книги / Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного сырья
..pdfли действующая нагрузка превышает предельное сопротивление сдвигу, то появляются пластические деформации, которые в дан ной системе беспредельно возрастают. Вязкий элемент, располо женный параллельно элементу трения, способствует только за медлению деформаций, т.е. они возникают не мгновенно, а ли нейно возрастают с течением времени. Приращения вязкопласти ческих деформаций определяют, по аналогии с теорией пластич ности, через производную скалярной величины Q - потенциала пластичности:
|
при |
FG ^ 0; |
{d e^/d t} = (evp} = |
при |
(2.2.29) |
— F^ {dQa/до} |
FG > 0. |
Выражение (2.2.29), использование которого широко пред ставленное в работах Р. Перзуна [27], В. Виттке [34, 35], О. Зен кевича [37], Г. Панде [25, 26], называется уравнением вязкопластичности и решается для случаев F > 0, т.е. когда превышен предел прочности. При ассоциированном законе пластического течения Qc = Fc.
Величина r\G обозначает вязкость породы, которой в струк турной схеме соответствует вязкость демпфирующего элемента.
Величина FG |
характеризует степень |
превышения напряжен |
ного состояния |
над прямой разрушения |
FG = 0. Отметим, что |
уравнение вида (2.2.29) будет широко использовано в данной работе.
Если выбрать систему координат таким образом, чтобы сх, су, оz соответствовали главным напряжениям а ь а2, а3, то уравнение
вязкопластичности можно записать следующим образом: |
|
dFG/ 9а, |
|
dFG/ 9а2 ► |
(2.2.30) |
pFG/d c з |
|
Если использовать критерий разрушения' Кулона-Мора (2.2.5), то получим
г[р |
i(l-sincpc) |
|
t vp |
y f ( l - simpc) - y ( l + sincpc)- cGcos(p’Gl- 0 |
► |
Ь 2 |
|
|
kvp |
- i ( l + sincpc) |
|
Бз |
|
|
|
(2.2.31) |
|
По уравнению (2.31) можно вычислить скорость объемной вязкопластической деформации
evp = |
i(l-sin cp c ) - i ( l + sin<pc) |
|
-— F0*sin <pG. (2.2.32)
%
Экспериментальные данные показывают, что увеличение объ ема горных пород при пластическом деформировании часто ока зывается меньше, чем по уравнению (2.2.32). Для устранения этого несоответствия видоизменяют пластический потенциал Qc- Используя для QG такую же скалярную функцию, как и для FG)
но заменив угол |
трения сpG так |
называемым |
углом дилатансии |
\\iG< Фс» получим |
|
|
|
Qc = CJI/ 2(1 - |
sin y G) - а3/2(1 |
+ sin у с) - |
cGcos у с. (2.2.33) |
Вэтом случае Qc * FG, т.е. получаем неассоциированный за кон пластического течения.
Вслучае разрушения породы от растяжения использование критерия (2.2.7) позволяет получить следующее уравнение пол
зучести:
О
A.VP |
О > |
(2.2.34) |
( Ст3 агс) |
cv/> |
% |
-1 |
|
||
|
|
Рассмотренные уравнения ползучести определяют скорости пластических деформаций. Для получения самих деформаций не обходимо провести интегрирование уравнения (2.2.29) по времени
{ev"(0} - J | BV JA . |
(2.2.35) |
При использовании численных методов расчета напряженнодеформированного состояния уравнение (2.2.35) интегрируется численно. При этом, начиная с начального времени t = О, вычис ляется увеличение вязкопластических деформаций и изменение напряженного состояния для моментов времени t = At, 2Аt, ЗАt и т.д. Тогда вместо интеграла в уравнении (2.2.35) появляется сумма
(2.2.36)
Вследствие замедляющего действия демпфирующего элемента состояние равновесия (если оно возможно) устанавливается только при t -> оо. Несмотря на это, соответствующие вязкопла стические деформации можно вычислить по уравнению (2.2.36) с достаточной точностью, так как при приближении к состоянию равновесия F -* 0, и прирост пластических деформаций стано вится пренебрежимо малым. Отсюда следует, что для вычисле ния деформаций при состоянии равновесия необязательно знать точное значение вязкости породы т\с. Вместо этого следует зада вать такое сочетание т\с и интервала времени At, чтобы прирост вязкопластических деформаций на каждом шаге итерации был достаточно мал. В этом случае при использовании уравнения (2.2.36) можно обеспечить необходимую точность расчета. Также следует отметить, что подобный расчет упруговязкопластических деформаций сопоставим с расчетом упругопластических дефор маций. Оба расчета позволяют определить пластические дефор мации при состоянии равновесия, или сделать вывод о том, что состояние равновесия невозможно. Различие состоит в том, что по теории пластичности напряженное состояние с F > 0 невоз можно. Поэтому вместо расчета по интервалам времени ведется расчет по ступеням нагружения.
