книги / Механика композитных материалов. 1980, т. 16, 6
.pdfтрансверсально-изотропного |
Табл. 3 |
|
6l1= £>2022 ^2СЗЗ +.^2022^+ СгСГзз^ + |
||||||||||||||
|
+ ! (2с2— Сб) O22O33+ СбОгз2+ ^гсггг3+ |
||||||||||||||||
в плоскости 2, 3 |
|
|
+ ^2СГзз3+ |
(3^2 “ |
|
^14) O22O332+ (3^2 — |
|||||||||||
Параметры материала |
|
|
|||||||||||||||
|
— d14) O33O222+ С?140220232 + ^14^33Cf232i |
||||||||||||||||
|
|
|
|
e22= 2£>io22+ (2&1 — 63) 033+ ЗС1О222+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ С*10зз2 + 2с*10220зз + |
С5О232 + |
4C?ICT223 + |
|||||||||||
|
|
|
|
+ |
^*10зз3+ 2(Qdi~ 2d6+ d7) 0220зз2+ |
||||||||||||
\ Си ^2i ^5> &U |
\ 6-1, С2, С5, |
|
+ 3d*i0330222+ 2C?0O22O232 + d*2(ТззСГ232, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(211 |
||||
) Ь2, е2, Ьз, вз |
/ b\, do, b2, Ьз |
633 = (2£>1 — 63) O22+ 261O33+ C*I0222+ |
|||||||||||||||
с6 |
|
Св |
|
+ ЗС1О332 + 2 с*10220зз + C5O232 + d*\G223+ |
|||||||||||||
10 |
|
|
|||||||||||||||
8 |
|
+ 4di 0333 + |
2>d*1022O332 + |
2 (6di — 2c?e + |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ d-j) 033O222+ d*2O22O232+ |
2 с£60 зз02з2; |
||||||||||||
|
|
|
|
623 = |
£>3023 + |
C5O22O23 + |
C5O33O23 + |
2 ^ 70233 + i |
|||||||||
Ь\, еи Ь2, е2, Ь3, е3 |
b\, do, Ь2, Ьз |
+ dQ&23G222+ ^бОгзОзз2 + ^*2^22033023^ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
612 = |
613 = |
0, |
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
4 |
|
где |
c*i = 3ci— с5; |
|
d*i = 4d\ — d6; |
d*2= |
|||||||||
|
|
|
|
= 2 (ds~d7). В отличие от общего слу |
|||||||||||||
|
|
|
Табл. 4 |
чая для напряженного состояния оц, |
|||||||||||||
ортотропного материала, |
|
O22, 012 (см. табл. 2), здесь вместо 30 |
|||||||||||||||
в плоскости 1, 2 |
|
|
параметров материала — только 12. |
||||||||||||||
|
|
|
|
Так же, как в случае изотропного |
|||||||||||||
|
Параметры |
материала |
|
материала, |
выражения |
деформаций |
|||||||||||
|
|
|
|
для |
остальных |
вариантов |
(9) — (11) |
||||||||||
|
|
|
|
можно |
получить |
|
из |
зависимостей |
|||||||||
|
|
|
|
(18) — (2 1), |
произведя |
следующие |
за |
||||||||||
|
|
|
|
мены: для варианта Б в (18) следует |
|||||||||||||
|
|
|
|
поставить |
Cg = dis= die = 0] |
для |
вари |
||||||||||
l C l, c2, Сз> |
|
\C l, C2, Сз, |
|
анта В в |
(18) — (21) |
— Cg — d\5 = d\Q = 0 |
|||||||||||
|
|
и d\ = e{2, d2= 2eie2, dz = e22+ 2е{еА; d4= |
|||||||||||||||
) b\, в[, b2, e2, Ьз, вз |
) b\, do, b2, Ьз |
||||||||||||||||
\ Ci, C lo, C n , |
X CA>ClO, CM , |
= 2^264, |
£/5 = 26165, |
|
ds = |
2^163, |
dj = |
632, |
|||||||||
/ bit e4, bs, es |
) b 4, b5 |
|
ds= 2^364, |
£/9= 26365, |
d\o = e42, £/11 = 26465, |
