книги / Прикладной статистический анализ в горном деле (Одномерная математическая статистика и регрессионный анализ)

тые зоны, между которыми находятся области сравнительно спокойного залегания.

Проектом на рудниках предусмотрена панельная и па- нельно-блоковая система подготовки запасов промышленных пластов, ширина панели достигает 400 м. При панельно-блоко- вой подготовке ширина панели увеличивается. На рудниках принята камерная система разработки с жесткими ленточными междукамерными целиками, предусматривающая комбайновый способ разработки промышленных пластов. Комбайны имеют ограничение по углу наклона выработки – до 12° у «Урал-20» и до 8° у «Урал-10». В связи с этим ограничением на участках с развитой складчатостью повышаются потери полезного ископаемого и увеличиваются объёмы разубоживания в рудной массе. На этапе планирования горных работ между подготовительными выработками отсутствует информация о гипсометрии пласта на всю ширину панели [3].

Изучаемые в ресурсных отраслях природные и техногенные процессы, геологические явления связаны со многими параметрами, их характеризующими. По этой причине наблюдаемые данные многомерны, а исследователь не всегда имеет возможность получить все значения параметров. Горные работы на любом объекте относятся к опасному производству. Например, на Верхнекамском месторождении калийных солей особую опасность представляют водоносные горизонты, лежащие на водозащитных отложениях (ВЗТ). Эти отложения на отдельных участках могут иметь аномальное строение – разрывы пластов, зафиксированы зоны флек- сурно-складчатых деформаций, наблюдаются и процессы выщелачивания. Все эти нарушения водозащитной толщи при её подработке грозят затоплением рудника и по этой причине состояние ВЗТ постоянно изучается. Но разбуривать скважинами с земной поверхности ВЗТ опасно, поэтому водозащитную толщу изучают геофизическими методами. А они не дают всей необходимой информации.

21

Чтобы избежать опасных проявлений горного массива проводится мониторинг состояния массива и его элементов. Фиксируется и вводится в базу данных информация о добываемой руде, о содержании полезного компонента и наличии включений пустой породы, о мощности пласта и междупластий. Для этих целей на Верхнекамских рудниках ведётся с определённой частотой отбор проб по стенкам горных выработок, отбор жидкостей в местах их скоплений, регистрируются и документируются внезапные выбросы газа. По выработкам измеряется мощность пласта, по отобранным пробам лаборатория определяет качество полезного компонента, химический состав жидкостей позволяет определить тип рассола и степень опасности. Проводятся и разнообразные работы, связанные с изучением массива, земной поверхности и различных объектов как на земной поверхности, так и в горных выработках. В процессе ведения горных разработок и инженерных исследований быстрыми темпами накапливается большое количество разнообразной информации. Одно из важнейших направлений развития горной промышленности состоит в широком внедрении компьютерных технологий сбора, хранения, обработки и исследования накопленной информации с целью изучения поведения массива и повышения эффективности горных разработок.

Последующая обработка накопленной информации уже на первом этапе требует предварительного анализа. И одним из самых плодотворных способов описания характера изменчивости геологических признаков (содержания полезного компонента, мощности пласта и др.) является выбор и применение соответствующего закона распределения. Он позволит определить вероятность того, что результат измерения какого-либо горногеологического параметра, выбранного случайным образом, будет иметь любое априори заданное значение или лежать в ка- ком-либо интервале значений. Изучаемые непрерывные параметры – содержание компонента, мощность пласта и другие – удовлетворительно описываются законом (кривой) нормального

22

распределения. Такое моделирование представляет собой, по существу, статистический метод исследования выборочных распределений. Когда некоторый случайный процесс удается полностью описать с помощью математической модели, то при вычислении математических ожиданий, дисперсий и вероятностей автоматически полностью учитывается вся область возможных изменений. В процессе предварительных исследований необходимо установить резко выделяющиеся значения (выбросы) и принять решение об их дальнейшем использовании, выдвинуть статистические гипотезы и уметь их подтвердить или опровергнуть, оценить параметры генеральной совокупности и доказать их статистическую состоятельность.

Например, по выемочному штреку одного из рудников ВКМКС сильвинитового участка пласта «В» отобраны пробы. По пробам от нулевого до пикета + 400 м содержание полезного компонента в сильвинитовой руде (KCl) уменьшалось с 36 до 25 %, а содержание полезного компонента в карналлитовой руде (MgCl2) в пробах повышалось с 2 до 12 %. Можно предположить, что ожидается замещение сильвинита в пласте карналлитом. На пикете 150 м (в сильвинитовой части пласта) в пробе наблюдается повышенное содержание MgCl2 – 19 %. Появление в сильвинитовой части пласта пробы с высоким содержанием карналлита (хлорида магния) свидетельствует либо об ошибке лаборатории, либо о наличии на небольшом участке выработки замещения сильвинита карналлитом. Но его можно трактовать как выброс (ошибка). Если содержание сильвинита по этой пробе не отличается от соседних проб, скорее всего это выброс.

