РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЯМИ*

Упругие свойства анизотропного материала характеризуются шестью независимыми величинами {2]: £>ц, £>22 — жесткости изгиба вокруг осей у, х; £>66 — жесткость кручения для осей х, у, £>16, £>26 — побочные жест­ кости; £>12/£>2'2= М'ь £W bn = p2 — приведенные коэффициенты Пуассона. Как и в [1], жесткость и плотность исследуемой системы запишем:

Dij=Dij0k (х, у) (/;/= !, 2, 6); у=у0к(х,у),

к

где Цх,у) = \ - ^ [То{х-хХ1) - \ \ ( х - х 2^[ То {у - у ц ) - Т о{ у - у 2{ ) ] -

2=1

ханике композитов армированные волокнами жесткостные характерис­ тики материала £>ij0 являются величинами, зависящими от жесткостных характеристик волокна и матрицы, а также от их относительных объем­ ных содержаний [3].

Уравнение движения анизотропной пластинки с переменными пара­ метрами жесткости и плотности с введением безразмерных параметров w = w/h\ х=х/сг, у = у/Ь\ ф= а/й принимает вид

Функцию, аппроксимирующую свободные поперечные колебания плас­ тинки, представим в виде

w = wxsin соt,

где W\ — форма колебаний рассматриваемой системы; со — основная круговая частота собственных колебаний.

Решение задачи находим по методу Бубнова. При этом функция, опи­ сывающая форму колебаний, выбирается так, чтобы выполнялись необ-

О= jt/4; ф = 1; £ 2/£ I = 0,75; G /£i = 0,49; |iti = 0,12; Si = const). График, пред­ ставленный на рис. 3, характеризует изменение частотного параметра

(со/со*)2 шарнирно опертой и жестко защемленной с четырех сторон плас­ тинки соответственно. Кривые 3, 4 характеризуют соответственно шар­ нирно опертую с двух противоположных сторон, с двух других жестко защемленную и шарнирно опертую с двух параллельных сторон плас­ тинку, одна сторона которой защемлена и одна свободна.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Преображенский И. Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отвер­ стиями. М., 1981. 191 с.

2.Лехницкий С. Г Анизотропные пластинки. 2-е изд. М., 1957. 463 с.

3.Болотин В. В., Новичков И. Н. Механика многослойных конструкций. М., 1980. 375 с.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 5, с. 815—821

УДК 624.074.001:678.067

В. Ю. Сирюс, Г А. Тетере

РАЦИОНАЛЬНОЕ АРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОРТОТРОПНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Цилиндрические оболочки из композитов, находясь под длительным действием осевого сжатия или внешнего давления, могут со временем разрушиться или потерять устойчивость. В оболочке из композитов, из­ готовленной намоткой, при нагружении усилием, значение которого ле­ жит между длительным и мгновенным критическими значениями (кри­ тическое значение нагрузки оболочки сильно зависит от величины и характера начальных неправильностей [1]), происходит потеря устойчи­ вости оболочки хлопком через некоторое время после нагружения [2]. Это время можно принять за критическое, определение которого явля­ ется главной задачей исследования устойчивости оболочки при ползу­ чести. Для определения критического времени можно применять и дру­ гие критерии, которые обсуждаются в [3].

Главной особенностью армированных пластиков является анизотро­ пия их деформационных свойств, низкая сдвиговая жесткость как в плоскости слоев армирующей ткани, так и между слоями. Вследствие этого нормаль элемента в процессе изгиба искривляется и для описания потери устойчивости необходимо применять уточненные теории и рас­ сматривать потерю устойчивости как процесс нарастания прогибов. Уточ­ ненные теории позволяют также рационально использовать пространст­ венные схемы армирования [4], устраняющие недостатки слоистых струк­ тур.