||||||||||||
c7>c i3. C i7 , |
b7, e7 |
c 7, C is, C i7 , |
b7 |
d\2 = e^, |
6/13 = 26265, <3/14= 2ег^з; для |
Г в |
|||||||||||
c6 |
|
C6 |
|
(18) — (2 1) — c9= dl5 = d\6 = 0, d\= dt)b\2, |
|||||||||||||
|
|
|
|
d.2 = 2d9bФ2, |
б/з= £/о (£>22-12/>I/>4) , |
|
d4 = |
||||||||||
|
|
|
|
= 2G?O^>2^?4, |
ds= 2dobibs, |
ds= 2dQbibs, |
£/7= |
||||||||||
22 |
17 |
|
= £/o/>32, |
d&= 2d9b$b |
£/g = 2£/o&3&5, |
d\Q = |
|||||||||||
|
= dob42, |
d\\ = 2d9bjj^, |
d\2 = d-ob^2, |
d\$= |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= 2£/O/>2/>5, dn = 2d0b2b3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Из табл. 2 видно, что для разных |
|||||||||||||
|
|
|
|
зариантов записи |
нелинейности |
общее |
|||||||||||
bi, в\, b2, e2, Ьз, вз |
bi, do, b2, Ьз |
число |
независимых |
|
коэффициентов |
||||||||||||
b4, e4, Ьз, e$ |
b4, h |
|
трансверсально-изотропного материала |
||||||||||||||
b7, e7 |
|
b7 |
|
меняется от 6 до 30. С увеличением |
|||||||||||||
|
|
|
|
числа параметров |
усложняются |
типы |
|||||||||||
|
|
|
|
проводимых экспериментов. |
|
|
|
||||||||||
12 |
7 |
|
Следует отметить, что при нагруже |
||||||||||||||
|
нии в плоскости изотропии 2, 3 вари |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
анты А и Б совпадают. |
|
|
|
|
|
||||||||
Ортотропный материал. В общем случае |
(8) упругий потенциал со |
||||||||||||||||
держит |
9 + 20 + 42 = 71 |
независимую |
характеристику |
|
материала |
[4]. |
|||||||||||
В этом случае симметрии имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
W\= 6iOn2+ />20’цО'22+ />30,Ц(733 + £>4СГ222+ £?5СГ22<733 + ^6<7332+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
+ ^7<Tl22+ £>8^132+ £>9(7232; |
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
\^2 = С 10 113+ С г а ц 2СГ22 + |
C3CJ112СГзз + |
С4СГ110222 + С5СГ11азз2 +СбСТ11СГ22СГ3З+ J |
|
+ С7СГ11СГ122 Н- Cs(Ji 1(J132+ |
CQGI 1 агз2 + |
С10СГ223+ 1 |
О2220 зз + С12СГ22О332 + |
+!Cl3CF22tfl22 + Ci4Cr22Cri32 + |
Ci5(T22(7232 + |
Cl6Cr333+ C i7(T 33ffl22 + C l 8 a 33tfl32 + |
|
+ С19СГзз(7232+С2оСГ12СГ1за2з1 |
/ |
U^3= d\G\I4+ d2G\13022+ d3Oi13СГзз + d^G\I2CT222+ ^01 12СГ332+ d3G\I2Q22CT33+ + djG\l2ai22 + dsGil2ai32 + ^oCTil20232 + dioGutf223 + d\1011СГ333+ <^12^11СГ22СГ332+
+^13(УЦ033(7222 + ^14^11^220122+ ^15<711<7220г132+ С?16<7ц022<72324- ^17^11<733^122~Ь
+^18CTl1СТ33СГ132+ d\$G\1СГзз<Т232 + d2QGl1012043<?23 + ^21 &22*+ d22G2^GzZ"Ь
+d23G222G332+ ^240222CTl22+ ^25CT222CJl32 + d2QG222G23Z+ d27G22Gz32+
+^280’220’ззСГ122+^гэсгггсгззст^2 + ^зо022(7ззсг2з2 4” ^3i^22^i20'i3^23+ ^згОзз4 +
+^330’332(^122+ d34G332GX32+ ^350332<7232"Ь ^36^33<7l20’l3<723 + ^37<?124+
