книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1

ды

и(х, у) = J— dbc + ф(у) = - J(4sin 2х ch2у - l)dx + ф(у) =

дх

=2 cos 2* ch2у + х +ср(у).

Дифференцирование этого равенства по .у с учётом выражения

ди

для — дает ф'(у) = 0 ? т.е. ср(у) = С = const Итак, и{х,у)~ ду

= 2cos2xch2у + х +С и согласно (*)

функция в С имеет вид

/(z ) = 2cos2z + z.

В заключение этого пункта дадим основные сведения об ана­ литическом продолжении отображения, представленные в рабо­ тах [3,4].

Определение. Пусть выполнены следующие условия:

1)функция / (z) определена на множестве Е с С ;

2)функция Ф(г) аналитическая в области D с С ;

3)O(z) = /(z ) при z e E .

Тогда функцию Ф(г) называют аналитическим продолже­

нием функции / ( z ) ( с множества Е в область D). Важнейшим

свойством аналитического продолжения функции является его единственность при простом дополнительном условии.

Теорема. Если множество Е имеет предельную точку а, принадлежащую области D, то аналитическое продолжение Ф(г) функции /(z ) с множества Е в область D единственно.

Допустим, что функция f(z) определена на Е, имеет два аналитических продолжения Ф,(г) и 0 2(z) в области D. Так как в силу определения 0,(z) = Ф2(г), z e Е и по условию теоремы точка а е D является предельной для множества Е, то согласно теореме о единственности аналитической функции 0 ,(z )s = Ф2(г) в области D.

Замечание. Если Е является кривой, лежащей в области D, или подобластью области D, то существует не более одного ана­ литического продолжения функции с Е в область D.

Более подробные свойства аналитического продолжения можно найти, например, в работах [1,4].

2.19.Геометрический смысл аргумента

имодуля производной

Предположим, что © = f(z) аналитическая в точке z0

функция и f'(z 0)^ 0. Для установления геометрического смыс­ ла аргумента производной рассмотрим на плоскости (Z) кривую у , заданную уравнением z(t) = x{t) + iy(t) , t e T = [a, b], которая

проходит через точку z0. Это означает, что z(t0) = z0 для неко­ торого значения f „6T Будем считать, что функция аналитична во всех точках кривой у

Предположим, что z'(tQ = x'(t0) + iy'(t0) Ф0. Следовательно,

x'(t0) и У(г0) одновременно не равны нулю, а потому в точке z0

(рис. 2.26).

В силу сделанных предположений со'(/0) 0, а это означает, что

к кривой Г в точке оо0 можно провести касательную. Поскольку аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргу­ ментов сомножителей, то согласно (2.135)

Отсюда делаем вывод для производной: её аргумент равен углу a , на который нужно повернуть касательную в точке z0 к кри­ вой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление

у, и у2, имеющие касательные в этой точке, причём угол между этими касательными равен ц> Тогда при отображении <о = /(z)

эти кривые переходят соответственно в кривые у, и у2 в плос­ кости (со), имеющие касательные в точке со0 = f ( z Q . Так как

при этом отображении касательную к каждой из кривых у, и у.

следует повернуть на один и тот же угол а у чтобы получить на­ правление касательной к у, и у2, то угол между касательными в точке со0 к кривым у, и у2 также будет равен ц/ (рис. 2.27).

Угол между касательными к кривым в точке пересечения кривых называют углом между кривыми. Таким образом, угол между кривыми у, и у2 в точке z0 их пересечения такой же, как и между их образами при отображении сD = / ( Z) - кривыми у, и у2 в точке со0 пересечения этих кривых. Дадим теперь оп­

ределение.

Определение. Отображение со = /(z ) называют конформ­

ным в точке z0, если оно сохраняет углы между кривыми.

Таким образом, в соответствии с данным определением отображение, осуществляемое аналитической функцией, являет­ ся конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от нуля. Например, линейное отображение сo=az +b , ( а * 0 ) является конформным во всех точках ком­ плексной плоскости, поскольку со'(z) = а * 0, z е С .

Функция / (z) = z2 имеет производную /'(z) = 2z , которая обращается в нуль в точке z0 = 0. Докажем, что отображение

Выясним теперь геометрический смысл модуля произ­ водной, используя возможность перестановки знака предела и непрерывной функции, описанную в работе [13], и запишем

Поскольку — р является отношением расстоянии между точка-

м

ние показывает, во сколько раз при отображении со = /(z ) из­

меняется расстояние между двумя точками плоскости (Z) в ок­ рестности точки z0. Поэтому модуль |/'(z0]| производной назы­ вают коэффициентом растяжения в точке z0 при отображении со = / ( z ) .

Если |/'(z0]j> l, то в достаточно малой окрестности точки z0 при отображении со = /(z ) осуществляется растяжение в ок-

d /' = д/(бы)2 +(dv)2 = |d ш | = |/'(z)d z| = |/'(z)| • |d z\, тогда, оконча­

2.20. Основные понятия и свойства интеграла функции комплексного переменного

Пусть на плоскости (Z) да­ на кусочно-гладкая кривая АВ (А и В - начальные и конечные точки кривой соответственно). Предположим, что в каждой точке этой кривой определена функция / (z ) . Разобьём кри­

считаем, что точка А совпадает