1. Рассматривается ортотропная цилиндрическая оболочка длины L, радиуса R и толщины h, изготовленная из М элементарных слоев ли­ нейно-армированного пластика, уложенных по толщине оболочки рав­ номерно и симметрично относительно срединной поверхности и под уг­ лами ±р& (k= 1 ,2 ,..., N) к образующей оболочки. Матрица жесткости элементарного слоя АаpV6(/l) при заданных упругих характеристиках (£а> va) для арматуры и вязкоупругих характеристиках (Ес, vc, Ес°°, vc°°) для связующего и известном объемном коэффициенте армирования р, определяется по формулам теории армирования [5]. Характеристики про­ странственных схем армирования и вязкоупругость учитываются со­ гласно [6, 7]. Для исследования устойчивости оболочек с вязкоупругим связующим учитывается деформация поперечных сдвигов (кинематиче­ ская модель типа Тимошенко) и принимается, что ползучесть развивается не только в плоскостях, перпендикулярных срединной поверхности, но и в плоскостяхармирования иподчиняетсязакону линейнойнаследствен­

где t — время, под интегралом обозначенное через 0. Согласно принятой модели деформирования оболочки геометрические связи между дефор­ мациями эквидистантной и срединной поверхностей могут быть пред­ ставлены следующими выражениями [5]:

где ei — деформация эквидистантной поверхности; е* — деформация срединной поверхности; ух, уу — углы поворота нормального волокна в плоскостях xz и yz.

Рассмотрим выпучивание во времени круговой цилиндрической обо­ лочки, сжатой вдоль образующей постоянной силой Nx (рис. 1.). Допус­ тим, что оболочка имеет начальную неправильность формы, характери­ зуемую прогибом Wo(x,y), и вследствие ползучести материала выпучива­ ется по неосесимметричной форме. Поскольку движение при ползучести материала достаточно медленное, силами инерции пренебрегаем. В та­ ком случае уравнения равновесия дифференциального элемента обо­

Здесь w — прогиб, вызванный действием нагрузки. Граничным условиям шарнирного опирания оболочки в каждый момент времени удовлетво­ рим, представив неизвестные функции u(x,y,t), v(x,y,t), w(x,y,t), yx(x,y,t) и yy(x,y,t) следующим образом:

зование вдоль образующей; 2т — число волн вдоль образующей; п — число волн по окружности. Принимая, что форма начального волнооб­ разования находится в «резонансе» с формой ее волнообразования после нагружения сжимающей силы NXj для функции начального прогиба w0(x, у) имеем выражение вида (3), в котором x3(t) заменен на /°; по­ следнее интерпретируется как безразмерная амплитуда начального несо­ вершенства оболочки. Выражения для внутренних усилий с учетом (1) находятся обычным образом и после подстановки их в (2) и интегриро­ вания полученной системы методом Бубнова—Галеркина имеем систему, состоящую из пяти линейных интегральных уравнений относительно не­ известных параметров Xi{t) аппроксимации:

Ax(t)=B$ K(t-e)x(@)dQ + C.

о

Далее, используя методику, предложенную в [3], при экспоненциаль­ ных ядрах получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений:

Здесь А, В — постоянные симметричные матрицы, элементы кото­

рых содержат мгновенные и длительные параметры материала соответ­ ственно: х(т)т = {*i (т), *2 (т), (т), *4 (т), *5 (т)} — вектор неизвестных параметров аппроксимаций. Матрица С считается заданной и зависит от

величины начального прогиба. Точка означает дифференцирование по безразмерному параметру времени т=//г, г — время релаксации напря­

жений. Представим матрицы Л, В и С:

Элементы матрицы А выражаются через постоянные деформационных

свойств материала и геометрические параметры оболочки следующим образом:

#11 — А \ 1 а 2 + Л 12^2; #12 == (Л 12 + Л бб) СС#; #13= — Л 12ОС; # 2 2 = Л 2 2 # 2 "ЬЛббО&2|

Чтобы получить элементы матрицы В, достаточно заменить в элемен­

тах матрицы Л мгновенные параметры материала длительными. Мат-

' £^2

рица С содержит всего один ненулевой элемент C3=^-Nxf°.

