книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Одномерная математическая статистика и регрессионный анализ)

де, или измерения мощности сильвинитового пласта по подготовительной выработке через каждые 20 м.

Есть и другое, более строгое, определение – случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из значений х1, х2, …, хn с соответствующими вероятностями р1, р2, …, рn.

Непрерывной называется случайная величина, потенциальные значения которой равномерно распределены на всём интервале числовой оси [65]. Принято считать, что число значений непрерывной случайной величины всегда конечно. В ряде наблюдений за процессами могут фиксироваться дискретные случайные величины, количество «значений которых настолько велико, что их условно считают непрерывными» [25]. Например, содержание хлорида калия, определяемое прибором каждые 4 секунды на транспортерной ленте в течение суток. Другой пример – профиль, полученный станцией профилирования проводников вертикальных шахтных стволов – непрерывные случайные величины. А высотные отметки пикетов, полученные геометрическим нивелированием по головке рельса и расположенные через 20 м, – дискретная случайная величина.

Значения содержания компонента, определённого по бороздовым пробам, отобранным по стенке выработки, представляют дискретную случайную величину. Обычно всю совокупность дискретной случайной величины делят на группы и представляют в виде таблицы распределения вероятностей (табл. 2.1).

В таблице все значения от минимального до максимального разбиты на одинаковые интервалы (первый столбец табл. 2.1). Во втором столбце записывается частота появления проб в заданном интервале. В третьем столбце отображается частота накопленная (кумулятивная).

Четвёртый столбик отображает в процентах долю проб каждого интервала. Если в текущем году на площади отработки 2 ЮЗ (второй юго-западной) панели из 60 проб две попало в указанный интервал, четвёртый столбец в табл. 2.1 покажет вероят-

31

ность (в %) отнесения значения содержания KСl в этих пробах к указанному в первом столбце таблицы интервалу. Так, в первый интервал попадает всего две пробы из 60, следовательно, вероятность появления проб в этом интервале 100 % · (2 / 60) = 3,3 %. Вероятность выражается в долях единицы, но в литературе и в программных продуктах ещё используются и проценты.

Таблица 2.1

Распределение содержания KСl по 2 ЮЗ панели (выполнено в программе Statistica)

Для количественного сравнения степени возможности появления того или иного значения величины с каждым из них связывают определенное число. Чем более возможно событие, тем больше величина этого числа. Такое число и называют вероятностью появления значения. Вероятность события есть численная мера появления возможности этого события. События, которые происходят чаще, будут более вероятными. События, которые происходят реже, – менее вероятными. Маловероятными являются события, которые почти никогда не происходят. Следовательно, понятие вероятности события связано с опытным понятием частоты события.

По табл. 2.1 можно построить полигон или гистограмму распределения (рис. 2.1), а также другие графики. По гистограмме исследуют форму распределения переменной.

32

дискретной случайной величины X может быть записан в виде таблицы 2.1» [44] или в таблице другой формы, к примеру табл. 2.2, называемой рядом распределения дискретной случайной величины.

Таблица 2.2

Табличный способ задания дискретной случайной величины

Обычно в таблице данные размещают по мере их увеличения х1 < х2 < … < хn. И обязательно сумма вероятностей должна быть равна единице: р1 + р2 + … + рn = 1.

Графики, представленные на рис. 2.1, также характеризуют закон распределения случайной величины. Их ценность в том, что мы можем визуально увидеть форму графика, смещение центра распределения влево или вправо, вытянутость графика.

В математике принятой формой закона распределения, которую можно использовать «как для дискретной, так и непрерывной случайной величины, является его аналитическое описание в виде функции распределения» [25]:

где F (x) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем х. В ряде случаев F (x) называют функцией накопленной вероятности, её отображает график, называемый кумулятой (рис. 2.1, б).

Кумулята является графическим выражением функции распределения непрерывной случайной величины. Понять смысл функции распределения позволит следующий пример. При х = 20,27 согласно равенству F (20,27) = P (X < 20,27). Из табл. 2.1 следует, что неравенство X < 20,27 выполняется в двух случаях из 60. Следовательно, F (20,27) = P (X < 20,27) = р (X) =

34

= 2 / 60 = 0,033. В 4-м столбце табл. 2.1 вероятности приведены в процентах.