Для пород слоистой структуры при превышении предела прочности по поверхности раздела также справедливо уравнение ползучести, которое можно записать в следующем виде:
(2.2.37)
При использовании системы координат (х', у \ zf), связанной со слоистостью, и критерия разрушения (2.2.9) получим ассо циированный закон пластического течения
о
(2.2.38)
Учитывая, что ось / нормальна к слоистости и используя вы-
ражение для сдвиговой деформации |
по- |
лучаем выражение (2.2.38) в упрощенном виде
(2.2.39)
Если прочность породы нарушается как в плоскости слоисто сти, так и в направлениях, не совпадающих с ней, то соответст вующие скорости деформации необходимо суммировать
(2.2.40)
С учетом этого деформации и напряжения вычисляются та ким же образом, как для изотропной породы.
2.3. МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СКАЛЬНЫХ ПОРОД ПО СИСТЕМАМ ТРЕЩИН
Коллекторы трещинного и трещинно-порового типов доста точно широко распространены на нефтегазовых месторождениях. Трещины в коллекторах данного типа являются основным путем движения углеводородов при их добыче, а также представляют основной структурный фактор, определяющий напряженнодеформированное состояние скального массива. Являясь плоско стями пониженной прочности и повышенной деформируемости, трещины весьма чувствительны к действующим нагрузкам. Соот ветственно трещинно-поровые коллекторы при падении пласто
вого давления в ходе разработки заметно изменяют фильтраци онно-емкостные свойства, продуктивность скважин и т.д. Для рассмотрения и прогнозирования этих процессов необходимо располагать моделью деформирования трещиноватой горной по роды.
Известные модели скального массива можно свести к двум типам: дискретной и однородной. Дискретная модель основыва ется на детальном учете положения отдельной трещины в масси ве, ее размеров, физико-механических свойств и поведения при нагрузке. Современные численные методы позволяют с любой степенью детальности воспроизводить на моделях отдельные дислокации в горных породах. Так поступают при моделирова нии крупномасштабных структурных неоднородностей, вроде тектонических нарушений, границ тектонических блоков и т.п. Однако если рассматривать системную трещиноватость или слоистость, то подобный подход приводит к непомерно большим затратам времени и ресурсов ЭВМ. В этом случае предпочтение отдается однородным моделям.
В однородной модели скального трещиноватого массива, раз витой В. Виттке [34, 35], Зенкевичем, Панде [37] и рядом дру гих авторов, расчеты проводят для однородного материала, экви валентного по средним напряжениям и деформациям элементу скальной породы. При упругом поведении упругие постоянные эквивалентного материала выбирают таким образом, чтобы средние деформации соответствовали средним напряжениям. Аналогично определяются с характеристиками прочности и пла стического поведения. Естественно, что такой расчетный метод допустим лишь в том случае, если размеры рассматриваемой об ласти много больше размеров элементарного структурного блока.
При рассмотрении трещин в скальной породе уравнение пол зучести составляется для необратимых относительных перемеще ний {svp} противоположных берегов трещины:
для рт > 0. |
(2.3.1) |
Параметр ц' характеризует зависимость деформаций от вре мени и имеет размерность отношения вязкости к длине. Для ис пользования положений однородной модели в расчет вводится идеализированная ширина трещины L Тогда в системе коорди нат, связанной с поверхностью раздела, компоненты деформации вычисляются по формулам
Yx'z' ~~$ х ' / t у У уУ ”” S yf/^y |
—S * / t . |
(2.3.2) |
Если ввести значение вязкости г|т = ^Лт» то получим уравне ние ползучести для однородного материала
для FT > 0. |
(2.3.3) |
При использовании критерия прочности Кулона-Мора полу чается уравнение ползучести, аналогичное (2.3.3). Так же, как при вычислении вязкопластических деформаций ненарушенной скальной породы, в пластическом потенциале QTугол внутренне го трения заменяется на угол дилатансии \\/т, после чего закон ползучести получает следующий вид:
(2.3.4)
В трещинах большой протяженности прочность на растяже ние, как правило, отсутствует, т.е. FT = - стп. Тогда при разруше нии от действия растягивающих напряжений закон ползучести будет иметь вид
(2.3.5)
Если массив содержит несколько систем трещин, то уравне ние ползучести необходимо решать отдельно для каждой из них, а Полученные деформации суммировать.