+^38CTl22CFi32 + ^39CTl220232 + ^40О”134 + С^С^З^гЗ2 + ^42<*234,
w 2B= w 2, w 3B= w 3- |
|
W3B = [Wi (ej) ] 2= (eian2 + e2(Jii(J22+ |
+ ^эсггз2) 2I |
W3r= do[Wl (bj) ] 2= d0(blGn2 + b2G11G22 + |
+Ь 9а2з2) 2; |
Экспериментальное определение численных значений 71 параметра материала мы считаем практически нереальным, поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев. Определим только те коэффициенты, которые необходимы для расчета деформаций, вызванных действием напряжений в одной плоскости, например an, G22 и ai2. Из (2) с учетом (22) для общего случая (8) имеем
6ц = lb\G\S \+ &2СГ22+ 3CiOiI2 + С4СГ222+ 2С2СГ11<J22+ C70122+ 4G?IOIl3 + dXoG223+
+ 2d4an 0222 + 3d2G22&ii2 + 2d7G11СГ122-\-d\4G22G122;
622= b2G\1+ 2b4G22+ С2Ц112+ 3Cio<T222+ 2^ 011022+ Ci3ai23+ d2G113+ 4с?21СГ223+
+ 3dioai iC7222 + 2<i4a220’ii2 + ^i40’ii0,i22+ 2^24стгго^г2! |
(23) |
|||
6зз = ^зСГц + ^ 50г22+ С з а ц 2+ СцСГ222 + |
С бС Г11< 72 2 + С 17а 12 2 + |
^зСГ113 + ^ 22СГ223 + |
|
|
+ d\2,G\\G222 + dsG22G\\2 + dtfG\\G\22 + d2z,G22G\22\ |
|
|||
£ l2 = bjGi2 + |
C -jG n G w ^ CisG22G\2 -\-2d27G\23 -)r d-iG[2Gn2 |
d 2±Gi2G222 -\- |
|
|
|
Jrd\±G\\G22G\2\ |
613 = 623 = 0. |
|
|
Видно, что в (23) |
в суммантах с напряжениями в первой степени оста |
|||
лось 6, при квадратичных — 10, при кубических — |
15 параметров |
ма |
териала. Виды экспериментов и их последовательность для определе ния параметров ортотропного материала представлены в табл. 4. При
рассмотрении вариантов |
(9) — (11) в зависимостях (23) |
необходимо |
|||||||
произвести |
следующие |
замены |
параметров: |
для |
варианта |
В — |
|||
= |
d2 = 2e{e2 d3 = 2exe3 |
d4 = e22 + 2ехе4\ d6 = 2(exe5 + e2e3); d7 |
= 2ele7; |
||||||
d>o = f |
2<?4; |
dX3 = 2(e2e5 + e3e4); |
dl4 = 2e2e7; du = 2e3e7- |
d2x= e 42- |
d22 |
= 2e4e3, |
|||
a24- i e 4e7\ d23 = 2e3e7\ d37 = e72; для |
варианта Г |
— dx= d3b?\ |
d2 = 2d0bxb2\ |
- 9 и ° и и з;и |
+ |
ае= М 0(ЬхЬ5 + Ь2Ь3); d7 = 2d0b\b7] dl0 = |
- 2 d 0b2d4\dX3 = 2dQ{b2b5 + b3b4)- |
dX4 = 2d0b2b7\dX7 = 2dQb3b7\d2l = d0b42\d22 = |
Табл. 5
Пример связи между компонентами тензора податливости и коэффициентами упругого потенциала
т• |
|
Материал |
|
|
aijhimп’ |
|
трансверсально |
|
|
aijhlmnор |
изотропный |
ортотропный |
||
изотропный |
||||
2^1212 |
2b2 |
h |
b7 |
|
40121112 |
2c2+ ЗС3 |
Cs |
c7 |
|
4 0 i22212 |
2с2 + Зс3 |
C4 + C9 |
Cl3 |
|
80i2121212 |
8d3 |
2d\2 |
2^37 |
|
6012111112 |
2d2+ 4 d3+ 3^4 |
dn |
7 |
|
2d2+4d3-j-3di |
d |
|||
60i2222212 |
ds+die |
d24 |
||
120I2I12212 |
4 d2+ 6c^4 |
dw+dis |
du |
= 2йъЬфь, d24=2dQbib7\ d2s= 2d0b5b7; d^7= dob72. Для ортотропного мате риала при нагружении в одной плоскости варианты А и Б одинаковы.
