различным видом нагрузки

29

Комбинированные (аналитико-имитационные) модели –

это рациональная совокупность элементов аналитических и имитационных моделей, которая позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. Пример такой модели показан на рис. 11. Модель обеспечивает включение релейных элементов K2 и L2 по переменному во времени режиму.

Рис. 11. Пример модели комбинированного типа релейно-контактной системы с переменным значением исходных параметров

Данная модель состоит из дух модулей, логически связанных между собой. Модуль 1 (modul1) этой модели представляет собой релейно-контактную схему, выполненную на языке программирования Ladder Diagram. Входной параметр PV этого модуля определяет время включения элемента L2. Величина этого параметра может меняться в цикле только модулем 2 (modul2), программа которого записана на языке Structured Text. В этой программе в цикле меняется значение параметра PV. Выход из этого цикла определяется значением параметра CV, которое передается по каналу связи от модуля 1.

30