Выражения (2.3.4) и (2.3.5) являются основой известной од нородной Модели скального массива В. Виттке [34]. В этой моде ли деформации ползучести скального массива с системой трещин вычисляются так же, как для однородного материала слоистой структуры. При этом удовлетворительная точность расчета дос тигается в Том случае, если расстояние между трещинами много меньше, чем размеры рассматриваемого фрагмента массива.
Развитие и дополнение однородной модели В. Виттке прово дили многие исследователи. Их работы основывались прежде всего на подробном изучении законов деформирования скальных контактов. Эксперименты, выполненные В. Лейхнитцем и П. ЕрбаНом на весьма сложном и точном оборудовании [18, 23], пока зывают характерные зависимости между нормальными и каса тельными Напряжениями и перемещениями в плоскости трещи ны (рис. 2.3.1).
При постоянном нормальном напряжении сопротивление сдВигу увеличивается по мере роста сдвига по трещине 5* и дос-
Рис. 2.3.1. Обобщенная диаграмма деформирования скальных пород по кон такту
тигает максимального значения тр при некоторой предельной ве личине сдвига 5Р. Деформирование на этой стадии (5S< 5Р) мож но назвать фазой упрочнения. При дальнейшем деформировании после достижения пиковой прочности наступает фаза разупроч нения, т.е. сопротивление сдвигу постепенно падает до значения остаточной прочности т* Величину т* обычно выражают через остаточный угол внутреннего трения: т* = ап tg ф*
Согласно П. Ербану [18] зависимость между сопротивлением сдвигу и 5S на стадии упрочнения и разупрочнения можно опи сать соответственно с помощью параболической и экспоненци
альной функций |
|
|
|
тге, = тр [25s/8p - |
(5j/5p)2] |
при (8S < 5Р); |
(2.3.6) |
х^= трехр[-х (8S- |
5Р)] + тр{1 |
- ехр[-х(б,- 8Р)]} |
|
при (5, > 6 р ). |
|
|
(2.3.7) |
Вследствие шероховатости стенок трещины при сдвиге кроме касательных смещений 5S появляются нормальные к плоскости контакта смещения 5П, которые зависят от нормальных напряже ний и вызывают разрыхление (дилатансию) элемента скальной породы. Значение dbn/db5 обозначают как величину дилатансии. При стп = 0 величина г, т.е. угол дилатансии принимает макси мальное значение и обозначается ц. В опытах Лейхтница и Ербана [18, 23] угол дилатансии i0 был получен в пределах 10-20°, величина 5Р - в пределах 0,2-2,0 мм.
Используя экспериментальные законы деформирования скаль ных контактов и применяя основные положения однородной мо дели В. Виттке, можно построить весьма простую и эффектив ную модель трещиноватого скального массива. Такая модель бы ла рассмотрена П. Ербаном [18], который использовал специаль ный критерий разрушения. Ю.А. Кашников, С.Г. Ашихмин также разработали аналогичную модель для расчета параметров напря женно-деформированного состояния скальных массивов [5]. В отличие от модели Ербана, в ней применен критерий разрушения Джагера (2.2.20), который является более простым в плане пара метрического обеспечения.
Модель основана на расчете вязкопластических нормальных и касательных смещений по трещине по уравнению, аналогичному (2.3.3):
8vp |
(2.3.8) |
где |
57 |
вектор скорости нормальных и касательных |
||
|
||||
|
57 |
|
|
|
вязкопластических смещений по трещине; rj - |
вязкость материа |
|||
ла, заполняющего поверхность раздела; |
F* - |
критерий разруше |
||
ния в плоскости слоистости; Q* - |
пластический потенциал; |
|||
{ат} = | а” | - |
нормальное и касательное напряжения в плоскости |
|||
трещины. При ассоциированном законе пластического течения
Qs = F,
В данной модели сопротивление сдвигу является функцией не только нормальных и касательных напряжений, но и касательно го смещения по трещине 8S в соответствии с уравнениями (2.3.6) и (2.3.7). Принимая, что предельное сопротивление сдвигу тр вы
ражается функцией Джагера (2.2.20), с учетом (2.3.6) и (2.3.7) получаем критерии разрушения на стадиях упрочнения и разу прочнения. Для стадии упрочнения (8S < 8Р)
Ъ .Г |
-{a„tg (pc + cc [l-e x p ( - K )]} [2 V 8 p -(5 f/5„)2]. |
(2.3.9) |
||||
На стадии разупрочнения (85 > 8Р) |
|
|
|
|||
Fs.2 “ |
-в»Г<« Ф* +(tg Фс - tg |
cp’)exp(-x(5J - 5 |
))] - |
(2.3.10) |
||
|
L |
v |
7 |
' |
/J |
|
~cc [1" exp {-ban)] exp (~x (б, - 5p)).