Общий случай (8) для ортотропного материала при плоском напря женном состоянии и п= 1 ,3 был проанализирован в [4], где в качестве констант материала использованы компоненты' тензора податливости. В отличие от работы [4] мы установили, что для определения необходи мых констант материала можно обойтись без испытаний на кручение (см. табл. 4).
Использование коэффициентов упругого потенциала bj, Cj, dj (или ej)
вкачестве параметров материала и применение зависимости (2) вместо
(1)имеют следующие преимущества: а) автоматически исчезают рав ные нулю слагаемые в уравнениях для е —а; б) легко обнаруживается
взаимосвязь между влияниями отдельных сочетаний напряжений; в) легко устанавливается число независимых параметров материала.
Установить связь в конкретном выражении для е — о между коэффи циентами потенциала и компонентами тензора податливости можно, если выписать это выражение из уравнения (1) и сопоставить соответствую щие слагаемые по напряжениям. Таким же методом устанавливается связь между отдельными компонентами тензора податливости. В ка честве примера приведем уравнение деформации сдвига при плоском на пряженном состоянии. Из (1) при ац=7^0, 022=7^0 и 012=7^0 имеем
012 = |
#1211 СП 1 + Д1222О22 + |
2^1212042 + fll21111СГ112 + 2aj21122O41G22 + Я1222220222 + |
|||
|
+ 4ai21112ffllffl2 + |
4ai22212ff22CTl2 + |
4ai21212CFl22+fll211111ltfil3+ |
||
+ |
'3 <2 i2111122^1120'22 + |
3 ^ 12112222^1lG222+ |
^122222220»223+ |
12^121112120'll0'l22+ |
|
+ |
6^121 11112G1 i2G i2 + |
12fli2221212^220'l22+6ai2222212<7222^12 + 8#i2121212C7l23 + |
|||
|
|
|
+ 12ai2112212ffll(J22ffl2- |
(24) |
Результаты сопоставления уравнения (24) с соответствующими выра жениями ei2 для разных материалов (13), (18) и (23) представлены в табл. 5. Не указанные в таблице компоненты тензора податливости равны нулю, так как в уравнениях (13), (18) и (23) нет соответствую щих им слагаемых. Кроме того, видно, что для изотропного материала
£2121 112 = #122212 И ^ 1 2 1 11112 = ^12222212- И з ПОДОбНОГО аНЭЛИЗЗ ПрОЧИХ В Ы р З Ж е-
ний деформаций можно установить остальные связи между компонен тами тензора податливости, которые можно найти в [4].
В заключение нам хотелось бы выразить надежду, что настоящая ра бота в какой-то мере поможет осознать те трудности, которые ожи дают нас при определении деформативных характеристик физически
нелинейных анизотропных материалов, и выбрать расчетную модель материала, соответствующую специфике решаемой задачи, для которой в конкретных условиях можно определить численные значения парамет ров материала.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М., 1955. 272 с.
2.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимерных
материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.
3.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., 1965. 455 с.
4.Лагздыньш А. Ж-, Тамуж В. П. Тензоры упругости высших порядков. — Меха ника полимеров, 1965, № 6, с. 40—48.
5.Колтунов М. А., Канович М. 3., Плешков Л. В., Рогинский С. Л., Натрусов В. И.
