книги / Моделирование влияния вибраций на обледенение конструкции на базе малогабаритной климатической трубы и высокопроизводительного вычислительного комплекса ПНИПУ

жающее статическое давление газа, г – динамическая вязкость газа, Rг 287,053763КДж/кг – газовая постоянная воздуха.

Динамическая вязкость газа определяется эмпирически по формуле Сазерленда:

г Tг 3/2 T 110 ,

T Tг 110

где Tг – статическая температура газа, T 288K и1,79 10 7 Па с – контрольные значения статической тем-

пературы и динамической вязкости воздуха.

Уравнение сохранения энергии определяется следующим соотношением (2.3):

31

Газодинамическая математическая модель представлена девятью уравнениями с девятью неизвестными.

Для проведения численного моделирования была выбрана модель турбулентности Спаларта – Аллмараса [28–30], являющаяся моделью с одним дополнительным уравнением переноса турбулентной вязкости. Эта модель менее чувствительна к численным ошибкам по сравнению с моделями турбулентности k и k в случае, когда в пристеночной области величина градиента размеров ячеек меняется не плавно при низком коэффициенте сглаженности элементов, что возможно при динамическом перестроении сеточной модели при образовании ледяных наростов сложной невыпуклой формы.

Турбулентная вихревая вязкость определяется соотноше-

нием (2.4):

y – расстояние до ближайшей поверхности.

32

где , а – ламинарная кинематическая вязкость.

Функция fw представлена в виде:

где g r cw2 r6 r , r k2d 2 Re S f 2 .

Модель турбулентности Спаларта – Аллмараса замыкается следующими константами:

На следующем, «жидкостном» этапе моделирования обледенения для определения концентрации капель в потоке и описания улавливания их профилем крыла газодинамическая математическая модель дополнена уравнениями непрерывности и импульса капель в эйлеровой постановке [45]:

где – среднее значение объемной доли воды.

33

Первое слагаемое в правой части уравнения импульса представляет собой сопротивление, действующее на капли, которое включает в себя:

где к – плотность капли, dк – диаметр капли, Vк – вектор скорости капли, Vг, – невозмущенная скорость газа (на расстоянии в бесконечность);

где L – характерная длина образца.

Второе слагаемое в правой части уравнения импульса представляет собой силы плавучести и силы тяжести и обратно пропорционально локальному числу Фруда:

Fr VLgг, ,

где g – вектор гравитации.

На этапе моделирования ледяных наростов (см. рис. 8) скорость водной пленки Vп является функцией координат

x x1,x2 на поверхности и y координаты нормали к поверхности. Задача упрощается путем введения линейного профиля для скорости пленки Vп x,y , нормальной к стенке конструкции, с нулевой скоростью на стенке (2.6):

34

где г – напряжение сдвига воздуха, которое является основной

движущей силой для водной пленки. Это гипотеза подтверждена толщиной водной пленки, редко превышающей 10 мкм при экспериментальном моделировании обледенения.

Осредняя скорость пленки по толщине пленки, можно получить среднюю скорость пленки (2.7):

Непосредственно для моделирования ледяных наростов решается система из двух уравнений в частных производных для каждой твердой поверхности.

Первое уравнение определяет сохранение массы (2.8):

где три члена в правой части определяют массоперенос за счет падения капли воды (источник для тонкой водной пленки), испарение и массу льда соответственно.

Второе уравнение в частных производных определяет сохранение энергии (2.9):

где первые три члена в правой части моделируют передачу тепла, создаваемую падающими переохлажденными каплями воды,

35

путем испарения и аккрецией льда. Последний член выражает конвективный тепловой поток.

Lиспарения – удельная теплота испарения воды;

Lплавления – удельная теплота плавления льда; cв – удельная теплоемкость воды;

cльда – удельная теплоемкость льда;

f – водность потока (абсолютная влажность); kк – шероховатость;

– коэффициент молекулярной теплопроводности;

г – локальное напряжение сдвига на стенке;

wall

и Vк – локальные значения улавливания капель и скорости ударакапель соответственно(полученына«жидкостном»этапе);

mиспарения – локальная масса испарения (получена из конвективного теплового потока, использована параметрическая модель).

В итоге получаем систему из двух уравнений с тремя неизвестными, где hп – толщина пленки;

Tп – равновесная температура на границе раздела «воздух / вода / лед / профиль крыла»;

mльда – локальная масса льда.

Для закрытия системы уравнений необходима система отношений совместимости. Ниже представлен один из способов их записи (2.10), основанный на физических наблюдениях:

Эти неравенства гарантируют, что алгоритм не смоделирует жидкую фазу, когда равновесная температура ниже точки

36

замерзания (0 °С), и что не образуется лед, если есть жидкая пленка, которая выше 0 °С.

