книги / Техническое нормирование макрошероховатости дорожных покрытий автомобильных и лесовозных дорог
..pdf
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
X n |
(2.19) |
|
X |
= |
n =1 |
. |
||
|
|
|
N |
|
|
Оценивая типы макрошероховатости покрытия, для практической целей достаточно определить шесть основных характеристик макрошероховатых структур: 1) среднюю глубину впадин (или высоту активных выступов); 2) средний шаг макрошероховатости; 3) степень плотности макрошероховатости; 4) степень активности поверхности элементов макрошероховатости; 5) разброс (дисперсию) высот активных выступов или впадин (разновысотность); 6) суммарная дисперсия глубин активных впадин (разноглубинность) и шага активных элементов (разнодлинность).
Результаты измерений параметров макрошероховатости обрабатываются статистическими методами. По найденным значениям параметров оценивают качество макрошероховатых слоев путем сравнения средних полученных значений с рассчитанными по проекту. Для автоматизации измерений и расчетов макрошероховатости покрытия рекомендуем применять программный автоматизированный модуль.
Предлагаемые статистические показатели макрошероховатости могут быть эффективно применены для оценки сегрегации распределения каменного материала для шероховатых поверхностных обработок и их аналогов [107].
2.3. Математическое моделирование сегрегации макрошероховатости дорожных покрытий с применением теоретико-вероятностного подхода
2.3.1. Математическое моделирование числа пересечений с уровнем
Вопрос о числе пересечений некоторого уровня реализациями случайного процесса применительно к решению задач определения характеристик макрошероховатости был поставлен в научной школе профессора А.А. Первозванского [115]. Также известна формула РайнисаБунимовича о среднем числе пересечений сигнала с уровнем. Такой подход является оценкой корреляционной функции ряда высот выступов макрошероховатого дорожного покрытия.
101
Рассматривается непрерывная и дифференцируемая функция x(t) на интервале [0, L]. Выбирается на оси ординат малый промежуток u, чтобы в полосе (u, u+ u) не было нулей производной x́(t). У процесса и его производной должно быть конечное число нулей на конечном интервале. Вводится функция
|
|
если x(t) |
[ |
u,u + |
u |
] |
, |
|
1, |
|
|
(2.20) |
|||||
ξ(t, u) = |
0, |
если x(t) [u,u + |
u]. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ti – пересечения x(t) с u; ti – проекции участков x(t), принадлежащих интервалу [u, u+ u].
Очевидно
L ξ(t, |
u)dt = ti . |
(2.21) |
0 |
i |
|
На участках x(t), принадлежащих интервалу [u, u+ u], заменяют функцию отрезками секущих, проходящих через крайние точки, тогда u/ t = ׀β(ti, u)׀, где β(ti, u) – угловой коэффициент секущей.
Рассмотрен интеграл
1 |
L ξ(t, u) | β(t, u) | dt, |
(2.22) |
|
|
u |
||
|
0 |
|
|
где u – произвольное, меньшее или равное выбранному вначале. |
|||
Этот интеграл будет суммировать единицы вместо |
ti и даст иско- |
||
мое число пересечений. Устремляют u к нулю, тогда угловой коэффи-
циент β(ti, u) стремится к производной x(t). В пределе получают (для |
||||||
интервала единичной длины) [115] |
|
́ |
|
|||
|
|
|
||||