Квопросу выбора материала высокопрочных при всестороннем сжатии оболочек из ар мированных пластиков с радиальной ориентацией наполнителя. — Механика композит ных материалов, 1980, № 3, с. 456—462.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 19.03.80 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, Л® 6, с. 995—999
УДК 539.3:678.067
П.Г. Кржечковский
КОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ
КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ*
Задаче об определении макроскопических упругих постоянных ком позитных материалов, рассматриваемых как сплошные квазиоднородные и квазиизотропные среды, посвящена обширная литература, доста точно полный обзор которой дан в монографии [1]. Решение проблемы строится на модельном представлении композитной среды. Примени
тельно |
к гранулированным композитам можно выделить две модели |
[2] — |
концентрически-сферическую модель, на которой основано при |
менение вариационных методов определения границ эффективных мо дулей композитных материалов [3, 4], и самосогласованную модель, представляющую композит в виде шаровой частицы, помещенной в од нородную среду, обладающую эффективными свойствами композита [5]. В работе [6] перечисленные оценки были получены на основе ме тодов теории случайных функций.
Очевидно, что для средне- и высоконаполненных композитов оценки эффективных модулей должны содержать элементы как первой, так и второй модели. В данном сообщении делается попытка учесть для кон- центрически-сферической модели взаимодействие между включениями
врамках самосогласованного метода.
Вработе [3] для концентрически-сферической модели вариацион ным методом были получены выражения для эффективных упругих
модулей объемного сжатия и сдвига двухфазных матричных смесей:
К« |
GT |
( 1 ) |
G .=- |
1+ Gm—Gs |
|
1+ Кт Кз Оп |
So |
|
Кз ~"о° |
|
где a0, So — объемная и девиаторная составляющие тензора напряже ний на поверхности единичной ячейки 5°; an, s„ — объемная и девиа торная составляющие тензора напряжений на поверхности включения Sn’, v8 — относительное объемное содержание наполнителя; остальные обозначения, как в [3]. Тензоры а0 и ап связаны зависимостью
оп=Ао°, |
(2) |
где А — тензор концентрации напряжений на включении. В (2) и в дальнейшем принята безындексная форма записи тензорных соотноше ний, а под произведением тензоров подразумевается их свертка по внутренним индексам. Тогда, учитывая (2), формулы (1) могут быть представлены единой тензорной записью:
L* = LmLs{Ls+[L]A vs)-K |
(3) |
Здесь Lm, Ls — тензоры упругих постоянных матрицы и включения. Тензор А, следуя работе [7], представим в виде
А = аВ, |
(4) |
Доклад, представленный на IV Всесоюзную конференцию по механике полимер ных и композитных материалов (Рига, октябрь 1980 г.).
чески-сферической модели, равны, если величина тензора эффективных модулей композита совпадает со средним значением.
Применяя самосогласованную модель, находим связь между тензо рами оп и а0, заменив в формулах (4); и (8) а на а*,
ап=Л*а°- Л* = <x*{vmI +a^vs)~l.
Вообще говоря, при таком подходе тензоры а0 и а* совпадать не будут. В дальнейшем, приняв их равными и считая тем самым справедливой зависимость (9), заменим в формуле (10) тензор L* некоторым услов ным тензором упругих эффективных модулей L^]\ положив
L ^ = LJ, |
(12) |
где Т — корректирующий тензор, подлежащий определению, введением которого учтен тот факт, что массив, окружающий включение при зна чительном наполнении, не обладает ни свойствами матрицы, ни свой ствами композита в целом. Определим его исходя из следующих сооб ражений: как следует из формулы (12), составляющие тензора Т явля ются величинами безразмерными, и на основании условия совпадения Л и а* можно предположить их зависящими от отношения упругих ха рактеристик матрицы к усредненным эффективным модулям компо зита; объемная и девиаторная составляющие тензора L,, полученные при введении тензора Т, должны находиться внутри вилки Фойгта— Рейсса независимо от соотношений между упругими модулями матрицы и наполнителя. Этим требованиям удовлетворим, если примем, что
7’ = L m< L )-1; L#(1) = L*Lm<L>~1. |
(13) |
Подставив это выражение в формулу (10), находим условный коэф фициент концентрации напряжений на включении:
ссо = LS(Li* + L*Lm<L>_1) [L*Lm<L>-1 (Ls + £ u )]-1.