Аналогичное неравенство можно записать уже для второго интервала:

F (21,97) = P (20,27 < X < 21,97) = р (X) = 9 / 60 = 0,150.

Ввиду того, что исходы испытания в строках табл. 2.1 являются несовместными, можно записать как сумму двух интервалов:

P (21,97) = P (X < 21,97) = P (X < 20,27) + P (20,27 < X < 21,97) = = 0,033 + 0,150 = 0,183.

Общая вероятность P (Х < 30,44) = 1,00. В табл. 2.1 ей соответствует вероятность 100 %.

Таким образом, функция распределения задаёт вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений:

Функция распределения случайной величины обладает некоторыми важными особенностями:

1)она удовлетворяет неравенству 0 F (x) 1;

2)функция распределения является неубывающей функ-

цией, т.е. если x1 x2, то и F (x1) F (x2);

3) вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, лежащее в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.

P ( X ) = F ( ) – F ( ).

График функции распределения случайной величины представляет собой кривую, именуемую кумулятой. На этом графике (рис. 2.1) отображается степень нарастания функции. К недостаткам кумуляты относят невозможность наглядно представить, какие из своих значений непрерывная случайная величина принимает с большей вероятностью, а какие с меньшей.

35

Поэтому в совокупности с этой функцией распределения для непрерывных случайных величин используется еще одна форма описания закона распределения. Это функция плотности распределения случайной величины f (x), которая определяется как производная функции распределения F (x):

Графиком функции плотности распределения случайной величины является уже знакомая нам гистограмма. Плотность распределения f (x) характеризует вероятность попадания случайной величины в окрестность точки x. График плотности распределения f (x) называют кривой распределения [20].

Из графика 2.1 следует, что свои значения, лежащие в интервале (а = 23,66, b = 25,36), случайная величина принимает с большей вероятностью (Р = 31,67 %), чем какие-либо другие значения.

Плотность распределения случайной величины f (x) также имеет свои особенности [20; 65]:

1) плотность распределения некоторой случайной величины является неотрицательной функцией, поскольку несет смысл вероятности, т.е. f (x) 0;

2) вероятность того, что в результате проведения опыта непрерывная случайная величина примет значение, лежащее в интервале (а, b), равна определенному интегралу в пределах от а до b, от плотности распределения этой случайной величины, и равна площади криволинейной трапеции S1, т.е.:

P(a X b) b f (x)dx S1;

a

3) определенный интеграл в пределах от –∞ до b от плотности распределения случайной величины равен функции распределенияэтойвеличины,илиплощадикриволинейнойтрапецииS2:

36

F(a) b f (x)dx S2;

4)условие нормирования, т.е. определенный интеграл от

–∞ до + ∞ от плотности распределения случайной величины равен единице, или:

Функции распределения случайной величины или ее плотность распределения, установленные по фактическим данным, именуются эмпирическими.

Итак:

Функция вероятности – функция, у которой на входе значение Х, а на выходе вероятность события p (х), графически отображается гистограммой. Иногда её именуют как плотность вероятности.

Функция распределения – функция, у которой на входе значение X, а на выходе вероятность событий, меньших или равных X, графически отображается кумулятой.

2.5. Числовые характеристики случайной величины

В предыдущем разделе показано, что закон распределения, представленный функцией вероятности распределения или функцией плотности, даёт полное описание случайной величины. Вместе с тем для наблюдаемых данных чаще всего закон распределения будет неизвестен, и приходится ограничиваться числами, которые характеризуют всю случайную величину. Такие числа именуют числовыми характеристиками случайной величины. Ими являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

37

Из анализа гистограммы (см. рис. 2.1, а) понятно, что она имеет центр и боковые ветви, уходящие до нуля. Для нормального закона распределения вероятностей в центре гистограммы будет больше всего значений, в том числе и среднее. А разброс гистограммы (отклонение от среднего) отображает дисперсия.