Приведенный пример даёт обобщённую информацию о совокупности проб участка выработки. Но пробы, отобранные из определённого участка массива, имеют и пространственную привязку. Такие данные должны исследоваться с учётом их пространственного положения. Если повышенное содержание хлорида магния зафиксировано по многим выработкам и приурочено к одной вытянутой зоне, это признак появления границы за-

23

мещения сильвинита карналлитом. Геопространственные данные изучаются с учётом особенности их расположения на планах, картах и 3D-моделях.

Наличие пространственной составляющей в данных даёт хороший результат при статистических исследованиях, использующих меры близости или удалённости (дискриминации). Это кластерный и дискриминантный анализ, а по линиям (профилям, горным выработкам) – анализ временных рядов.

Применяя те или иные статистические технологии обработки, невозможно предвидеть характер изменения отдельного элемента выборки, можно только вычислить ожидаемую вероятность того, что он будет вести себя некоторым априори установленным образом. В большей степени в этих вопросах должны использоваться методы оценки погрешностей измерений, методы парной и множественной корреляции, методы сравнения, многофакторные, а также некоторые другие специальные методы. Если по пробам выработки установлена парная зависимость содержания сильвинита от карналлита, она поможет в оценке причин увеличенного содержания карналлита в пробе. В этом примере может использоваться и множественный регрессионный анализ.

В горной отрасли статистические методы позволяют оценить сложные, многокомпонентные системы и выявить основные факторы, влияющие на формирование рудных тел и пластов месторождений, горно-геологических условий разработки полезных ископаемых, оптимизировать технологию переработки минерального сырья, упорядочить качество полезного компонента в потоках руды на обогатительную фабрику и т.д. Вероятностные модели учитывают случайный характер реальных процессов, а в детерминированных моделях этими факторами пренебрегают.

К вероятностным можно отнести вероятностные и регрессионные модели, технологии статистического прогнозирования; методы теории принятия решений в условиях неопределенности

24

и др. К детерминированным относят модели линейные и нелинейные, матричные, математического программирования, динамического программирования и др.

Вместе с тем не следует забывать, что любая математическая модель представляет собой идеализированное, абстрактное построение, которое в лучшем случае лишь частично соответствует действительности. Чем сложнее рассматриваемое явление, тем труднее построить его точную количественную модель; частично это обусловлено самой природой некоторых процессов, затрудняющей их измерение, а частично тем, что слишком сложные математические модели чрезмерно громоздки и не имеют практической ценности.

25

2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1. Основные понятия и задачи теории вероятностей

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства в массовых наблюдениях и явлениях. Основными объектами изучения этой дисциплины являются случайные события, случайные величины и функции распределения [1; 60].

Все реально наблюдаемые объекты, процессы и измеренные параметры в природе, горном деле, нефтедобыче, геологии

имногих других областях исследований являются случайными по своей природе. Геодезические и маркшейдерские измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, имеют погрешности. Геологические зарисовки для отображения на графике, замеры для расчёта объёмов разубоживания, химический анализ проб и другие измерения также сопровождаются погрешностями. Процедура производства таких измерений и конечный итог зависят от многих составных частей, часть из которых сложно или невозможно учесть и проконтролировать. Если инженермаркшейдер или геодезист проводит измерения в соответствии с установленными правилами и допусками, погрешности всех наблюдаемых данных будут иметь характерный для случайных величин разброс значений. Поэтому корректный учёт случайных явлений и их отклонений требует привлечения методов теории вероятностей и математической статистики. Примером использования такого анализа может служить материал учебника для студентов маркшейдерской специальности по теории ошибок

испособу наименьших квадратов [47].

Сточки зрения математической науки, теория вероятностей направлена на разработку общих теоретико-вероятностных

26

моделей, которые описывают свойства некоторого абстрактного (неконкретного) явления или объекта случайного характера. Объектом моделирования выступают не только отклонения от некоторой средней величины, но и некоторая тенденция поведения самой величины (тренд), обнаруженная в ходе анализа большого объёма наблюдений [27].

Изучение природы погрешностей измерений натолкнуло К.Ф.Гаусса на исследование закона распределения, которому бы они подчинялись. В настоящее время он широко известен и именуется нормальным законом распределения. Полученная врезультате этих исследований теоретическая модель оказалась пригодной для описания закономерностей поведения большого класса фактических наблюдаемых случайных величин (погрешности угловых измерений теодолитом, использования в качестве критерия отбора грубыхнаблюденийn-сигмовогоинтервала и т.д.)[25].

