- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
получим
r = - « [ L n ( 3 + K 8 )/],
z —— i [Ln (3 — К в )/].
Так как
arg [(3 + ^ 8 ) , ] = arg [ ( 3 - К в ) <] = J ,
то |
|
|(3 + K S )t|-3 + K8, |
1(3 —K§)i| = 3—^8, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln ((3 + V 8) <] = In (3 X VS) |
i + 2kni, |
||||
где &= |
(), |
± 1 , |
±2, |
Следовательно, |
|
||
|
г = |
j + |
2 f e i- f |
In (3 x У в) |
(* = 0; |
± 1 , ± 2 , ...). |
|
Решить следующие уравнения: |
|
||||||
73. |
е~г + |
1 = 0. |
74. |
ег + / = 0. |
|
||
75. |
4 cos г -f- 5 = 0. |
76. sh iz — — i. |
|
77.sin2 = ni. 78. e'x = cos nx (x — действительное).
79.е2г-f 2ег — 3 = 0. 80. ch z = i.
81. a) ln(z-ft) = 0; 6) In(t — z) = l.
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
I.Пусть дана последовательность {гп} комплексных чисел
|
|
|
|
21» г2» |
•••» |
2Я, |
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
1. |
Комплексное |
число а |
называется пределом |
|||||
последозсипельности |
{гл}, |
если |
для |
любого положительного числа е |
|||||
можно указать |
такой |
номер yV= |
iV(e), |
начиная |
с которого все эле |
||||
менты гп этой |
последовательности |
удовлетворяют |
неравенству |
||||||
|
|
| |
— а 1< в |
|
при /i^iV(e). |
|
|||
Последовательность |
{гп}, |
имеющая предел а, называется сходящейся |
|||||||
к числу а, что записывается в виде |
lim zn—a. |
|
Каждой последовательности комплексных чисел {гп} соответст вуют две последовательности действительных чисел {*„} и {£/,*}, где
=/1= 1, 2, ...
Т е о р е м а |
1. Пос.гсдоватсльность |
{zn = xn + iyn} сходится |
|
к числу a = a + |
/(i тогда и только тогда, |
когда |
|
|
lim х*Л = а, |
lim |
= |
П—+СО |
п —*со |
О п р е д е л е н и е 2. |
Последовательность |
{гп} |
называется огра |
|||||||||||
ниченной, если |
существует |
положительное |
число |
М такое, что |
для |
|||||||||
всех |
элементов гп этой последовательности |
выполняется неравенство |
||||||||||||
\гп \ ^ М . |
|
2. |
Всякая сходящаяся последовательность ограничена, |
|||||||||||
Т е о р е м а |
||||||||||||||
С в о й с т в а с х о д я щ и х с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й |
|
|||||||||||||
|
к о м п л е к с н ы х ч и с е л |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если |
lim |
гп= а и |
lim тп— Ь, то |
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
П-+00 |
|
. П |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(гЛ±тп) ~а ± Ь\ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
П-+СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
(глт„)= а6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л —►00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
~ = |
(т„ Ф О, |
b ф 0) . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Л-*00 Т/1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
1, Доказать, |
что последовательность |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
—i |
|
= 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г л “ |
п + 1 |
• |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеет пределом |
число а = |
1. |
произвольное число е > 0. Покажем, |
|||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Пусть задано |
||||||||||||
что существует такой номер N, |
что |
| г „ — 1 | < е , |
как только |
|
||||||||||
Так |
как |
|
|
|
п — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I v - i l - |
1 |
И -M |
|
|
УЪ |
|
|||||
|
|
|
Я+1 |
Л+1I |
|
п+1 ’ |
|
|||||||
то |
неравенство |
|г д — 1 | < |
е будет |
выполнено, |
если П+1п < е, |
т. е. |
||||||||
при |
/1 |
V2 |
|
|
в |
качестве |
N можно |
взять |
|
|||||
> ------- 1, Значит, |
|
|||||||||||||
|
|
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= A f ( e ) = [ ^ - l] + l. |
|
|
|
||||||
Здесь символ [х] означает целую часть действительного числа |
|
|||||||||||||
|
П р и м е р |
2. |
Пусть |
последовательность {гп} имеет предел а. |
||||||||||
Доказать, |
что |
последовательность |
{|гп |} |
имеет предел, равный |
|а[. |
|||||||||
|
В самом деле, |
так как |
lim гя = а, то |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Я—*>00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
| z„—а |= 0 . |
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
а-*оо |
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, для любых двух комплексных чисел гп п а имеет
место неравенство (см. стр. |
12) |
|
I I zn I |
I а ! I ^ Izn 0 |* |
(2) |
Из (1) и (2) получаем, что lim |гя | = [а| .
Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е с х о д и м о с т и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и к о м п л е к с н ы х ч и с е л
Пусть |
г„ = р„</'Ч |
где |
ря = |г „ |, |
<p„='argz„. Тогда, если |
|||
lim р„ = |
ро, |
Нш <рл = |
фо. |
то lim |
гn= p ae^^s'•. |
||
Я — 00 |
|
/1 — 00 |
|
|
п —00 |
|
|
П р и м е р |
3. Доказать, |
что |
|
|
|||
|
|
lim |
( l + ~ ) |
= e z, |
где |
z = x + it/> |
|
|
|
/l-оо |
\ |
я / |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим |
|
гл==( 1+ ^ )я*
Тогда |
Нш |('i+-iY’|= |
|
|
|
||||
Иш !z „ |= |
|
|
|
|||||
Л —00 |
л — 00 I \ |
п J |
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
х2-\-у*+2хп\2 |
= е*. |
|
|
|
|
|
|
|
п* |
) |
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф„ = arg (l + i ) |
= arcfg |
= arctg^ |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
' П |
|
|
arg z„ = |
arg ^1 + |
— n arg (>.+ -“ ) = « arctg ^ |
4 |
|
||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
<p„ = |
Нш л arctg |
|
|
|
|
|
|
/1—00 |
|
/2-00 |
|
|
|
Пользуясь |
достаточным условием |
сходимости последовательности |
||||||
комплексных чисел, получим |
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
(l + |
— Г = < w Y = e* + ty _ ег |
|
|
|
|
|
|
„-«Л |
л / |
|
|
|
|
что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
4, |
Доказать, что последовательность |
|
|
||||
|
|
|
гп —аг6 |
» |
п=1|2. |
|
|
расходится. |
|
|
как |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так |
|||
гп |
|
(—1)л |
[ 0 |
= are - — — = |
{ |
||
п |
* |
п |
I л |
при п четном, при л нечетном,
то последовательность |
{гп} имеет |
вид |
я, |
0 |
я, |
0, ... и, предела |
не |
|||||||||
имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
5. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
хп = 1 + р |
cos a-J-p2 cos 2а + |
... + |
ря cos nat |
|
|
|||||||||
где 0 < p < |
1, |
n==l, 2, |
Найти |
lim |
xn. |
|
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
Положим |
n-+oo |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
yn = p sin a + p2 sin 2а + |
... + |
рл sin noc |
|
|
|||||||||
и рассмотрим предел последовательности комплексных чисел |
|
|||||||||||||||
гл *= |
+ 1х/л = |
1 -Ь Р (cos сс + 1 sin a) + p2 (cos2a + |
i sin 2a) + ... |
|
||||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... + |
рл (cos na + i Sin not). |
|||||
|
|
f = p(cosa + / sin a), |
|
|
| = |
p < 1. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пользуясь |
формулой |
Муавра и формулой суммьх,.членов геометриче |
||||||||||||||
ской |
прогрессии, |
получим |
|
|
|
1 _ /Л+1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
* и -1 + Ж а + -.. + /я“ -7—р» |
|
|
|
|||||||||
и так как |
| / 1< |
1, |
то |
|
,• |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ИГЛ 2п — |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
П-+ со |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пш |
*л = Re -— - |
= |
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-р (cos a + i sin a) |
|
|
|
|
||||||||||||
Д-+00. |
|
А |
t |
|
|
|
|
1— peas a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1—p cos a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 — p cos a)2 + |
p2 sin2 a |
1 —2p cos ct |
p^ ' |
||||||
|
Пусть, имеем последовательность |
{zn} комплексных |
чисел |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^1» ^2* • • • » |
|
|
|
|
|
|
М > 0 сущест |
||
|
Если для любого сколь угодно большого |
числа |
||||||||||||||
вует |
натуральное |
число |
N такое, что все члены гп последовательно |
|||||||||||||
сти |
с номерами |
п > N |
удовлетворяют |
неравенству |
| z „ | > M , то го |
|||||||||||
ворят, что последовательность {гп} |
сходится к бесконечно удаленной |
|||||||||||||||
точке или, просто, к |
бесконечности, |
и пишут |
lim |
zn= оо. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л -ю о |
|
|
|
Пополняя плоскость комплексного переменного так введенной бесконечно удаленной точкой г = оо, получаем расширенную плоскость комплексного переменного.
Окрестностью бесконечно удаленной точки называется совокуп ность всех точек z, удовлетворяющих неравенству \ z \ > R (с при соединением бесконечно удаленной точки), т. е. совокупность всех точек z, лежащих вне круга с центром в начале координат доста точно большого радиуса R.