С точки зрения теории вероятностей истинное среднее значение случайной величины должно быть получено только при бесконечном числе испытаний. На практике нет возможности провести весь объём испытаний, поэтому и истинное среднее определить нельзя. В этом случае определяется некоторая ожидаемая величина среднего значения, в теории вероятностей её называют математическим ожиданием.

Пусть имеется выборка случайной величины X (x1, x2, x3, …, xn) и для каждого значения, принимаемого случайной вели-

чиной X, известна его вероятность (p1, p2, p3, …, pn). Тогда ее математическое ожидание (для дискретной случайной величины) будет равно сумме произведений каждого значения на его вероятность (выраженной в долях единицы):

i 1

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины вычисляется как интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x):

M (X ) xf (x)dx. (2.6)

Дисперсия D (X) и среднее квадратическое отклонение σ (Х) – числовые характеристики случайной величины, которые отражают величину рассеивания, «разброс её возможных значений относительно математического ожидания. Для дискретной и непрерывной случайной величины, соответственно, дисперсия» [25] может быть вычислена из выражений:

38

где – математическое ожидание случайной величины в ста-

тистике.

Из выражений 2.7 видно, что дисперсия имеет размерность квадрата фиксируемой величины. В ряде случаев приходится сравнивать дисперсии сильно отличающихся по значениям переменных (разновеликих). Например, координаты проб будут иметь 4–6 целых цифр и содержание полезных компонентов, значение которых ограничено одной целой цифрой, сравнение будет некорректно. Поэтому «в качестве характеристики рассеивания удобнее использовать среднее квадратическое отклонение, совпадающее по размерности со случайной величиной» [25]:

Значительная часть используемых в статистических технологиях и приложениях модельных (теоретических) законов распределения (биномиальный, нормальный, показательный и др.) «могут быть однозначно восстановлены по одной-двум своим числовым характеристикам, чаще всего – по среднему значению и по дисперсии» [25].

2.6. Генеральная совокупность и выборка

Все наблюдения, входящие в статистическую совокупность, характеризуются единством места и времени исследования. Сплошное статистическое исследование (например, опробование всего промышленного пласта) образует генеральную совокупность. Общее число членов генеральной совокупности называют объемом генеральной совокупности.

Вместе с тем чрезмерное увеличение объема любой исходной информации ведет к увеличению «информационного шума»

39

(погрешностей), который подавляет искомую информацию. Это отражается на вариабельности (изменчивости, случайности) процессов и явлений. По охвату исследование может быть сплошное и несплошное (выборочное). Эта особенность определяет ход и методику статистического анализа.

Во многих случаях сплошное статистическое исследование провести просто невозможно. С одной стороны, это связано с большими размерами генеральной совокупности, или с высокой стоимостью проведения исследований, или отсутствием определенных границ этой совокупности. С другой стороны, если покроем пробами весь пласт, что останется разрабатывать? Обычно в статистическом анализе ограничиваются методом выборочного исследования из генеральной совокупности. Выборка образует совокупность наблюдений, полученных с целью объективного отображения информации о генеральной совокупности. Массив ее членов называют объемом выборочной совокупности.

Примером выборочной совокупности могут служить данные опробования, полученные в горной выработке, пройденной по одному из продуктивных пластов калийного рудника. В пройденной выработке длиной 1500 м были отобраны 30 проб, по которым сделан анализ содержания хлористого калия (KСl). При этом ориентировочные размеры всего отрабатываемого пласта составляют 14 6 км. Очевидно, что, пока весь пласт не отработан, мы не сможем получить генеральную совокупность.

На промежуточном этапе отработки пласта пробы в горной выработке представляют некоторую часть генеральной совокупности, её именуют выборочной совокупностью. В случае, когда среднее значение, дисперсию и другие статистические характеристики генеральной совокупности вычисляют по выборке, их так и именуют – выборочное среднее, выборочная дисперсия, и т.д. Поскольку выборка является частью генеральной совокупности, то статистики по ней определяются приближённо, или говорят, оцениваются. Поэтому часто используются термины «оценка среднего», «оценка дисперсии» и т.д.

40