Проведенные в последующем многочисленные теоретические исследования социальных явлений и природных образований, геологических, технологических и иных процессов привели к практическим результатам, из которых установлено: существует небольшой набор законов распределения (нормальное, равномерное, показательное и др.), их ещё именуют модельными. Они наиболее часто встречаются в практике реальных наблюдений в геологии, природе, технике, социологии и, конечно, в геодезии и маркшейдерии. Эти модели обладают ярко выраженным практическим смыслом. Позднее были разработаны и применяются в настоящее время признанные дополнительные «теоретические модели (распределения Фишера, Стьюдента, χ2-распреде- ление и ряд других). Они используются в качестве технических инструментов в статистических исследованиях (например, при проверке статистических гипотез). Модельные вероятностные пространства глубоко исследованы, их результаты в виде числовых характеристик оформлены стандартными таблицами, которые можно найти в приложениях» учебников по теории вероятности и математической статистике [1; 22; 25; 54].

27

Как уже отмечалось, в отличие от математической статистики и теории вероятностей прикладная статистика нацелена на изучение реального, а не какого-либо абстрактного объекта. Адресное изучение именно этого объекта – первичная задача горного инженера. Например, бороздовые пробы, отобранные по стенке выемочного штрека геологом, по которым определяется качество рудной массы из камер. По результатам отбора проб создаётся база информации в виде выборки, служащая основой для выявления статистически устойчивых закономерностей на проектном участке горных разработок [25]. Результаты отработки этой выборки закладываются в план горных работ предприятия и повлияют на экономику рудника. Поэтому основное предназначение прикладной математической статистики – обоснованный выбор среди множества вероятностных моделей той, которая наилучшим образом соответствует реальным статистическим данным – тем данным, которые специалист получит от обработки проб из горной выработки или из скважин, иными словами, на конкретном объекте исследования. При этом необходимо учитывать, что статистические выводы будут основаны на ограниченном, выборочном числе наблюдений. Если появится «возможность увеличить число наблюдений или дополнить их с приграничной территории, возможно, потребуется изменить и выводы. Поэтому для конкретизации заключения о закономерностях изучаемых данных математическая статистика использует аппарат теории вероятностей (например, интервальное оценивание, статистическую проверку гипотез и др.)» [25].

Таким образом, научный подход к исследованию природных образований, отдельных явлений и объектов горного производства предполагает комплексное использование теории (математической модели) и практики (статистических данных). При этом отбор, накопление в базах данных и систематизация статистических наблюдений производятся с целью обоснования и подтверждения моделей, а привлекаемые теоретические модели используются для описанияиобъяснениянаблюдаемыхпроцессов[25].

28

2.2. Испытание и событие

Испытанием в теории вероятностей именуется выполнение эксперимента, при котором наблюдается изучаемое явление. Предполагается, что данный эксперимент может быть выполнен сколь угодно большое количество раз. Результатом испытаний является событие, которое может наступить в результате проводимого испытания. Перечень возможных взаимоисключающих результатов (исходов) должен быть описан априори. Например, при подбрасывании монеты она может упасть на «орла» или «решку». Будем считать, что на ребро монета не может упасть. Если монета выпала на «орла», это случайное событие, совпадающее с одним из исходов. Конечно, если проводить большой объём испытаний с монетой, она может выпасть и на ребро. При проведении эксперимента требуется выполнение определённого условия – равной возможности всех исходов. Возможность монетки выпасть при подбрасывании на «орла» или «решку» во много раз выше, чем на ребро. А если по условиям эксперимента выбрать только «орёл» и «решка», эти исходы становятся равновозможными.

Достоверным называется событие, которое в данном испытании всегда наступает, его обозначают буквой . Пример такого события – монета выпала на «орла» или «решку». Невозможным называется событие, которое в данном испытании никогда не наступает, его обозначают знаком . Примером такого события является выпадение монеты на ребро, если мы принимаем это условие эксперимента.

Случайным называется событие, которое в данном испытании может наступить, а может не наступить [20]. Например, выброс газа в выработку при её проходке в опасной зоне по газодинамическим проявлениям. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в данном ис-

29

пытании. В противном случае события будут совместными. Примеры несовместных событий: появление герба и цифры при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле. А вот при двух выстрелах попадание и промах уже являются совместными событиями.

Множество событий «образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно наступит хотя бы одно из них. Вместе с тем, если события образуют полную группу и несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий» [38].

2.3. Случайная величина и её представление

Ранее показано, что теоретической основой математической статистики является теория вероятностей, основанная на случайных событиях и их вероятностях, случайных величинах, их распределении и числовых характеристиках.

Случайной величиной называют величину, которая в результате наблюдения принимает то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств [1; 25]. Её роль впервые была аргументирована П.Л. Чебышевым, который обосновал и предложил общепринятую в настоящее время точку зрения на это понятие (1867 г.). Примеры случайных величин: содержание полезного компонента в пробах на участке горных работ по промышленному пласту рудника, погрешности геодезических и маркшейдерских измерений, отклонения фактической мощности пласта от проектного значения и др.

В разных областях исследований используются как дискретные, так и непрерывные случайные величины. Дискретной называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество (конечное или бесконечное) [20]. Например, величины погрешностей при измерениях горизонтальных углов, полученные из полуприёмов в теодолитном хо-

30