Н айти пределы следую щ их последовательностей:
1N „„ /«
""pin
84. |
zn= |
(1 +3/)'* |
85. |
гя = |
^ - . |
|
|
||||
86. |
г„ —з„ + 7( - |
87. |
гл= е |
‘V’2' ' |
|
|
|||||
88. |
г„ = п sin—. |
89. |
2n = « c o s -^ + msin-^- |
|
|||||||
90. |
гп — sh in |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91. |
Известно, |
что- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim 2Я= ос, |
гя —х„ + iya- |
|
|
|||||
Что можно сказать о существовании |
пределов |
последова |
|||||||||
тельностей |
\х„} |
II |
{</„} |
пр|/ /I |
ос? |
|
|
|
|||
2. О п р е д е л е н и е |
1. Окрестностью |
точки г0 плоскости |
ком |
||||||||
плексной |
переменной |
г называется |
всякая |
область, содержащая |
эту |
||||||
точку; 6-окрестностью точки zQназывается |
множество |
всех точек г, |
|||||||||
лежащих |
внутри |
круга |
радиуса 6 с центром в точке |
г0, т. е. мно |
|||||||
жество всех точек г, |
удовлетворяющих неравенству | г —z0j < 6. |
||||||||||
Пусть функция /(г) определена в некоторой окрестности Q точки г0, |
|||||||||||
кроме, быть может, самой точки г0. |
называется пределом функции f (г) |
||||||||||
О п р е д е л е н и е |
2. |
Число А |
|||||||||
в точке z0t если для |
любого числа в > |
0 можно указать такое число |
|||||||||
6 = 6 (в) > 0, |
что для |
всех точек Z E Q, |
удовлетворяющих условию |
||||||||
0 < | г —г0 | < |
б, |
выполняется неравенство |
|
|
|
||||||
В этом случае пишут |
|
!/(?) — А < |
е. |
|
|
|
|||||
|
lim /(г) = |
Л. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь предполагается, |
что г0 и |
Л —конечные точки |
комплексной |
плоскости.
Приведем еще одно определение предела функции в точке. Пусть
функция / (г) определена в |
некоторой окрестности Q точки г0, кроме, |
||||||
быть может, самой точки г0. |
для |
любой |
последовательности |
{гп}, |
|||
О п р е д е л е н и е |
3. Если |
||||||
гп гт^о» сходящейся |
к точке г0, соответствующая ей последователь |
||||||
ность значений функции {/(г,,)} |
сходится к |
одному и тому же |
ком |
||||
плексному числу А, |
то число |
А называют |
пределом функции |
/(г) |
|||
в точке z0: |
|
lim |
|
/ (г)=* Л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь конечность z0 и А не предполагается. |
|
|
|||||
Существование предела |
lim |
/(z), где |
|
|
|||
|
|
|
|
z-+z0 |
|
|
|
/ (2) = |
и (х, у) + |
iv (.V, |
у), z0= .v0 -- iyQ, |
|
равносильно существованию двух пределов
|
|
|
|
lim и(ху у) |
и |
|
lim |
v(x, -y)r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
х-*х0 |
|
|
|
X ~ * X Q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем |
|
|
IJ-+Uо |
|
|
|
У~*У* |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim- / (z) = |
lim |
и (xt |
z/) + |
i lim |
v(xy y). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
2 Q |
|
|
X - > X 0 |
|
|
|
|
X - * X 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y-+y% |
|
|
|
|
U-+yо |
|
|
|
|
|
|
|
Пределы функций комплексного переменного обладают следую- |
||||||||||||||||||
щими свойствами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть существуют пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim /(г) = Л, |
lim |
g(z) — Bt |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
2 |
Zo |
|
|
2-+2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
[f(z) ± g(z)] = A ± |
В, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Z-*o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
m z)g(z)] = AB, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2-*2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
A_ |
В Ф 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В |
' |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z—Zo g(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
О п р е д е л е н и е |
4. |
Функция |
/(г), |
заданная в области |
D, |
назы |
||||||||||||
вается непрерывной в точке z0 e D , |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
f (г) = /(г 0). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z-+za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными словами: |
функция f(z) |
непрерывна в точке |
z0, |
если для |
||||||||||||||
любого числа е > 0 можно указать |
такое число 6 = 6 ( е ) > 0 , что для |
|||||||||||||||||
всех |
точек |
z e D , |
удовлетворяющих |
условию |
\г — г0 \ < |
б, |
имеет |
|||||||||||
место |
неравенство |
| / (г) — / (г0) | < |
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для непрерывности функции комплексной переменной |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
f(z) = u(x, y) + iv(x, |
у) |
|
|
|
|
|
|
||||||
в точке zQ= xQ+ iу0 необходимо и достаточно, |
чтобы ее действитель |
|||||||||||||||||
ная и мнимая |
части, |
т. е. функции |
и(х, у) |
и v(x, у), |
были |
непре |
||||||||||||
рывны в точке (*0, у0) по совокупности переменных х и у. |
|
|
|
|||||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
5. |
Функция |
/ (г) |
комплексного |
переменного |
|||||||||||||
называется непрерывной |
в области D, |
если она непрерывна в каждой |
||||||||||||||||
точке этой области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сумма, |
разность |
и |
произведение двух |
|
функций |
комплексного |
||||||||||||
переменного / (г) и g(z)t |
непрерывных э |
области |
D, также |
являются |
||||||||||||||
непрерывными |
функциями в этой |
|
области, |
а функция |
|
|
|
непре |
||||||||||
рывна в тех точках области D, где g(z)¥=0. |
|
|
|
• |
(т) непр>- |
|||||||||||||
Если функция |
Ну) непрерывна в точке г„, а функция |
f |
||||||||||||||||
рывна в точке |
тQ= = /( Z0), |
то сложная |
функция |
F [f (г)] |
непр р |
вточке z0.
Пр и м е р G, Дана линейная функция
w = l (z) = az + b,