2. Система (4) численно интегрировалась по методу Рунге—Кутта четвертого порядка. В данной работе рассматривается несколько воз­ можных структур армирования композита и их сочетания [4]: S\ — про­ странственно-хаотическое армирование; S2 — армирование вдоль про­ странственных диагоналей куба; S3 — плоское армирование под углом

2R

Рис. I. Схема нагружения и система координат армированной цилиндрической оболочки с начальными прогибами при осевом сжатии.

Рис. 2. График изменения прогибов во времени оболочки с оптимальной структурой армирования в зависимости от модели учета ползучести материала. Л^с = 40 000 (а) и 25 000 кгс/см (б). Остальные пояснения — в тексте.

0° к образующей оболочки в плоскости ху\ S4 — плоское армирование под углом ±45° к образующей оболочки в плоскости ху\ S5 — плоское армирование под углом 90° к образующей оболочки в плоскости ху.

Известно [4], что применение пространственной схемы армирования не только повышает устойчивость, но в ряде случаев существенно увели­ чивает прочность материала на поперечный сдвиг и межслойный отрыв, что предотвращает преждевременное расслоение материала конструкции.

Были приняты следующие упругие параметры исходных материалов:

характеристики вязкоупругости связующего [7]: а = —0,5; Яс = 0,2 сут-0*5; рс = 0,05 сут-0’5, то технические характеристики связующего при /->оо примут следующие численные значения: Ес°° = 0,7* 104 кгс/см2; Vc°° = 0,46.

Представим численные результаты решения системы (4) для цилинд­ рической оболочки с размерами i?= 45 см, L = 100 см, h = 2 см. Для ре­ шения системы (4) нам необходимо знать начальные условия, т. е. реше­

После решения системы (5) для определенного уровня нагрузки полу­ чаем начальные значения неизвестных X i ( x ) (i= 1 ,...,5 ). Для определе­ ния критических нагрузок для идеальных оболочек использовались усло­ вия нетривиальное™ решения системы (4). В расчетах принимается, что оболочка во времени стремится выпучиваться по форме, при которой происходит упругая потеря устойчивости.

Пусть на цилиндрическую оболочку с оптимальной структурой арми­ рования для идеальной упругой оболочки при осевом сжатии [8] и амп­ литудой начального прогиба /°= 0,125 действует сжимающая сила Nx= = 25 000 кгс/см. На рис. 2 представлены графики изменения амплитуды во времени в зависимости от принятой модели учета ползучести мате­ риала. Кривая 1 — общий случай согласно (1); кривая 2 — неучет пол­ зучести в плоскости армирования; кривая 3 — учитывается ползучесть только от напряжений а4, as; кривая 4 — классическая теория. NKр°, Л^1Ф°° — соответственно мгновенное и длительное критические усилия. Если Nx<.Njф°° (см. рис. 2—б), то неучет ползучести в плоскости арми­ рования уменьшает значения амплитуды прогиба f(x)=x^(x) при т-^оо примерно на 18%. Классическая теория в этом случае неприменима [5]. Если за критическое время принять время, при котором /(т)->оо (см. рис. 2—а), то неучет ползучести в плоскости армирования увеличивает

критическое время примерно на 27%. Аналогичные кривые были построены и при других схемах армирования, в том числе и пространственных.

На рис. 3 представлены графики изменения амплитуды прогиба во вре­ мени в зависимости от структуры ар­ мирования. В этом случае сжимающая сила N*= 5000 кгс/см, амплитуда на­ чального прогиба /° = 0,1. Как видно из рис. 3, если композит имеет простран-

Рис. 3. График изменения прогиба оболочки во времени в зависимости от структуры армирова­

ственно-хаотическое армирование или плоское перекрестное армирова­ ние под углом ±45°, то прогиб при тех же размерах оболочки во времени затухает; при других схемах армирования прогибы растут с увеличиваю­ щейся скоростью.