n(u) = lim |
1 |
|
L |
ξ(t, u) | x′(t) | dt. |
(2.23) |
|
|
|
|||||
u L 0 |
||||||
u→ 0 |
|
|
||||
Если x(t) – случайный процесс, то математическое ожидание функционала n(u) рассчитывается так:
En(u) = E lim |
1 |
L |
ξ(t, |
u) | x′(t) | dt. |
(2.24) |
|
|
||||||
u L 0 |
||||||
u→ 0 |
|
|
|
|||
Используя операции предельного перехода и получения математического ожидания, находим
102
En(u) = E lim |
1 |
L |
E [ξ(t, u) | x′(t) |] dt. |
(2.25) |
|
|
|||||
u L 0 |
|||||
u→0 |
|
|
|||
Рассматривается стационарный нормальный процесс. Будем считать его корреляционную функцию дважды непрерывно дифференцируемой. В этом случае процесс x(t) и его производная независимы. Взаимная корреляционная функция процесса и его производной
Ex(t)x′(t + τ) = K′(τ). |
(2.26) |
Производная стационарного нормального процесса с дважды непрерывно дифференцируемой корреляционной функцией есть непрерывный стационарный нормальный процесс с корреляционной функцией K´´(t). Из равенства K´(t) = 0 следует некоррелированность величин x(t) и x´(t). Из нормальности и некоррелированности следует их независимость. Тогда ξ(t, u) и x´(t) тоже независимы при фиксированном t. Величина ξ(t, u) принимает всего два значения 0 и 1, она не зависит от x´(t), нормально распределенной с нулевым средним и дисперсией
K´´(t). Тогда [115]
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
′ |
′ |
= |
|
|
|
|||||
E{ξ(t, u) |
|
x (t) |
|
} = 2P{ξ = 1} x p1 |
(x )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
(2.27) |
|
|
|
Δ+Δu |
|
∞ |
|
|
|
= 2 |
p(x)dx x′p1(x′)dx′, |
|
|
||||
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
где у функции опущен аргумент, а через p(x) и p´(x) обозначены одномерные плотности распределений величин x(t) и x´(t). Тогда [96]
|
2 |
L |
|
u+ |
u |
1 |
|
− |
x2 |
|
∞ |
x |
′ |
|
x′ |
|
|
En(u) = lim |
|
dt |
|
|
e |
2K (0) dx |
|
e2(− K ′′(0) dx. |
(2.28) |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
u L |
|
2πK(0) |
|
|
′′ |
||||||||||||
u→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
u |
|
|
|
|
|
0 |
2π(−K (0)) |
|
|
|
|
|||
В силу стационарности x(t)
|
2 |
|
u + |
u |
|||
lim |
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
K(0) |
|||||
u→0 |
u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
Φ′ |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x´(t):
|
|
|
u |
|
|
|
K′′(0) |
|
|
|
− Φ |
|
|
− |
= |
||||
|
K(0) |
2π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.29) |
|||
|
u |
|
− K′′(0) . |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
K(0) |
|
|
K (0) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
103
Или
|
1 |
|
′′ |
− |
u2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
En(u) = |
− |
K (0) |
e |
|
2K (0) . |
(2.30) |
||
π |
|
|
||||||
|
|
K(0) |
|
|
|
|
||
Математическое ожидание числа нулей на единичном интервале
En(0) = |
1 |
− |
K′′(0) |
. |
(2.31) |
π |
|
||||
|
|
K(0) |
|
||
Это верно при условии предположения о конечности числа пересечений уровня процессом на конечном интервале. Поскольку нормальный процесс полностью определяется средним значением и корреляционной функцией, то и любые его свойства должны определяться этими моментами.