Тензор, связывающий crn и а0, примет вид: Л= <xo(vmI + va<xo)~l. Подста новка значения Л0 в формулу (3) вместо тензора Л приводит к сле дующему выражению для тензора эффективных упругих модулей двух фазного композита:
= |
4-Ls(Ly (T#~ЬvsZ.1#)] [■£>* |
L^Vs) -I- LsL>m |
(14)
Разложив входящие в равенство (14) тензоры на объемные и девиаторные составляющие и произведя операцию внутреннего умножения, на ходим выражения для модулей объемного сжатия и сдвига композита:!
« _ Я«Пт +£Лф + ад) |
/jgx Q _ <5»втп + £1»(ф1 + и3) |
/ jgv |
K*(l +(p^s) + £*Утф |
G* (1 +ф1^я) +£и^тф1 |
|
TReK, = KJKm\ G* = GJGm\ l = KJKm\ h = GJGm\ t* = UK>Km~l; |u = = Ei<G>Gm- 1; ф = ЗЯ*/4С*; ф! = (3 + 2ф)/(2 + Зф). Значения коэффици ента Пуассона и модуля Юнга композита определяются по известным зависимостям
3K .-2G . |
п |
9K*G, |
|
v* 6K.+2G. ' |
’ |
ЗЯ. + G, ' |
1 > |
Система уравнений (15) — (17) полностью определяет эффективные модули К* и G* для двухфазных матричных смесей, т. е. когда имеется граница раздела между матрицей и наполнителем. Для нематричных
гранулированных композитов при Km~>Ks и Gm^>Gs формулы (15) и (16) определяют верхние границы эффективных модулей. Нижние гра ницы в этом случае вычисляются по формулам
|
Я ^ + ^ ^ Ч ф + М |
. |
, |
G*Vs+ W |
l)(4>l+ Vm) |
|||
|
д * ^ Я * (1 + фМ + £ * (1)^ ф ’ |
1 } |
*^ С ,(1 + Ф 1 М .+ Е 1 .(1)«.Ф1 ’ 1 |
|||||
где |
& Я* |
«. m Ятг? |
< / 0 _ . |
|
<G>. |
|
||
Я*=-тг~; |
Е*(1)= -тг |
/с. |
* |
|
G7 |
Gs |
’ |
|
|
A s |
A s |
|
|||||
Как частный случай, если в правых частях формул |
(15), |
(16) и (18), |
||||||
(19) |
положить К* = 1, G* = 1, £*= £, |
£i* = £i, |*(1)= £-1, |
можно |
получить |
верхнюю и нижнюю оценки вилки Хашина— Штрикмана эффективных модулей двухфазных композитов.
Приведем доказательство, что при задании корректирующего тен
зора |
Т равенством (13) оценки, даваемые |
формулами (15), |
(16) и |
(18), |
(19), всегда удовлетворяют условиям [1]: |
|
|
|
RR^ R ^ K V , |
Gv . |
( 20) |
Здесь индексы R и V указывают на усреднение эффективных модулей по Рейссу и Фойгту соответственно.
Так как формулы (15), (16) и (18), (19) по своей структуре одина ковы, достаточно доказать выполнение условия (20) для оценки модуля объемного сжатия композита (15).