На рис. 4 даны графики изменения амплитуды прогиба оболочки с пространственно-хаотической схемой армирования и амплитудой началь­ ного прогиба /°= 0,075 во времени в зависимости от уровня нагрузки k = NJN1(p°. Из рисунка видно, что если нагрузка Nx<.Njф°°, то прогибы стабилизируются во времени (кривые 1—4). При нагрузках, больших длительной критической NKp°, но меньших мгновенной критической #кр°. прогибы растут с увеличивающейся скоростью (кривые 5—7). Если Nx= =NKp°, то сразу после приложения нагрузки оболочка теряет устойчи­ вость. В данном примере длительная критическая нагрузка на 13% ниже мгновенной.

На рис. 5 представлены графики изменения амплитуды прогиба обо­ лочки с плоской структурой армирования под углом ±45° к образующей оболочки во времени в зависимости от значения амплитуды начального прогиба /°. На оболочку действует сжимающая сила N*= 7000 кгс/см. Если за критическое время т* принять время, при котором прогибы до­ стигают вперед заданного значения /*, то из рис. 5 видно, что на вели­ чину критического времени значительно влияет амплитуда начальных неправильностей. Поэтому при теоретической оценке критического вре­ мени необходим возможно более точный их учет.

3. Влияние начальных несовершенств формы на устойчивость вязкоупругих оболочек из композитных материалов может быть «нейтрали­ зовано» увеличением толщины оболочки, изменением структуры мате­ риала и другими способами. Но в большинстве случаев это ведет к увеличению массы оболочки. Поэтому естественно встает задача мини­ мизации массы такой оболочки.

Здесь G(u) =2л^Д цра+ (1 —р,)рс] ‘А — масса оболочки; ра, рс — плот­ ности материала арматуры и связующего; D — множество допустимых

Рис. 4. График изменения прогибов оболочки с пространственно-хаотической схемой ар­ мирования во времени в зависимости от уровня нагрузки, /г = 0,55 (У); 0,66 (2); 0,77 (5); 0,80 (4)\ 0,87 (5); 0,88 (6); 0,94 (7).

Рис. 5. График изменения прогибов оболочки с плоской структурой армирования под углом ±45° во времени в зависимости от величины амплитуды начального прогиба.

/о=0,025 (/); 0,05 (2); 0,075 (3); 0,1 (4); 0,125 (5); 0,15 (6); 0,2 (7); 0,3 (8).

реализаций проекта оболочки; <р(ц)^0 — совокупность геометрических ограничений, представленная в данной задаче неравенством h —Лтш^О;

=тэ; /* — заданное значение прогиба; тэ — время эксплуатации системы. Волновые параметры выпучивания л и т принимают значения из строго определенных множеств N, М\ леЛ?= {0,2,3,..., л}, т ^ М = { 1 ,2,3,...,

...,т } .

Сформулированная задача оптимизации (6) является задачей нели­ нейного программирования с линейной функцией цели, с линейными геометрическими структурными ограничениями и нелинейными ограни­ чениями на устойчивость и принадлежит к классу задач выпуклого про­ граммирования [8]. Для решения данной задачи использовался алго­ ритм [9].

4. Задача (6) была численно реализована при осевом сжимающем усилии Л/*=25 000 кгс/см, амплитуде начального прогиба /° = 0,125 и пре­ дельном значении амплитуды прогиба /*= 0,5. Технические константы ис­ ходных материалов и геометрия оболочки были приведены ранее (кроме коэффициентов плотности ра=2,6 г/см3, рс= 1,2 г/см3).

