книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Одномерная математическая статистика и регрессионный анализ)
..pdf
Рис. 7.2. График зависимости степенной функции (парабола) [51]
Если показатель степени четный, тогда график этой функции будет симметричен относительно оси y, как это представлено на рис 7.2. Функция y = x2 – четная функция. На промежутке [0; +) функция возрастает, на промежутке (–; 0] функция убывает. Графиком этой функции является парабола. В общем случае степенная функция с натуральным показателем задаётся формулой y = xn, где n – натуральное число. При n = 1 получаем функцию y = x. Пусть n – произвольное четное число, большее двух: 4, 6, 8…. В этом случае функция y = xn обладает теми же свойствами, что и функция y = x2. График функции напоминает параболу y = x2, только ветви графика при |х| > 1 круче направлены вверх. Причём, чем больше n при |х| < 1, тем «теснее ветви прижимаются» к оси Х [33].
Функция y = x3 – нечетная функция, её область определения – вся числовая прямая. Функция возрастает на всей числовой прямой, графиком функции является кубическая парабола.
Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, приведены на рис. 7.3.
Отмечается, что «графики степенной функции при положительном показателе b1 называются параболами порядка b1, а при отрицательном – гиперболами порядка b1. Таким образом, смена знака показателя при аргументе c положительного на от-
221
рицательный превращает функцию возрастающую в убываю-
щую» [48].
Рис. 7.3. График зависимости степенной функции (парабола)
В отраслях, где переменные представлены, как правило, положительными числами, степенная функция используется в
другой форме: y xb1 или y = (x / b)a. При этом «в самом об-
щем случае x может быть любым действительным числом при показателе степени больше 0 и не равно 0 при показателе степени меньше 0. Для любых b1 график функции проходит через точку (1; 1). В уравнениях степенной функции первую называют однопараметрической, а вторую – двухпараметрической» [51].
Рис. 7.4. Примеры графиков степенной функции
Степенная функция очень широко используется в нефтедобыче [51]. Например, уравнение Фрейндлиха для описания процесса сорбции грунта на скважинных площадках [43]:
222
Q = mCn,
где Q – концентрация сорбированного иона (моль/100 г почвы); С – концентрация иона в контактирующем растворе,
моль/л;
m и n – эмпирические параметры, характерные для каждого почвенного образца.
Установленные эмпирические параметры зачастую несут определённую физическую сущность. В том же уравнении Фрейндлиха, невзирая «на его эмпирический характер, степенной параметр n (показатель степени) можно рассматривать как показатель неоднородности сорбционных центров, он приближается к нулю по мере возрастания неоднородности и стремится к единице при увеличении их однородности» [51]. Это свидетельствует о том, что вычисление параметров аппроксимации имеет не только практическое значение в целях использования их в математических моделях, но и важно для понимания и анализа физических процессов. В то же время, чтобы установить физический смысл и значение регрессионных коэффициентов, надо проводить дополнительные эксперименты, анализировать поведение уравнения в различных условиях. В самом общем случае эти коэффициенты, как и любые регрессионные коэффициенты, безразмерны. При использовании регрессионного уравнения нужно указывать не только его вид, но и размерность зависимой переменной и аргументов, а также обязательно фиксировать границы области определения факто-
ров [1; 51].
Степенные функции используются в различных областях исследований. Например, при описании зависимости между статическим модулем упругости и скоростью продольной волны в образцах (рис. 7.5).
223
Рис. 7.5. Степенная зависимость между статическим модулем упругости и скоростью продольной волны Средне-Назымского месторождения [30]
Зависимость вида: Eст a yрb приводится к линейному виду путёмлогарифмирования lny = lna + b lnx.
7.4.2. Показательная и экспоненциальная функции
При рассмотрении многих природных процессов и явлений «может оказаться полезным анализ показательной функции y = bx, где b ‒ основание показательной функции, имеет только положительные значения, а в качестве переменной выступает показатель степени. Частный случай показательной функции ‒ функция экспоненциальная: y = b1 exp (b2x), где exp ‒ основание натуральных логарифмов (e = 2,7182…). Особым свойством экспоненты является то, что она возрастает (рис. 7.6, а) или убывает (рис. 7.6, б) быстрее, чем степенная функция» [51].
224
аб
Рис. 7.6. Пример графиков показательной функции: а – возрастающей; б – убывающей
Используя функцию натурального логарифма lnx, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием b1 через экспоненту: b1x = ex·ln(b1). Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты в большинстве аппроксимаций [51]. В этом выражении «работает правило знака перед аргументом: “плюс” – возрастающая функция, “минус” – убывающая. Экспоненциальная функция сначала довольно быстро возрастает (или убывает при минусе перед аргументом), а затем постепенно и плавно “выходит на плато”, что указывает на наступление некоторого равновесия. Эти свойства показательной и экспоненциальной функций позволяют использовать их во многих областях науки, в том числе при описании химических реакций, роста численности микроорганизмов и др. Экспоненциальные функции очень важны, поскольку они описывают такие физические явления, как радиационный распад. Описывая экспоненциальные функции, нельзя не упомянуть часто встречающееся распределение (или функцию) Вейбулла. [51]. Она встречается в описании распределения частиц геологической пробы по гранулометрическому составу:
y = b1 + (1 – b1) [1 – exp ( – b2xb3)].
225
7.4.3. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция с основанием b1 ‒ это функция вида logb1 x , где b1 > 0 и b1 ≠ 1. Если b1 > 1, то функция на всей
области определения возрастает (рис. 7.7, а), а если 0 < b1 < 1 ‒ убывает (рис. 7.7, б). Особенностью логарифмической функции является то, что нулевое значение она принимает в точке х = 1 при любом b1 > 0.