Для определения частных производных пластического потен циала в выражении (2.3.8) принимается, что Q соответствует Fs, но углы внутреннего трения ф5 и фС заменяются на некоторый угол *Р. Тогда для стадии упрочнения (5S< 8Р) получим следую щие частные производные пластического потенциала:
dQs,i/da„ = [-tg Т |
- bcGexp(-6a„)][25j/5p- |
(б*/8р)2]; |
(2.3.11) |
|
|
|
dQs,i/dzns= 1. |
|
|
На стадии разупрочнения (6S > 5Р) |
|
|
||
dQs,2/do„ = -tg 'F - bcc exp(-6a„)exp[-x(6s- |
5P)]; |
(2.3.12) |
||
|
|
dQs,2/dlres = 1. |
|
|
Для определения |
угла |
следует рассмотреть граничные ус |
||
ловия в случае чистого скольжения (ст„ = 0, тге1 = const), которые дают 4* = 0 [5]. С учетом этого получим
dQs.i/do„ = -tg |
i0exp(-tg г0стп/сс)[25убр - (5,/5p)2]; |
(2.3.13) |
|
d Q s , 1; |
|
dQs,2/ da„= -tg |
i0exp (-tg га„/сс)ехр[-х(8* - 5p)]; |
(2.3.14) |
|
dQs,2/dxm = 1. |
|
В случае разрушения от действия растягивающих напряжений уравнение ползучести имеет вид
(2.3.15)
Непосредственно 8S и 8„ находятся путем интегрирования скоростей вязкопластических смещений по времени
(2.3.16)
Согласно однородной модели от смещений 8* и 8п необходимо перейти к эквивалентным средним деформациям скального мас сива ys и е„. Если d - среднее расстояние между трещинами, то можно принять е„ = 8n/d и ys = 8Jd. Определенные таким обра зом вязкопластические деформации относятся к системе коорди нат, связанной со слоистостью (х*, у\ ?), поэтому для их преоб разования в глобальную систему координат (ху у, z) следует ис пользовать выражение, обратное (2.1.6).
Реализация рассмотренной модели подробно рассмотрена в работе [5]. Данная модель неоднократно с успехом применялась авторами данной работы для прогноза параметров процесса де формирования подрабатываемых скальных массивов рудных ме сторождений [5]. Применительно к задачам деформирования нефтегазовых коллекторов данную модель необходимо дополнить зависимостями сжимаемости трещин под действием нормальных напряжений. В последующем она будет использована при расчете зон разрушения вокруг открытого ствола скважины в коллекто рах трещинного типа.
Исследования N. Barton, S.N. Bandis, W. Wittke, M. Dilo, R. Erichsen [12, 13, 14, 35] и ряда других, показывают, что берега трещины смыкаются по определенному закону по мере роста нормальных напряжений. В общем виде закон сжимаемости тре щины имеет следующее выражение:
о, &лУт (2.3.17)
где ont - сжимаемость трещины под действием нормальных на пряжений ап, [кН/м2]; Kni - начальная жесткость трещины, [кН/м3 103]; Vm - максимально возможное сжатие трещины под влиянием нормальных напряжений, [м]. Очевидно, что Vm не может быть больше величины начального раскрытия трещины.
Согласно данным зарубежных специалистов [12, 13, 14], вели чина начальной жесткости трещины составляет 2800000 кН/м3 для Гладких трещин и 1500000 кН/м3 для шероховатых трещин.
Использование зависимости вида (2.3.17) широко встречается в зарубежной литературе при оценке водопритоков в подземные сооружения и основания скальных плотин. В главе 6 показаны