Рассматривалась трехслойная оболочка (N = 3) с углами армирова­ ния Pi = 0°, р2=±45°, р3 = 90°. В этом случае вектор оптимизируемых па­ раметров равен и={Л, 0 1, 02, ©з}, где ©,, 0 2, ©з — относительное коли­ чество слоев, арматура в которых расположена под углами соответст­ венно рь р2, р3.

В таблице показаны зависимости параметров оптимального проекта оболочки от времени эксплуатации тэ. Если время эксплуатации тэ=0, то

—f(n,m,Nx)'^0. Если время эксплуатации конструкции увеличивается, то увеличивается и доля арматуры, расположенной под углом 90°, а под углом 0° уменьшается. Легко видеть, что увеличение времени эксплуа­ тации приводит к росту массы оптимальной конструкции.

Задача оптимизации (6) решена также с использованием пространст­ венных схем армирования. Пространственная схема армирования созда­

УДК 624.074.001:678.067

А. Е. Богданович, Э. Г Фелдмане

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ И АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВЫХ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

В большом числе работ, посвященных экспериментальному исследо­ ванию поведения металлических, полимерных и стеклопластиковых замкнутых круговых цилиндрических оболочек под действием осесим­ метричных продольных ударных нагрузок (например [1—7]), было ус­ тановлено, что потеря несущей способности обычно происходит вслед­ ствие интенсивного развития неосесимметричных деформаций, обуслов­ ленных наличием начальных геометрических несовершенств формы оболочки. Расчеты неосесимметричного динамического выпучивания [2, 3, 8—12] до недавнего времени проводились только вариационными методами. Решения строились на основе нелинейных уравнений сред­ него изгиба типа Доннелла. Оболочка рассматривалась как система с конечным числом степеней свободы (от одной до четырех в различ­ ных работах).

Использование вариационных методов неизбежно приводит к необ­ ходимости пренебрежения процессом распространения возмущений от ударяемого торца вдоль оболочки, а также краевым эффектом, выра­ жающимся в интенсивном развитии в окрестностях торцов нескольких поясов осесимметричных вмятин и выпучин. Как показано в [13], крае­ вой эффект наиболее ярко проявляется при условиях шарнирного опирания, которые предполагались во всех перечисленных выше работах.

Первая попытка разработать методику расчета, в которой совместно учитывались бы процессы распространения возмущений вдоль обо­ лочки, осесимметричного и неосесимметричного выпучивания, была предпринята в работе [14]. В решении использовались метод Буб­ нова—Галеркина по окружной координате, метод конечных разностей по продольной координате и численное интегрирование системы нели­ нейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Из результатов, приведенных в [14], следует, что в течение определенного промежутка времени после момента приложения нагрузки наряду с распространением возмущений в срединной поверхности развивается лишь осесимметричная форма выпучивания, которая по достижении нагрузкой достаточно большой величины постепенно трансформируется

внеосесимметричную ромбовидную форму. Однако представленные в

[14]результаты не дают информации о влиянии условий закрепления торцов оболочки, вида начальных неосесимметричных несовершенств и скорости нагружения на процесс перехода от осесимметричного выпу­ чивания к неосесимметричному.

Внастоящей статье поставлены следующие цели: развить методику, изложенную в [14], применительно к расчету напряженно-деформиро­ ванного состояния слоистых ортотропных цилиндрических оболочек; ис­ следовать основные особенности процесса перехода от осесимметричной

стадии выпучивания к неосесимметричной; обосновать применимость методики [15] решения пеосесимметричной задачи динамического вы­ пучивания методом Бубнова—Галеркина; показать возможность обра­ зования первых ^локальных дефектов в оболочках из слоистых компо­ зитов на каждой из наблюдаемых стадий их деформирования.