Но при этом возможны и другие условия образования льда даже в случае, если локальная температура поверхности выше нуля – за счет охлаждения испарением смеси «лед / вода».

Фазовый переход в ячейке происходит в случае подвода или отвода энергии от соседней ячейки в большем количестве, если энергия передается балансно – фазового перехода не происходит.

2.3. ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для численного моделирования обтекания профиля крыла газодинамическим потоком и описания улавливания капель профилем выбран метод конечных объемов, описанный еще в 1970-х годах [32] для дискретизации уравнений гидрогазодинамики. В МКО используется интегральная постановка законов сохранения массы, импульса, энергии и др. Балансовые соотношения записываются для небольшого контрольного объема, представленного одной ячейкой сеточной модели. Дискретная форма соотношений определяется суммированием по всем граням выделенного объема потока массы, импульса, энергии и т.д. Так как интегральная форма законов сохранения не вносит ограничения на форму контрольного объема, МКО возможно применять для дискретизации математической модели, приведенной в разделе 2.3, в случае использования неструктурированной сетки с различной формой ячеек, что необходимо при моделировании обтекания перестроенной сеточной модели с образованием ледяных наростов сложной формы. Применение МКО в качестве решения проблемы сложной геометрии расчетной области при численном моделировании описано в работах [33, 34]. Для вычисления интегралов в контрольном объеме используются функции формы, описывающие изменения газоди-

37

намической или гидродинамической переменной между расчетными узловыми точками.

Для моделирования ледяных наростов на профиле крыла описанные в разделе 2.2 дифференциальные уравнения (2.8) и (2.9) сформулированы для криволинейных двумерных поверхностей, вложенных в трехмерные геометрии. Границы трехмерной сетки на интерфейсе «воздух / поверхность льда» обозначаются в качестве трехмерной поверхностной сетки. Далее путем соединения середин ребер ячеек с центроидами ячеек получается трехмерная двойная поверхностная сетка. Затем дискретные уравнения решаются методом конечных объемов на полученной двойной сетке.

2.4.РАЗРАБОТКА ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ

ИСЕТОЧНОЙ МОДЕЛЕЙ

При разработке твердотельной модели были использованы координаты профиля NACA 0012, экспортируемые в модуль геометрического препроцессора инженерного пакета ANSYS Desing Modeler. Выбор профиля обусловлен данными физических экспериментов NASA по его обледенению, поэтому возможно проведение верификации, сравнения контуров обледенения.

Для обеспечения отсутствия влияния удаленности граничных условий на газодинамические параметры потока вблизи профиля крыла расстояния до условий «входа» и «выхода» газа составляют 50 · с, где с – хорда профиля. Граница входа моделируется скругленной для снижения скошенности сеточной модели.

Созданная твердотельная модель была экспортирована в формате .stp в модуль сеточного построения ANSYS ICEM CFD. Корректное построение сетки в расчетной области является одним из важнейших этапов при численном моделировании обледенения, так как нарастание льда происходит непосредственно на «стенке» профиля крыла.

Для моделирования ледяных наростов в зоне вблизи профиля необходимо обеспечить ненулевой градиент скорости по-

38

тока. Вместе с тем при образовании ледяных наростов за определенный временной шаг для корректного моделирования льда на следующем шаге необходимо динамическое адаптивное перестроение сетки, что накладывает дополнительные ограничения на качество сеточной модели.

Поэтому при создании сеточной модели применялось разбиение трехмерной твердотельной модели с помощью O-grid- топологии, которая позволила производить необходимые сгущения и разряжения при построении структурированной гексагональной сетки.

На рис. 9, 10 представлены общий вид сеточной модели, укрупненныйвид,сетка вблизипрофилякрылаинапереднейкромке.

Для обеспечения безразмерного расстояния до профиля крыла y 1 высота первой от профиля крыла ячейки составила

1,47 · 10–6 м для хорды профиля крыла NACA 0012 в 0,3 м и максимальном числе Маха 0,46 для обеспечения корректного моделирования теплообмена между профилем и газом.

Величина y определяется по следующей формуле (2.11):

где y –расстояниедоближайшейстенки; u –скоростьсдвига[31].

Вязкие напряжения на профиле крыла и на ледяных наростах вычисляются через пристеночную функцию для скорости u , которая находится из уравнения:

u2 Vy ,

что эквивалентно u y , где – вязкое напряжение на стенке; V – составляющая вектора скорости сдвига в приграничной ячейке u V /u , касательная к границе.

39