а |
б |
Рис. 7.7. Примеры графиков логарифмической функции: а – возрастающей; б – убывающей
«При работе с логарифмической функцией может оказаться полезным тот факт, что графики показательной вида b1x и лога-
рифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно биссектрисы у = х, т.е. функция y = logbx обратна показательной функции y = bx. Поэтому в большинстве случаев используют показательную или экспоненциальную функции» [51] (рис. 7.8).
В научных исследованиях логарифмическая функция встречается достаточно часто: в астрономии – для отображения степени отблеска звезд и моделирования спиралевидного внешнего вида галактик; в акустике – для оценки громкости шума; в биологии – при описании формы ракушек улиток, рогов животных, паутин и т.д.; в экономике – при различных расчетах роста денежных капиталов и др. «Важно то, что и показатель-
226
ная, и логарифмическая функции могут быть в той или иной мере сведены к экспоненциальной, пользоваться которой при аппроксимации многих природных явлений бывает проще» [51].
а |
б |
Рис. 7.8. Примеры графиков функций: а ‒ показательной; б ‒ логарифмической
7.4.4. Логистическая кривая
Логистическая функция, или логистическая кривая, – обобщённая сигмоидальная (S-образная) кривая. Чаще всего используется логистическая функция (иногда её именуют логитфункцией), она описывается выражением: y = 1 / (1 + e–x), где e = 2,72 – число Эйлера.
Область допустимых значений х этой функции совпадает с множеством всех действительных чисел. Более того, она уникальна своей формой (рис. 7.9): на первом этапе медленно возрастает, следующий её этап характеризуется ускоренным ростом, напоминая показательную функцию, а на последней фазе её ускорение замедляется и функция медленно и постепенно приближается к некоторому максимальному значению. Из-за своей формы, напоминающей греческую прописную букву «сигма», эту кривую и называют «сигмоидной».
227
Рис. 7.9. График логистической функции
Наличие трёх фаз (медленного, ускоренного возрастания и постепенного выравнивания) позволяет использовать эту сигмоидную функцию для «многих природных процессов, которые сначала развиваются медленно (лаг-фаза в биологических процессах), потом ускоряются, а в завершающей стадии постепенно замедляются. Вторая стадия ‒ стадия быстрого роста логистической кривой – приблизительно соответствует экспоненте (показательной функции). Затем по мере насыщения рост замедляется, проходит линейную фазу и, наконец, в «зрелом периоде» рост практически останавливается. Так можно описать многие процессы роста. А при положительном знаке перед аргументом функции – это процессы разложения, распада и др. Эта функция очень широко используется в экологии. При ограничении процессов размножения организмов в популяции каким-либо ресурсом, например, количеством доступной пищи, удельная скорость роста популяции зависит от ее численности (плотности)» [51].
7.4.5. Функции с одним экстремумом
Среди функций, имеющих один максимум или минимум, можно выделить две, наиболее употребляемые в естественных науках – параболическую и гауссовскую функции (гауссовская логит-функция) [33; 51].
228
График «с одним экстремумом можно получить в частном случае степенной функции или при использовании любой квадратичной функции. Например, очень часто можно встретить запись классической параболической функции в виде полинома 2-й степени:
y = b0 + b1x + b2x2.
Кривая нормального распределения, или гауссовская кривая, напоминает параболу и чаще всего описывает распределение частот в выборке (например, гистограмма распределения частот ошибок). Если выборкой является популяция, многие ее свойства можно описать с помощью кривой нормального распределения» [51] (например, изменение численности при изменении условий среды). Форму кривой и уравнение можно посмотреть в соответствующем разделе. Примером такой функции служит степенная зависимость между статическим модулем упругости и скоростью продольной волны для некоторых место-
рождений [30] (рис. 7.10).
Рис. 7.10. Зависимость между статическим модулем упругости карбонатных пород и скоростью продольной волны для некоторых месторождений Средней Азии
229
7.4.6. Функции с несколькими экстремумами
Для описания кривых с несколькими экстремумами приме- няютсяполиномы3-йстепенииболеевысокойисплайн-функция.
7.4.6.1. Полиномиальная функция
Полиномиальная функция имеет вид многочлена степени n: y = b0 + b1x + b2 x2 + b3 x3 + … + bn xn.
Функция используется для описания экспериментальных данных в случае, если ни одна из вышеописанных функций не применима [51]. Полиномиальная функция высокой степени способна описать практически любые данные (теоремы Вейерштрасса об описании любого процесса полиномами). В методе группового учёта аргументов (МГУА, аналог искусственных нейронных сетей) полиномы являются базовой функцией. Однако интерпретация коэффициентов регрессии при этом затруднительна. В горном деле и геологии также возникает необходимость описать довольно сложный процесс или явление. Например, математически описать динамику изменения высотной отметки почвы пласта для того, чтобы наиболее удобным образом далее представить это описание в геомеханических моделях. В описании таких задач может быть полезной «именно полиномиальная функция. Для математического описания сложных и неясных по физической сути явлений нередко ничего не остается, как попробовать начать это описание именно с полинома, причем высокой степени. Потом, возможно, удастся это уравнение (полином) упростить и, более того, даже выяснить физический смысл некоторых параметров. Однако подчеркнем, в большинстве случаев параметры полиномов не имеют физического смысла и в физически обоснованных моделях их использование возможно, но без раскрытия физической основы процесса и соответственно управления им» [51].
230