1. Методика решения. Рассмотрим ортотропную круговую цилин­ дрическую оболочку длиной L, толщиной А, радиусом срединной по-

верхности R. Уравнения движения с учетом квадратичных по прогибу членов имеют вид

где x, у — продольная и окружная координаты; и, v — осевое и ок­ ружное перемещения; w° — начальный прогиб; \х — масса единицы

В аппроксимации прогиба по окружной координате ограничимся одной гармоникой ряда Фурье с тем же номером п:

влечь известное уравнение совместности деформаций, принимающее с

где величины AVl вычисляются через Сц по известным формулам [16]. Представив согласно виду правой части (12) функцию Ф в форме Ф(*. У, 0 = ф1(х, t) cos Pf/+cp2(x, t) cos2py, получаем уравнения

Неосесимметричные составляющие усилий принимают вид

Л^жн= - р 2ф1cos Pi/—4р2ср2 cos 2pt/; Nvn= - ^ - c o s py+ -^ -co s2 p t/; dx2

(14)

' = p ( ^ ! sinP!/ + 2 ^ s i n 2 Pi, ) .

Наконец, подстановка в (3) выражений (5) —(8), (14) и применение процедуры Бубнова—Галеркина по координате у приводят еще к двум уравнениям:

с неоднородными граничными условиями на торцах (16). Неосесимметричиая деформация описывается уравнением

очевидным решением которого при любых вариантах осесимметричного закрепления торцов и начальных условиях (23) является

фх(лг, t) = 0 ; Wi{x,t)=w^{x).

Следовательно, информация об осесимметричном нагружении торцов оболочки поступает к неосесимметричным формам деформирования лишь посредством группы нелинейных членов

d2wо I дх2 J ’

входящих в уравнение (15). Ясно, что при численном интегрировании задачи необходимо особенно тщательно контролировать точность их вычисления. Даже небольшие погрешности в определении усилия Nx°, например, могут сильно исказить результаты расчета процесса неосе­ симметричного деформирования оболочки.

Численное решение поставленной смешанной краевой задачи будем проводить по продольной схеме метода прямых. Более детально раз­ личные аспекты применения ее к рассматриваемому классу задач опи­ саны в работах [13, 14]. Здесь отметим лишь, что при N внутренних узлах разностной сетки по координате х исходная смешанная краевая задача для системы уравнений в частных производных сводится к ин­ тегрированию по времени системы 6N нелинейных обыкновенных диф­ ференциальных уравнений первого порядка и к решению в каждый момент времени двух систем N линейных алгебраических уравнений. К этим двум задачам будем применять соответственно метод Рунге— Кутта и метод пятидиагональной прогонки.

2. Анализ численных результатов. В качестве примера рассмотрим оболочку из однонаправленного углепластика, с ориентацией армирую­ щих волокон вдоль образующей, при следующих геометрических и ме­

метричную составляющую начального прогиба w0° будем считать равной нулю. Зависимость неосесимметричной составляющей от коорди­ наты х зададим посредством ряда Фурье

Для проведения расчетов по методике, описанной в п. 1, необходимо предварительно вычислить функцию ^ I°(JC), просуммировав ряд (24) с коэффициентами (25).

Осевое сжимающее усилие на торцах будем считать линейно воз­

растающим во времени. Введя безразмерное время т= где с=

= УСц/ц — скорость распространения продольной волны сжатия в обо­

Рассмотрим результаты численного итерирования уравнений (11),

последовательных моментов времени. Как видно, при линейно возрас­ тающей во времени нагрузке параллельно протекают два процесса — образование кольцевых складок в краевой зоне и развитие нескольких поясов ромбовидных вмятин и выпучин в средней части оболочки. Ин­ тенсивное осесимметричное выпучивание в непосредственной окрестно­ сти торцов объясняется, как было показано в [13], ограничением их подвижности в радиальном направлении. Основным фактором, управ­ ляющим местоположением зоны интенсивного неосесимметричного вы­ пучивания, служит неосесимметричная составляющая начального прогиба.

