книги / Управление качеством руд при добыче
..pdf
а по оси ординат – частоту или частость в виде ступенек. Гистограмма очень наглядно характеризует случайную величину: размах и частоту конкретных значений, степень асимметричности, равномерности и др. Для некоторых данных этот эмпирический поинтервальный график представлен на рис. 4.2.
Рис. 4.1. Распределение количества отбираемых в течение суток проб
Рис. 4.2. Гистограмма распределения содержания никеля в руде
Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины, или плотность распределения f(x) представлена гладкой кривой, характеризующей результаты наблюдений или экс-
21
периментов и вероятность попадания выборочного значения случайной величины xk в заданный интервал от х до х + x. По оси ординат откладывают частости, соответствующие каждой группе (классу) значений случайной величины (рис. 4.3).
Рис. 4.3. График функции плотности вероятностей (плотности распределения) – дифференциальная функция распределения
Функция распределения вероятностей (кумулята) F(x) опре-
деляет вероятность того, что выборочное значение случайной величины xk окажется меньше предела, заданного переменной х, т.е. вероятность события xk х. При построении графика кумуляты по оси ординат откладывают накопленные частости (рис. 4.4).
Рис. 4.4. График функции распределения вероятностей (интегральная функция) – кумулята
22
Кумулята данных позволяет определить, что, например, при минимально допустимом содержании никеля в руде, равном 0,2 %, до 28 % запасов месторождения будут забалансовыми,
апри содержании 0,35 % – до 65 %.
4.2.Числовые характеристики распределения случайных величин
Полную, исчерпывающую характеристику случайной величины дают законы распределения. Для решения оперативных, плановых и прогнозных задач управления качеством руды зачастую нет необходимости полностью описывать случайную величину, исследуя функции f(x) или F(x). Достаточно знать только существенные особенности случайной величины, именуемые числовыми или статистическими характеристиками.
Указанные характеристики могут быть двух родов: теоретическими и эмпирическими. Теоретические иногда называют параметрами распределения случайных величин, а эмпирические – выборочными (статистическими) оценками этих параметров. Параметры распределения обычно представлены детерминированными величинами, а выборочные оценки – стохастическими (случайными) величинами.
К наиболее распространенным числовым (статистическим) характеристикам относятся медиана, мода, среднее значение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, математическое ожидание, асимметрия и эксцесс.
Медиана – это центр (средний член) упорядоченного ряда значений случайной величины Х; она делит площадь под кривой плотности распределения пополам. Медиану можно определить, расположив все значения xi по возрастанию (убыванию) и отыскав средний по порядку член ряда. При четном числе рядов медиана определяется как полусумма двух средних рядов.
Мода – это значение xi, которому соответствует наибольшая вероятность (частота или частость).
23
Среднее значение случайной величины – это среднеарифметическое из всех ее значений:
1 i n
x n i 1 xi .
Дисперсия – это мера рассеивания (отклонения) случайной величины относительно центра ее группирования. Она является главной характеристикой разброса случайной величины и вычисляется как усредненный квадрат отклонения случайных значений величины от ее среднего значения x:
1 i n
D n i 1 (xi x)2 .
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Оно равно квадратному корню из дисперсии:
D |
1 (xi x)2 . |
|
i n |
|
n i 1 |
Для вычисления выборочного среднеквадратического отклонения при n < (20…30), в знаменателе п заменяется п–1. Это значение зачастую именуется исправленным.
Коэффициент вариации случайной величины (эмпирический) – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому значению(в долях единицыили в процентах):
/x.
Данная характеристика случайной величины служит критерием корректности наблюдения или эксперимента. Можно считать, что технические измерения достаточно достоверны при< 5 %, геологические и горные исходные данные и эксперимен-
24
ты при < 10…15 %. Кроме того, коэффициент вариации широко используется для характеристики степени изменчивости изучаемых свойств, параметров и показателей геологических, горных и обогатительных объектов и процессов, имеющих, как правило, различные размерности.
