книги / Моделирование электротехнических систем и систем автоматики

5.2.2.3.Структура вычислительной системы для цифрового моделирования

Вычисление результата цифровой математической модели осуществляется с помощью ЭВМ, которая выполняет роль вычислителя в такой модели. Структура такого вычислителя показана на рис. 12.

Рис. 12. Структура вычислителя для цифровой математической модели

Основу этой структуры составляет арифметическо-логиче- ское устройство (АЛУ), с помощью которого по заданному алгоритму производится вычисление уравнений математической модели.

Ввод алгоритма и исходных данных для этого вычислителя осуществляется через устройство ввода, которое преобразует эти данные в форму, понятную для ЭВМ. Алгоритм решения числовой математической модели записывается во внешнюю память (ВЗУ), а в процессе выполнения этого алгоритма он переносится в оперативное запоминающее устройство (ОЗУ). Устройство управления переводит каждую команду этого алгоритма в конкретные действия процесса вычисления.

Результат вычисления цифровой математической модели сохраняется в оперативной памяти, но только в форме двоично-

31

го числа, понятного для ЭВМ и совершенно непонятного для пользователей этого вида моделирования. Для перевода этого результата в форму, понятную для большинства пользователей математического моделирования, в состав вычислителя вводится устройство вывода.

5.2.2.4. Методы решения уравнений цифровой математической модели

Решение уравнений аналитической модели может быть получено одним их двух возможных методов:

•методом точного аналитического решения;

•методом приближенного, численного решения.

Точный метод аналитического решения требует конеч-

ных формул, по которым на ЭВМ можно с высокой точностью вычислить необходимый результат математической модели. В большинстве случаев цифрового моделирования получить такие формулы не представляется возможным. Поэтому второй итерационный метод с появлением ЭВМ стал преобладающим в этом виде моделирования.

Суть приближенного итерационного (численного) мето-

да состоит в том, что в уравнение модели первоначально водятся некоторые исходные данные, на основе которых получают промежуточный искомый результат. Этот результат анализируется по заданной точности. В случае недостаточной точности этого результата вычисление повторяется по заданному алгоритму, при этом полученный результат принимается за новые исходные данные.

Такое повторение вычислений уравнений модели с новыми исходными данными называют итерацией (повторным решением), поэтому этот метод решения был назван численным, или итерационным. Структура итерационного алгоритма показана на рис. 13.

32

Рис. 13. Структура итерационного алгоритма

После запуска и ввода исходных данных по уравнениям исследуемой модели вычисляется промежуточный результат, который по формуле (16) анализируется по достигнутой точности. Эта фактическая точность сравнивается с заданной точностью. Если численное значение фактической точности будет превышать заданную точность, то алгоритм переходит к очередной итерации вычислений результата с новыми исходными данными, в качестве которых принимается полученный результат. В противном случае полученный приближенный результат принимается за искомый и выводится на печать. После чего алгоритм прекращает свою работу.

33

6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Как уже сообщалось ранее, аналитическое моделирование является одним из видов математического моделирования и представляет собой уравнение или систему уравнений, записанных в алгебраической, дифференциальной или какой-либо другой форме, объединенных между собой системой логических соотношений.

Аналитическая модель, как правило, относится к виду статических моделей и используется для исследования фундаментальных свойств физических объектов.

При аналитическом моделировании с помощью уравнений математической модели чаще всего приходится решать следующие задачи:

•определять корни алгебраических уравнений;

•производить численное дифференцирование или интегрирование;

•определять корни дифференциальных уравнений различного порядка;

•определять результат для модели, состоящей из совокупности этих задач.

6.1.Принцип и алгоритм численного определения корней линейных алгебраических уравнений

Под корнем линейного алгебраического уравнения пони-

мают такое значение его аргумента, при котором значение функции равно нулю. В уравнении аналоговой математической модели корней может быть один или несколько. Количество корней этого уравнения зависит как от его характера, так и от области численного значения аргумента.

На первом этапе решения этой задачи необходимо определить область существования корней математической модели.

34

Для этого используют следующие критерии существования таких корней.

На участке существования корней алгебраического уравнения должны быть выполнены следующие условия:

1)на концах отрезка области существования корней алгебраического уравнения функция F(x) должна иметь разные знаки;

2)функция F(x) в области существования корней должна иметь производную, отличную от нуля;

3)на отрезке области существования корней функция F(x) имеет единственный корень, если производная этой функции на этом участке не меняет своего знака.

Поиск корней алгебраического уравнения будем производить итерационным способом, используя при этом метод половинного деления. Графически принцип реализации этого метода представлен на схеме рис. 14.

Рис. 14. Схема определения корней уравнения методом «половинного деления»

Для определения области существования корней необходимо первоначально выбрать начальную точку А (исходный аргумент) этой области и задать этому аргументу некоторый шаг приращения ∆. На каждом шаге этого приращения вычисляется значение функции F(x). Процесс приращения аргумента цикли-

35

чески продолжается до тех пор, пока вычисленное значение функции F(x) на определенном приращении не станет противоположным по знаку со значением этой функции в точке А.