Часто возникают вычислительные трудности, связанные с четным характером интегралов. Например, формула для k-го факториального момента числа пересечений уровня u на [0, L] стационарным нормальным процессом имеет вид [115]
L |
L |
∞ |
∞ |
|
||||
αk = ... dt1...dtk ... |
|
y1...yk |
|
pt (u, y)dy1...dyk , |
(2.32) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
0 |
0 |
−∞ |
−∞ |
|
||||
где pt (u, y) = pt (u,...,u, |
y1,..., yk ) |
– совместная плотность вероятностей |
||||||
случайных величин x(t1 ),..., x(tk ), x′(t1 ),..., x′(tk ) . |
|
|||||||
Использование факториальных моментов удобно тем, что в них формулы имеют компактный вид. Обычные моменты старших порядков можно выразить в виде линейных комбинаций факториальных моментов по формулам
k |
k |
|
αk = c(k ,l )αl , |
αk = ck ,l αl , |
(2.33) |
l=1 |
l=1 |
|
где коэффициенты c(k ,l ) и ck ,l находятся из рекуррентных соотношений
c(k ,l ) = lc(k −1, l ) + c(k −1, l−1) , |
ck ,l = (1− k)ck −1, |
l + ck −1, l−1, |
(2.34) |
c(k ,l ) = ck ,l = 0, |
l > k, l ≤ 0, c(1,1) |
= c1,1 = 1. |
|
Явное выражение для второго момента числа нулей имеет вид [96]
104
|
|
|
|
|
|
En2 (0) = En(0) + |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
M 34 |
|
M 34 |
|
|
|
|
2 |
L |
(M 332 − M 342 ) |
2 |
|
|
|
|
(2.35) |
|||
+ |
|
|
(l − τ) |
3 |
|
1 |
+ |
|
arctg |
|
d τ, |
|
π |
2 |
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
0 |
(1 − K 2 (τ))2 |
|
|
|
(M 332 − M 342 )2 |
|
(M 332 − M 342 )2 |
|
||
где K(τ) (τ = t2 – t1) – корреляционная функция процесса x(t); Мij – алгебраическое дополнение элемента ij матрицы:
1 |
K(τ) |
0 |
′ |
|
|
K (τ) |
|
||||
K(τ) |
1 |
−K′(τ) |
0 |
|
(2.36) |
Λ = |
−K′(τ) |
λ2 |
|
. |
|
0 |
−K′′(τ) |
|
|||
|
0 |
−K′′(τ) |
λ2 |
|
|
K′(τ) |
|
|
|||
Для обеспечения условия конечности дисперсии на корреляционную функцию накладывается условие
δ τ−1 [λ2 + K′′(τ)]dτ < ∞ для некоторого δ > 0. |
(2.37) |
0 |
|
Также указывается, что задачи пересечения горизонтальной прямой обобщенына случайдифференцируемойфункцииилитренда[115].
Для подсчета числа пересечений профиля с уровнем u предложен следующий способ [115]. Значения ординат профиля, которые после квантования профиля через интервал δt превышают u, обозначаются цифрой 1, а те, которые меньше – цифрой 0.
Через β обозначается вероятность того, что случайно выбранная точка будет соответствовать единице, и 1 – β – что соответствует нулю. Оценка вероятности β дается частотой – отношением числа наблюдавшихся единиц к общему числу N интервалов δt на всей длине профиля. Если считать, что корреляция между рассматриваемой точкой i и последующей точкой j отсутствует, матрица вероятностей перехода имеет следующий вид:
p |
p |
|
1− β |
β |
(2.38) |
|
00 |
01 |
|
= |
|
. |
|
p10 |
p11 |
1 |
− β β |
|
||
Вводится понятие серии, как части бинарной последовательности, состоящей из одних нулей или единиц и ограниченной с двух сторон противоположными символами.
105
Коэффициент серийности имеет вид μ = |
n |
, |
где n – число серий. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
Рассмотрим новый интервал |
t = |
|
2β(1− β)δt |
. При интервале |
t ве- |
||||||||||
|
μ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
роятность получения серии длиной r |
t будет следующая [96] |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p(r t) = (1− β)βr −1, |
где r = 1, 2, |
3, ... . |
(2.39) |
|||||
Математическое ожидание длины серии, состоящей из единиц, со- |
|||||||||||||||
ставит |
|
t |
|
|
, |
а среднее квадратическое отклонение длины |
серии |
||||||||
1− β |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
β |
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
σr t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В процессе эксплуатации макрошероховатое дорожное покрытие изнашивается. Геометрически такой профиль эквивалентен неизношенному, но усеченному прямой линией, проведенной на уровне u.