Математическое ожидание выражается для дискретной случайной величины через сумму произведений всех ее возможных значений xi на соответствующие им вероятности pi:
Mx n xi pi .
i 1
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание
M x x f x dx.
Этот параметр равен абсциссе центра тяжести функции плотности вероятностей f(х) и характеризует ожидаемое среднее значение случайной величины. Он широко используется для оценок в горно-геологической и обогатительной практике, в частности для определения среднего содержания полезных компонентов, при подсчете запасов месторождения или его участков, планировании горных работ, при оценке прочностных свойств горных пород, гранулометрического, химического и минерального состава руды и др.
Асимметрия – это смещение пика графика плотности распределения (математического ожидания) от центра размаха варьирования (рис. 4.5). Для дискретной случайной величины она определяется через кубы отклонений либо через частности соответственно:
A n |
(xi x)3 /n и A n |
[xi M (x)]3 pi , |
i 1 |
i 1 |
|
25
Рис. 4.5. Графики плотности распределения с разной асимметрией: 1 и 3 – положительно и отрицательно асимметричное соответственно; 2 – симметрично
Для непрерывной величины – через плотность распределения и математическое ожидание:
A [x M (x)]3 f (x)dx.
Для симметричных распределений асимметрия равна нулю. Если мода, медиана и математическое ожидание смещены относительно центра размаха варьированиявлево, тоА > 0 и распределение положительно асимметричное (см. рис. 4.5, кривая 1), а если вправо, тоA < 0 ионоотрицательно асимметричное(см. рис. 4.5, кривая3).
Эксцесс – это числовая характеристика кривой плотности вероятностей, отражающая степень ее «крутости» или островершинности (рис. 4.6). Островершинные распределения характеризуют приуроченность подавляющего большинства значений случайной величины к узкой области, примыкающей к моде, плосковершинные – рассеянность ее по всему интервалу возможных значений. Мерой эксцесса служит четвертая степень отклонений:
n |
n |
Е = (xi x)4 |
/n; Е = [xi M (x)]4 pi ; |
i 1 |
i 1 |
|
|
Е = [x M (x)]4 f (x)dx.
Показатели асимметрии Aр = А/ 3 и эксцесса Ер = Е/ 4 служат для оценки соответствия выборочных данных конкретному типу распределения.
26
Рис. 4.6. Графики функции плотности распределения с различным эксцессом: 1, 2, 3 – показатель эксцесса соответственно положителен, равен нулю и отрицателен
Эксцесс нормального распределения обычно рассматривает-
ся как эталон. Поскольку Ер = 3, для сопоставления различных распределений его принято представлять в виде
Ер = Е/ 4 –3.
При оценках непрерывной случайной величины по сгруппированным выборочным данным вероятности рi заменяются частотами попадания значений хi в каждый интервал группирования kj, а значения хi – значениями центров интервалов группирований xj. Тогда формулы для определения математического ожидания М(х'), среднеквадратического отклонения ', показателей асим-
метрии Аp |
и эксцесса Ер принимают следующий вид: |
|||||||
|
М(х') = 1 |
j k |
|
1 |
j k |
|
||
|
xj ; ' = |
xi x 2 ; |
||||||
|
|
|
k |
j 1 |
|
k |
j 1 |
|
|
|
|
j k |
|
|
|
j k |
|
|
|
|
(xj x)3 |
|
|
(xj x)4 |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
||
|
Аp |
|
|
|
; Ер |
|
|
. |
|
|
k 3 |
k 4 |
|||||
Момент случайной величины удобен для определения статистических характеристик случайной величины и вычисляется как сумма отклонений случайной величины xi от относительно постоянной q в различных степенях k (от 1 до 4):
mk = 1 n (xi q)k . n i n
27
Параметр q может быть выбран произвольно: или равным нулю, или среднему значению x. В первом случае момент случайной величины именуется произвольным (им пользуются для ускорения вычислений). Во втором случае момент именуется начальным, и среднеарифметическое его значение x определяется через момент первого порядка: x = m1. Начальный момент рассчитывается по формуле
mk = 1 n xik . n i n
В третьем случае момент называется центральным:
k 1 n (xi x)k . n i n
Статистические характеристики (дисперсия D, среднеквадратичное отклонение , показатели асимметрии Ар и эксцесса Ер) легко вычисляются через центральные моменты случайной величины:
D = 2; = 
2 ; Ар = 3/ 3; Ер = 4/ 4 – 3.