На рис. 1 штриховой линией показаны зависимости W\(x), получен­ ные согласно разработанной в [15] методике решения неосесимметрич­ ных задач динамического выпучивания цилиндрических оболочек. Она включает в себя использование процедуры Бубнова—Галеркина по обеим пространственным координатам. Для применимости этой мето­ дики требуется однородность по координате х осесимметричного напря­ женного состояния в той части оболочки, где происходит интенсивное неосесимметричное выпучивание. Нарушение однородности возможно по двум причинам. Во-первых, вследствие конечности скорости распро­

странения вдоль оболочки возмущений, вызван­ ных приложенными на торцах нагрузками. Во- w0/h, w,/h вторых, вследствие моментности осесиммет­ ричного напряженного состояния в окрестности торцов. Роль первого эффекта, очевидно, возра­ стает с увеличением скорости нагружения и дли­ ны оболочки. Второй эффект может оказаться существенным при таких видах начальных несо­ вершенств, которые приводят к интенсивному неосесимметричному выпучиванию в краевой

зоне.

В рассматриваемом конкретном случае осе­ симметричное усилие Nx° в средней части обо­ лочки весьма близко при т^г 1,2 к заданной на тор­ цах величине — Р(т). Этим и можно объяснить

Рис. 1. Процесс развития во времени осесимметричной (/) и неосесимметричной (2) составляющих прогиба. Штриховые линии — решение неосесимметричной задачи ва­ риационным методом [15].

Рис. 2. Иллюстрация сходимости вычислительной схемы; N — число узлов разностной сетки. * = 0,36L (/); 0.42L (2)\ 0,48L (3); 0,54L (4)\ 0,66L (5). Точки соответствуют значениям неосесимметрнчного прогиба при решении вариационным методом [15].

Рис. 3. Зависимости w{(x) в момент т = 1,7 при граничных условиях (20), (21), (22) — кривые /, 2, 3 соответственно.

столь хорошее совпадение результатов, полученных при использовании двух совершенно различных методик решения. Что касается незначи­ тельных расхождений в величинах прогиба на характерных пиках зави­ симости w1(л:), то наиболее вероятным объяснением их может служить накопление погрешностей в процессе многократного численного решения систем нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Как видно из рис. 2, результаты расчета по обеим методикам сближа­ ются при уменьшении шага по координате. Другой причиной расхожде­ ний может быть неучет в вариационном решении кольцевого осесиммет­ ричного усилия Ny°.

Влияние условий закрепления торцов на неосесимметричную состав­ ляющую прогиба проиллюстрировано на рис. 3. Как видим, замена граничного условия (20) на (21) или (22) приводит к существенному изменению картины выпучивания в весьма протяженных зонах, приле­ гающих к торцам. Можно ожидать поэтому, что в тех случаях, когда происходит интенсивное неосесимметричное выпучивание в окрестно­ стях торцов, условия закрепления будут существенно влиять не только на максимальные значения осесимметричных [13], но также и на мак­ симальные значения неосесимметричных составляющих прогиба и на­ пряжений.

Как уже отмечалось выше, местоположение области наиболее ин­ тенсивного неосесимметричного выпучивания определяется в основном функцией W\°(x). На рис. 4 для сравнения с предыдущими приведены результаты расчетов при параболической зависимости неосесимметрич­ ной составляющей начального прогиба от осевой координаты:

изображенной на рис. 4 штриховой линией. В случае (26) вариаци­ онное решение при условиях шарнирного опирания приводит к интен­ сивному неосесимметричному выпучиванию в окрестностях обоих тор­ цов. Как видно из рис. 4, такой же характер зависимости W\(x) получа­ ется и при численном решении с условиями свободного торца (22). Отметим, что осесимметричный краевой эффект при этом практически отсутствует. В то же время из численного решения при условиях (20)

получаем интенсивно развивающийся в краевой зоне осесимметричный про­ гиб и практически не развивающийся на всей длине оболочки неосесиммет-

Рис. 4. Зависимости неосесимметричион (вверху) и осесимметричной (внизу) составляю­ щих прогиба в момент т=2,3 при граничных условиях (20) и (22) — кривые 1 и 2 со­ ответственно.