Расстояние между входными кромками последовательно расположенных изношенных площадок равно шагу Ta между зернами щебня. Обозначим через b длину изношенной площадки, через а – длину впадины между зернами. Закон распределения длин изношенных площа-
док определяется формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P{b = r t} = (1− β)βr−1, r = 1, 2, .... |
|
(2.40) |
||||||||||
Математическое ожидание их длины равно Eb = |
|
t |
. |
|||||||||
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− β |
||
Длины впадин распределяются в соответствии с |
|
|
|
|||||||||
P{a = r t} = (1 – β) βr–1, r = 1, 2, …. |
|
(2.41) |
||||||||||
Математическое ожидание их длины |
|
|
|
|
||||||||
|
Ea = |
|
|
|
t |
… . |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− β |
|
|
|
|
|||||
Средние квадратические отклонения |
|
|
|
|
||||||||
|
β |
t |
и |
|
1− β |
|
t . |
|
|
|
||
1− β |
|
|
β |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
106
Предполагая, что длины a и b независимы, получим функцию распределения шага между зернами:
β(1− β)
1− 2β
P{Ta = r t} =
|
|
r−1 |
− β |
r−1 |
, |
β ≠ |
1 |
|
(1− β) |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(r −1), |
β = |
1 , |
|
|
(2.42) |
||
2r |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
r = 1, 2, ...
При β = 0,5 средняя длина площадки после износа будет 2 t, а среднее квадратическое отклонение от этой длины 21/2 t. Средний шаг Ta составит 4 t, а среднее квадратическое отклонение среднего шага 2 t.
2.3.2. Параметры зерна щебня в структуре макрошероховатых дорожных покрытий
Ранее А.В. Королевым было доказано, что для зернистой структуры форма геометрии зерна, предел рассеивания размера диаметра и вершин зерен можно определить по углу между плоскостью сдвига, образующуюся во время разрушения зерна, числом и размером сколотых в процессе воздействия выступающих вершин и наибольшими порядковыми номерами гармоник, которые имеют отклонения форм [30, 40].
В настоящей работе представлена интерпретация метода оценки шероховатости абразивов, разработанная А.В. Королевым применительно к макрошероховатым дорожным покрытиям. Такой подход традиционен. В его рамках учениками А.В. Королева и другими специалистами проведен целый цикл исследований, например [98].
Аналогично с зернами абразивного режущего инструмента данных по определению угла ε во время разрушения щебенки в асфальтобетонном покрытии или в шероховатой поверхностной обработке не имеется. Принимается, что для горной породы (камня и мрамора) угол ε определяется равным примерно 50°. Изверженные породы обладают углом ε примерно около 75°.
Во время эксплуатации зерна щебня дорожного покрытия интенсивно контактируют с шинами колес транспортных средств не только по сильно выступающим вершинами, но и по другим менее высоким неровностям покрытия.
107
Пусть глубина внедрения зерен щебня в шину будет a, а ширина b. Предельную частоту гармоники p, которая необходима для расчета геометрической формы вершин зерен, определим формуле
p = |
πr |
. |
(2.43) |
|
|||
|
b |
|
|
Для различных предельных частот гармоник p, которые характеризуют неровности зерна, А.В. Королевым рассчитаны параметры функции аппроксимации вида [30]
b |
h |
m |
(2.44) |
|
x |
= A |
x . |
||
r |
|
r |
|
|
А.В. Королевым получена формула для определения радиусов кривизны вершин зерен
ρx = |
m2 A2r |
h 2m−1 |
+ |
|
4 |
|
h 2(1−m) |
23 |
(2.45) |
||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|||
4 |
|
m |
2 |
A |
2 |
||||||||||
|
(1− m) |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по dhx от 0 до a и разделив получаемое выражение на
величину внедрения вершин зерен, например, в шину колес a, получим средний радиус закругления рабочей части вершин зерен [30]:
|
|
|
|
|
m2 A2 |
|
a |
|
2m−1 |
|
|
|
|
4 h 2(1−m) 23 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
hx |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dhx . |
|
(2.46) |
||||
|
|
|
4a (1 |
+ m)r |
2m |
|
|
|
m |
2 |
A |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После преобразования в ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ρ |
|
m2 A2 |
1 |
|
a 2m−1 |
|
3 a |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
a 3−2m |
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
(2.47) |
||
r |
4(1 |
|
2m |
m |
2 |
A |
2 |
r |
|
m |
4 |
A |
4 |
(2 − m) |
|||||||||||||||
|
− m) |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Им же определено, что если величины износа вершин зерен равны hизн , то ширина заглубления вершин зерен в шины на глубину а рас-
считывается по формуле
|
(a + h |
)1,14 |
|
|
b = 5,84 |
изн |
, |
(2.48) |
|
r0,14 |
||||
|
|
|
b = 3,8(a + hизн ) .