28
5. ГЕОЛОГО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ КАРТИРОВАНИЕ МЕСТОРОЖДЕНИЯ
Основная задача геолого-технологическое картирование месторождения – получение достоверной технологической оценки качества руды в недрах, ее неоднородности и сортности. В ходе его проведения на основе детального изучения вещественного состава, текстурно-структурных особенностей, физикомеханических свойств и обогатимости руд по большому числу проб выделяют, изучают и геометризируют технологические сорта и разновидности руд. При использовании компьютерных графических редакторов возможна автоматическая классификация, выделение и построение на планах контуров сортов руды с одновременным вычислением показателей их качества в любых заданных объемах.
Результаты рудокартирования – основа управления качеством добываемых руд; их используют при проектировании и эксплуатации горно-обогатительных комбинатов (ГОК). Они позволяют объективно оценить необходимость раздельной добычи и переработки руд, более правильно решать задачи усреднения руд, предконцентрации и управления качеством рудного сырья, оценки блочности рудного массива и природной концентрации макротрещин в единице объема, структурной дефективности и прочностной способности на взрывное разрушение.
Данные технологического картирования позволяют:
1)составить графики отработки месторождения с учетом всех особенностей вещественного состава и обогатимости руд различных участков и горизонтов, разработать и создать (применительно к этим участкам) гибкие технологические схемы и режимы, обеспечивающие получение высоких показателей обогащения и комплексное использование сырья;
2)определить запасы и возможное извлечение извлекаемых компонентов по каждому типу и сорту, по периодам эксплуатации, рудным телам, горизонтам и участкам месторождений;
29
3)разработать при проектировании горно-обогатительных предприятий обоснованные системы стабилизации качества руд при отработке месторождения за счет усреднения руд при добыче, транспортировке, складировании, бункеровании и т.д.;
4)оценить возможности предварительной сортировки руд по концентрации извлекаемых компонентов, вещественному составу, обогатимости с выделением отвальных продуктов на стадии первичного или среднего дробления в результате разделения по плотности (в тяжелых средах или отсадкой), твердости и крупности (на грохотах), цвету, блеску, люминесценции (на фотометрических сепараторах), естественной или наведенной радиоактивности (на радиометрических сепараторах) и другими различиями в свойствах разделяемых минералов илиминеральных ассоциаций;
5)оценить твердость минералов и механическую прочность агрегатов, крупность вкрапленности минералов и их взаимопрорастание, контрастность прочностных свойств компонентов руды
иее измельчаемость, учитываемых при разработке схемы рудоподготовки и оптимизации степени измельчения.
Информация о размещении технологически однородных блоков (технологических типов и сортов руд) может быть использована либо для раздельной (селективной) выемки руд различного качества, либо для шихтования труднообогатимых руд легкообогатимыми, либо для корректировки режима работы перерабатывающего предприятия. Впервые геолого-технологическое картирование было применено на месторождениях железистых кварцитов Кривого Рога для разделения магнетитовых и гематитовых кварцитов, требующих различных способов переработки, т.е. относящихся к различным технологическим типам руд. Для картирования в ВИМСе был разработан комплект малогабаритных обогатительных приборов (МОЛМ), позволяющий на малообъемных технологических пробах изучать обогатимость различных полезных ископаемых. В дальнейшем геолого-технологическое картирование было введено как обязательное на тех месторождениях, где руды заметно различаются по обогатимости.
30