Вслучае появления такого результата значение аргумента этого результата принимается за противоположную границу области существования корней, т.е. за точку В.

Впроцессе такого поиска число приращений аргумента может достичь значения наперед заданного числа таких приращений (параметра N). В этом случае значение числа N удваивается и поиск точки В продолжается.

Определив область существования корней алгебраического уравнения, переходим к их выделению методом «половинного деления», используя при этом вышеописанные критерии.

Суть этого метода состоит в том, что установленную область существования корней делят пополам и на середине этой области проверяют наличие корня (функция в этой точке должна быть нулевой). Если корня в этой точке нет, то, используя вышеописанные критерии существования корней, отбрасывают ту половину первоначального найденного диапазона, в которой по этим критериям корней не должно быть. После чего аналогично делят пополам оставшуюся область и также анализируют ее на наличие

вее середине корней. Процедура такого деления продолжается до тех пор, пока величина оставшейся половины области существования корней не снизится до заранее установленной величины, определяемой точностью решения этой задачи. Середину оставшейся области принимают за приближенное значение корня.

Реализация этого метода на ЭВМ возможна с помощью алгоритма, представленного на рис. 15.

По этому алгоритму после его запуска вводятся исходные данные, среди которых параметр А как начальное значение диапазона поиска корней. Параметр N определяет конечное число приращений в поиске диапазона области существования корней, на котором аргумент дискретно меняется с шагом ∆. Параметр ε это заданное значение абсолютной точности решения этой задачи.

36

Рис. 15. Алгоритм определения корней уравнения методом «половинного деления»

37

После ввода исходных данных определяется значение функции в точке А и А+∆. Затем анализируется разность этих значений. Если значение функции в точке А окажется меньшим чем в точке А+∆, то это значит, что на выбранном направлении диапазона поиска корней функция будет возрастать, и вероятность смены ее знака на этом направлении минимальна, поэтому искать корни в этом направлении, нет смысла. Исходя из этого, для изменения направления поиска корней меняем знак параметра ∆ приращения аргумента. При ложности этого условия направление поиска не меняется.

Поиск точки В (конца области существования корней) осуществляется в цикле, в котором сравнивается произведение значений функции в точке А и ее значения на интервале очередного приращения аргумента. Этот цикл продолжается до тех пор, пока не появится значение функции, противоположное по знаку ее значению в точке А, или пока число итераций не превысит числа N. Если произойдет последнее, то число N увеличивается вдвое и поиск продолжается вышеописанным способом. При появлении отрицательного произведения значений вышеописанных функций алгоритм фиксирует значение аргумента, как противоположное значение области существования корней, т.е. точку В.

После этого диапазон от точки А до точки В делится пополам, как середина области существования корней и в этой точке (см. рис. 14 точка С) определяется значение функции. Если значение функции в этой точке будет нулевым, то данная точка считается точным значением корня исходного уравнения. При истинности этого условия значение этого аргумента выводится как искомый результат с дальнейшим завершением алгоритма. При значении функции на середине отрезка АВ, отличном от нуля, следует определение знака произведения значений функции на этой середине и в точке А. При положительном значении этого произведения, согласно критериям существования корней, в диапазоне от точки А до С этих корней быть не может, поэто-

38

му эта половина диапазона отбрасывается, а точка «А» переносится в точку С. Значение функции в точке С сохраняется в параметре Y. При отрицательном значении этого произведения корни на участке от А до С существуют, поэтому это половина диапазона подвергается дальнейшему анализу, для чего точка В переносится в точку С.

Новый диапазон области существования корней подвергается анализу на соответствие заданной точности. Если абсолютное значение разности между точками В и А будет равно или меньше заданной абсолютной точности ε, то середина этого диапазона может быть приближенным значением корня заданного уравнения. Поэтому алгоритм вычисляет эту середину и выводит его как искомый результат, после чего он прекращает свою работу. В случае несоответствия этого условия алгоритм переходит на очередную итерацию деления диапазона существования корней, которая выполняется выше описанным способом.

6.2. Принцип и алгоритм численного решения системы алгебраических уравнений

Под решением системы алгебраических уравнений понимают такие значения их аргументов, при которых все функции системы имеют одно и то же значение. Система алгебраических уравнений считается решенной, если найдены все значения ее корней.

В классическом (точном) варианте для решения такой системы составляется матрица из коэффициентов всех уравнений, на основе которой находится конечный результат. Указанный способ достаточно трудоемкий, поэтому при математическом моделировании используют другой приближенный, численный метод такого решения. Суть его заключается в следующем.

Общий вид системы n-го порядка может быть представлен как

39

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2,

……………………………………..

an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn.

Решение каждого из этих уравнений имеет следующий вид:

Если решение каждого предыдущего уравнения вставлять в последующее, то любой k-й корень этой системы с некоторой точностью может быть определен из следующего выражения:

Решение системы уравнений численным методом с заданной точностью можно найти, если первоначально задаться некоторым исходным значением корней моделируемой системы, а затем каждое значение этих корней на последующей итерации определять по следующей формуле:

40