Принимая Я* за некоторую переменную, замечаем, что правая часть равенства (15) есть дробно-линейная функция F(R*), коэффициенты при Я* и постоянные слагаемые которой положительны. Тогда для
удовлетворения условию |
(20) необходимо выполнение двух неравенств: |
||||
AR =F(R r) —Яя^О; |
Av = F(Rv) — Я у^О . |
|
|||
После несложных вычислений получим: |
|
|
|
||
Д = _ , _______ А ф |
Д |
А [ 1 + Р а ( ф + |
Р в + | Р щ ) ] |
.gjv |
|
1 + ф (^S + £^m) |
[1 + ф |
(us + T]Um) ] (^s + i^ m ) |
|
||
где Dk= vsvm{ 1 —£)2 — |
дисперсия |
относительных |
объемных |
модулей |
|
упругости компонентов; |
r\= (|us + Wm) (Ws+ E^m). Неравенства |
(21) до |
|||
казывают выполнение условия (20) для |
оценки |
модуля объемного |
|||
сжатия композита. |
|
|
|
|
|
Для сравнения на рисунке приведены результаты численного опре деления границ эффективных модулей композита, компоненты которого
в некоторых произвольных единицах имеют следующие |
данныеэ |
Ят = |
|||||
|
= 10; Я5= 1; |
Gm = 4,62; |
Gs = |
||||
|
= 0,462. |
Кривые 1 |
и |
2 на |
|||
|
графиках |
|
|
соответствуют |
|||
|
вилке Фойгта— Рейсса, |
кри |
|||||
|
вые 3 и 4 — вилке Хашина— |
||||||
|
Штрикмана, кривые 5 и 6 — |
||||||
|
вилке для |
границы |
модуля |
||||
|
объемного |
сжатия |
компо |
||||
|
зита, определяемой |
по |
фор |
||||
|
мулам (15) и (18), а для |
||||||
|
модуля сдвига — по фор |
||||||
|
мулам (16) и (19). |
|
|
||||
Зависимости модулей объемного сжатия (а) и |
Как |
видно |
из приведен |
||||
сдвига (б) композита от содержания наполни |
ных графиков, |
границы для |
|||||
теля. |
эффективных |
|
модулей |
гра- |
нулированных композитов, полученные в данной работе, лежат не сколько выше границ, даваемых оценками Хашина—Штрикмана, и дают менее широкую вилку, чем последние. Кроме того, полученные оценки не зависят от соотношений между модулями упругости компо нентов, что следует из формул (21). В то же время для применения вариационного метода Хашина—Штрикмана необходимо выполнение неравенства (Кт—Ка) (Gm — Gs) > 0 .
Для альтернативного случая, когда компонент, обладающий наи большей жесткостью относительно объемных деформаций, имеет низ кую, прочность относительно сдвиговых деформаций, границы эффектив ных модулей были определены в [9]. Для сравнения рассмотрим при мер альтернативного случая, приведенный в монографии [1]. Вычислим границы для композита, компоненты которого в произвольных едини цах равны: Кт= 1/2, /Cs =10; Gm= 5/2; Ga = 2 при vs = vm- Согласно фор
мулам работы |
[9] имеем: |
2,2 3 4^ G*=^2,235; 2,40^К *^2,62. Оценки, |
полученные в |
настоящей |
работе: 2 , 2 3 8 2 , 2 3 9 ; 1,75=^;/(*=^3,73. |
Взаключение отметим, что для модуля объемного сжатия формула
(15)была ранее получена в работе автора [10] и распространена на случай многокомпонентных матричных сред типа сферопластиков для
вычисления прочностных характеристик.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., 1977. 400 с.
2.Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. — В кн.: Композиционные мате
риалы. Т. 2. М., |
1978. с. 61— 101. |
неоднородных материалов. — |
Прикл. механика. |
|
3. Хашин |
3. Упругие модули |
|||
Сер. Е (США), |
1961, № 1, с. 159— 167. |
approach to the theory of the elastic |
||
4. Hashirt |
Z., Shtrikman S. A |
variational |
||
behavior of multiphase materials. — |
Mech. Phys. |
Solids, 1963, vol. 11, |
N 3, p. 127— 140. |
5.Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials. — Mech. Phys. Solids, 1965, vol. 13, N 5, p. 213.
6.Савин Г. H., Хорошун Л. П. К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов. — В кн.: Механика сплошной среды и родственные проб
лемы анализа. М., 1972, с. 437—444.
7. Левин В. 'М. О концентрации напряжений на включениях в композитных ма териалах. — Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, вып. 4, с. 735—743.
8. Eshelby J. D. The determination of the elastic field |
of |
an |
ellipsoidal inclusion |
and related problems. — Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1957, vol. |
241, |
p. |
376—396. |
9.Walpole L. J. On bounds for the overall elastic moduli of ingomogeneous systems. — Mech. Phys. Solids, 1966, vol. 14, N 1, p. 151— 158.
10.Кржечковский П. Г Об определении упругих и прочностных характеристик
композитов на основе полых сферических включений. — Проблемы прочности, 1979, № 3, с. 37—40.
Николаевский кораблестроительный институт |
Поступило в редакцию 05.02.80 |
им. адмирала С. О. Макарова |
|