108
Отмечается, что самый большой износ величиной hизн будет на-
блюдаться в центре вершин и постепенно уменьшаться к периферии зерна. Радиус закругления вершин зерен в начальном состоянии опре-
a1,14
деляется формулой ρ = 6,83 d 0,14 , а радиус закругления изношенной части вершины приблизительно можно определить по формуле
ρизн = 6,25 (a + hизн )2,14 . Величина внедрения вершин зерен щебня и их
ar0,14
радиус закругления зависят от степени износа вершины при эксплуатации. Эти формулы можно применять при a < 0,12, а если больше, то в качестве средней геометрической формы можно использовать шаровую форму с радиусом r [30].
Для анализа прикатки зерен щебня гладкими катками может быть использована полученная А.В. Королевым формула
R (ϕ) = r (1+ 0, 277sin 2ϕ) . Тогда геометрическое сечение зерен щебен-
ки будет соответствовать эллипсу, отношение между диагоналями которого можно определить по формуле
a |
= 1, 277 |
= 1,77. |
(2.49) |
b |
0,723 |
|
|
Установлено, что при абразивной обработке соотношения между |
|||
большой a , средней bср , |
малой |
с диагоналями |
выглядят, как |
a : bср : с = 1, 45 :1: 0,72 и практически не зависят от материалов [30].
Размер зерна щебня зависит от диапазонов фракций щебенки и определяется величиной d0 и σd . Во время эксплуатации зерно щебня
изнашивается, и его размеры (параметры) изменяются в сторону уменьшения. Поэтому размеры зерен будут различными на различном расстоянии от вяжущего.
Рассмотрим вертикальное продольное сечение макрошероховатого дорожного покрытия. Найдем средний размер зерен dx щебня для но-
вого макрошероховатого дорожного покрытия, вершины которых находятся на расстоянии x от среднего уровня связки. Математическое ожидание этой величины выглядит как
109
∞ |
|
dx = df (dx)dd, |
(2.50) |
−∞
где f (dx) – плотность распределения размеров зерен щебня, вершины которыхнаходятсяотсреднейлинии профилявяжущегона расстоянии x.
Вероятность P (d ) появления над связкой зерен размером d рассчитывается по формуле
P (d ) = |
1 |
|
− |
(d − d0 )2 |
(2.51) |
||
|
exp |
2σd2 |
|
||||
2πσd |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Находясь сверху вяжущего, зерна щебня размерами d |
не всегда |
||||||
имеют возможность краем своих вершин попасть на уровень x . Это невозможно, если участок связки, где находятся данные зерна, пересекается с уровнем x . Тогда края вершин этих зерен всегда будут ниже уровня x . Вершины зерен никогда не попадут на уровень x , если вяжущий, где прикреплены зерна, находится на расстоянии xc от средней
линии профиля битума, поэтому d − xc > x.
Из-за того что значения ординат профилей битума определяются по закону нормального распределения, возможность (вероятность) попадания вершин активных зерен размером d на уровень x рассчитывается по формуле [30]
|
1 |
x |
|
|
2 |
|
|
|
P (xc ) = |
|
exp |
− |
xc |
|
dxc . |
(2.52) |
|
|
|
2 |
||||||
|
2πσc −(d − x) |
|
|
2σc |
|
|
||
При одинаковой вероятности выступания зерен над местом крепления в связку вероятность находится как P (U ) = d1 , d > x .
Вероятность появления вершины зерна размером d на уровне x вычисляется как
P (dx) = |
1 |
1 |
|
|
(d − d0 )2 |
|
x |
|
|
|
xc2 |
|
|||
|
|
|
exp |
− |
2 |
|
|
|
|
exp |
− |
|
dxc . |
(2.53) |
|
d |
|
2πσcσd |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
2σd |
|
− |
d − x |
) |
|
|
2σc |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|||
Взяв отношение этой вероятности к общей вероятности появления вершин, выступающих над связкой зерен щебня на уровне х, получим формулу
110