Рис. 7. Зависимости от координаты х величины тен­

Численные расчеты проведены для рассмотренной в п. 2 углепласти­ ковой оболочки, армированной в осевом направлении, при начальных несовершенствах (24), (25) и краевых условиях (20). Значения харак­ терных прочностей однонаправленного углепластикового слоя принима­ ются такими же, как в [13].

На рис. 6—а приведены зависимости функции F (27) от координаты х на внутренней и внешней поверхностях оболочки. Результаты от­ носятся к сечению у = 0. Видно, что для внутренней поверхности опасными являются как зоны неосесимметричного, так и зоны осесим­ метричного выпучивания. На внешней поверхности F достигает значи­ тельно больших значений в центральной части оболочки, чем у торцов. Отметим, что для внешней поверхности величина F на первой от торца осесимметричной выпучине заметно меньше, чем на следующей за ней осесимметричной вмятине. Объясняется это тем, что возникающее на внешней поверхности каждой кольцевой выпучины растягивающее на­ пряжение ахх уменьшает передаваемое от торцов безмоментное напря­ жение, в то время как возникающее на внешней поверхности каждой кольцевой вмятины сжимающее напряжение охх увеличивает его. Наи­ большей величины осевое сжимающее напряжение достигает на внут­ ренней поверхности первой от торца кольцевой выпучины, чем и объяс­ няется наличие в этом месте оболочки максимума функции F.

На рис. 6—б приведены зависимости F(x)> рассчитанные при вели­ чине амплитуды начальных несовершенств а0 = 0,02/г. Как видно, умень­ шение а0 на порядок не повлияло на значения F(х) в краевых зонах, тогда как в средней части оболочки максимальные значения F (х) в тот же момент времени т=1,7 резко снизились. В результате очаги разру­ шения переместились к торцам, и момент первого разрушения слоя т* незначительно увеличился. Результаты расчетов показали также, что при замене краевых условий (20) на (22) пики напряжений в окрест­ ностях торцов сглаживаются, и первые очаги разрушения при а0 = = 0,02h возникают в момент т* = 2,0 в средней части оболочки.

Влияние скорости нагружения на зависимость F(x) при граничных условиях (20) и начальных несовершенствах (24) с а0 = 0,2Л показано на рис. 7. Как видно, с ростом V характерные максимумы у обоих торцов и в центральной части оболочки становятся все менее выражен­ ными. При 1/= 40Р* зависимость F(x) практически не отличается от получаемой при расчете по безмомснтной теории. Вследствие этого при высоких скоростях нагружения разрушение начинается одновременно в обширных областях как вдоль поверхности оболочки, так и по тол­ щине.

12. Проценко О. П. Об устойчивости цилиндрической оболочки с начальной погибыо под действием апериодических сил осевого сжатия. — Прикл. механика, 1965,

т.1, № 3, с. 27—34.

13.Богданович А. Е., Фелдмане Э. Г. Осесимметричное деформирование и проч­

ность слоистых цилиндрических оболочек при осевом ударе. — Механика композит, материалов, 1982, № 4, с. 653—662.

14. Баженов В. Г., Игоничева Е. В. Динамическая потеря устойчивости и закритическое поведение тонкой цилиндрической оболочки с начальными несовершенст­ вами под действием осевой ударной нагрузки. — Прикл. проблемы прочности и пластичности, 1977, № 6, с. 98—106.

15.Богданович А. Е., Фелдмане Э. Г. Расчет несущей способности композитных цилиндрических оболочек при динамическом нагружении. — Механика композит, мате­ риалов, 1980, № 3, с. 476—484.

16.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.

17.Малмейстер А. К- Геометрия теорий прочности. — Механика полимеров, 1966,

№4, с. 519—534.