книги / Прогноз осадок сооружений с учётом совместной работы основания, фундамента и надземных конструкций
..pdf[ K ] = \ [ B ] T [D][B]dV |
(2.7) |
V |
|
rne[D] - матрица упругих свойств; {R} - глобальный вектор нагрузки.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений (2.6)
предложено несколько методов. Среди них выделяют итерационные и прямые
методы. Нами был выбран вариант прямого метода исключения Гаусса
фронтальный метод. Впервые идею этого метода выдвинул В. М. Irons [62].
Суть фронтального метода заключается в том, что одновременно
составляются уравнения и исключаются переменные. Матрица жесткости всей
системы [К] не формируется, так как модифицированные коэффициенты
каждого исключаемого уравнения записываются и хранятся во внешней памяти
машины (на винчестере или виртуальном диске у персонального компьютера).
При компоновке уравнений и исключении неизвестных элементы
рассматриваются по очереди. В процессе решения создается некоторый фронт,
проходящий через систему узлов [46]. Фронтальный метод существенно
экономит оперативную память компьютера при использовании элементов
высокого порядка при решении пространственных задач.
Что касается решения нелинейных задач, то равенство (2.6) в общем
случаи не будет удовлетворяться на каждой стадии вычисления:
y/ = [ K ] { U } - { R } * Q . |
(2.8) |
(2. 10)
Матрица упругих свойств [D] для трехмерного случая дается в виде
|
|
(1-V) |
V |
V |
0 |
0 |
|
|
|
V |
a - V) |
V |
0 |
0 |
|
|
Е |
V |
V |
а - у ) |
0 |
0 |
|
[D] = |
0 |
0 |
0 |
l - 2 v |
0 |
||
(\ + v ) ( \ - 2 v ) |
2 |
||||||
|
|
|
|
\ - 2 v |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0
0
0
0
0 1to
2
(2. 11)
Вектор перемещений для пространственной задачи { U}
{V) = {U„Uy,V ;}T |
( . ) |
|
2 12 |
Элементарный объем
плоской деформации записываются следующим образом:
{a } = {a x,Gy,rxy}T |
(2.14) |
{е} = {ех,еу,уху} т |
(2.15) |
{U} = {Ux,Uy)T |
(2.16) |
Матрица упругих свойств [О] представляется в виде
|
( 1 - v ) |
|
О |
|
|
Е |
О - у ) |
о |
(2.17) |
[£>] = |
v |
|||
(1 + к)(1 - 2к) |
1-2 у |
|
||
|
О |
О |
|
|
2
В отличие от деформации ег= 0 напряжения |
а,*0 (не равны нулю) и |
щениваются как |
|
<rz =v(<jx + ay) |
(2.18) |
Элементарный объем dV дается в виде
dV = dxdy |
(2.19) |
r, Zj о соответственно (О - круговая координата), - это напряжение сдвига в
плоскости rz. Матрица упругих свойств [D] дается в виде
|
а-у) |
V |
0 |
0 |
|
|
[D ] = |
V |
а-у) |
У |
0 |
(2.23) |
|
0 |
У |
(1-У) |
0 |
|||
(l +v )( l- 2 v ) |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
1-2у |
|
|
|
|
|
Элементарный объем представляется как |
|
dV = Ijtrdrdz. |
(2.24) |
Представленные соотношения теории упругости в матричной
формулировке будут использованы в последующих разделах.
2.3.Тип конечного элемента
ВМКЭ для дискретизации областей могут использоваться различные типы
Цементов [24]. Рассмотрим лишь тот тип, который наиболее часто используется
Ри решении задач геомеханики и, на наш взгляд, наиболее оптимален. Это
Зопараметрические квадратичные элементы из семейства Serendipity, для
Носких задач 8-узловые четырехугольники с криволинейными сторонами, для
^остранственных 20-узловые призмы с изогнутыми сторонами. Использование
Цементов второго порядка дает наибольший эффект при решении нелинейных
u = ± N tUt, Л = |
(2.25) |
e = Z B tU„ Se =XB,SU, |
(2.26) |
К n - количество узлов в структуре. В выражении (2.26) матрица деформации В,
ля случая плоской деформации представляется как
|
Щ |
Г |
|
0 |
|
дх |
|
||
|
|
|
|
|
В1'1= |
О |
( B N ; |
||
1 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
8N, у*; |
rdN,' ( е ) |
||
|
\дУ |
J) |
с дх . |
|
В случае осевой симметрии |
|
|
|
|
' 8N, \(е) |
0 |
|
||
с |
дг |
|
|
|
|
|
|
||
'8N, \(е) |
0 |
|
||
|
дг ) |
|
|
|
в 'е>= |
( щ |
( е ) |
||
|
О |
|
||
|
1 |
dz . |
|
|
|
|
|
||
щ \(е) ( м ; |
(е) |
|||
|
||||
|
dz У |
U |
r . |
|
(2.27)
(2.28)
Рассмотрим изопараметрические элементы, в которых для описания
преобразования координат и для аппроксимации искомой функции
(перемещений) используется один и тот же набор функций формы [24].
Для плоских 8-узловых элементов с криволинейными сторонами функции
формы записываются так:
для угловых узлов
для узлов посередине стороны
Функции формы Nj равны единице в одном определенном узле и
обращаются в ноль во всех других узлах. Сумма всех восьми функций формы в
любой точке элемента с координатами г) равна единице.
Координаты х и у внутри изопараметрического элемента можно
представить следующим образом:
(2.31)