книги / Механика материалов. Методы и средства экспериментальных исследований

2

Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, повернутых на угол π2 по отношению к главным, и определяются следующим образом:

максимальные значения нормального и касательного напряжений будут равны соответственно:

При рассмотрении напряженного состояния в точке часто выделяют шаровую и девиаторную части. Шаровая часть (характеризуется значением среднего напряжения σ) выделяет из напряженного состояния равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменяется объем данного элемента тела без изменения формы.

Девиатор напряжений

где символы Кронекера δij определяются по следующему правилу:

и характеризует состояние сдвига, при котором изменяется форма элемента без изменения его объема. Следовательно, девиатор

11

теризуется тремя значениями σ11 , σ22 и τ12 , а формулы пересчета компонент напряжений при повороте системы координат (рис. 1.3) имеют вид:

Из последней формулы следует, что главные напряжения будут действовать на площадках, полученных при повороте системы координат на угол α0 , для которого справедливо выражение

12

В этом случае главные напряжения могут быть найдены по формуле

здесь знак «+» соответствует напряжению σ1 , а знак «–» – напряжению σ2 .

Максимальное касательное напряжение при плоском напряженном состоянии определяется соотношением

Наиболее наглядно зависимости напряжений от ориентации площадок иллюстрируются с помощью круговых диаграмм О. Мора (рис. 1.4, 1.5).

При осевом растяжении или сжатии стержня постоянного по длине поперечного сечения в нем реализуется одноосное напряженное состояние. Нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной оси нагружения x1 , определяется как отно-

13

Этим объясняется тот факт, что при испытаниях на одноосное нагружение образцов из различных материалов происходит разрушение от отрыва по плоскости поперечного сечения и от сдвига по наклонным сечениям.

С целью анализа деформированного состояния [6] рассмотрим деформацию элементарного объема в виде куба с ребрами длиной l0 и направим оси x1 , x2 и x3 вдоль ребер. При его деформации изменяются длины ребер и углы между ними. Конструкционные материалы допускают обычно небольшие деформации до разрушения. Поэтому мы ограничимся изучением таких деформаций куба, при которых изменения длин его ребер (удлинения) малы по сравнению с начальной длиной ребер, а изменения углов между ребрами (сдвиги) малы в сравнении с начальными прямыми углами между ними. Такую деформацию куба можно представить как сумму (суперпозицию) шести элементарных деформаций, показанных на рис. 1.7.

В первых трех случаях углы остаются прямыми, а изменяются только длины ребер соответственно на малые величины

14

Таким образом, деформированное состояние в точке характеризуется шестью независимыми значениями компонент деформаций εij :

Как математический объект (тензор второго ранга) тензор деформаций с компонентами εij не отличается от тензора

напряжений с компонентами σij и обладает всеми рассмотрен-

ными свойствами.

В качестве инвариантных характеристик деформированного состояния обычно используют величины относительного изменения объема (первый инвариант)

и интенсивности деформаций (второй инвариант)

При изучении понятий «напряжение» и «деформация» материал рассматривается как сплошная среда, при этом знания конкретных его свойств не требуется. Опытное установление связи между напряжениями и деформациями является фундаментальной задачей экспериментальной механики, поскольку

16

PNRPU

позволяет выявить свойства и закономерности механического поведения материалов, лежит в основе выбора той или иной модели механического поведения и определения ее параметров, расчета напряженно-деформированных состояний (НДС) деталей и элементов конструкций.

1.2. МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Механическое поведение материалов при различных термомеханических воздействиях является весьма разнообразным и сложным. Обобщение экспериментально выявленных зависимостей и принятие некоторых идеализаций приводят к той или иной модели механики деформируемого твердого тела, которая с достаточной для практического использования точностью должна описывать поведение материала в определенных ограниченных условиях внешних воздействий. Константы и функции, которые позволяют в рамках выбранной модели отличить один материал от другого, называются материальными константами и функциями, находятся они в результате испытаний образцов из рассматриваемого материала.

К числу основных моделей механического поведения материалов следует отнести модели упругости, пластичности, вязкоупругости, критерии предельных состояний и др.

При построении моделей различают изотропные материалы, свойства которых не зависят от направления приложения нагрузок, и анизотропные, обладающие различными свойствами в различных направлениях.

Модели упругого поведения материалов. В основе моде-

лей упругого поведения материалов лежит допущение о линейной связи напряжений и деформаций, что соответствует начальной стадии деформирования, когда напряжения еще не вызывают каких-либо необратимых изменений в структуре материала.

17

При одноосном напряженном состоянии (растяжении или сжатии в направлении x1) принимается закон Гука в виде

где E – модуль упругости материала, называемый модуль Юнга

(Па). Поперечные деформации при одноосном растяжении или сжатии определяются с использованием коэффициента Пуассона ν, являющегося также деформационной константой материала:

Коэффициент Пуассона – величина безразмерная. Теоретически диапазон изменения ν от –1 до 0,5. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов ν > 0 .

В другом практически важном частном случае плоского напряженного состояния – чистом сдвиге, когда находится такая ориентация площадок, что на них действуют только касательные напряжения, закон Гука имеет вид:

Модуль упругости в данном случае называется модулем сдвига G .

В общем случае напряженно-деформированного состоянии для изотропных материалов обобщенный закон Гука выражается соотношениями:

τ12 = 2Gε12 , τ23 = 2Gε23 , τ13 = 2Gε13 .

18

Напряжения и деформации в упругом изотропном теле можно связать также взаимно обратными соотношениями:

где δij , σ и θ – введенные ранее символы Кронекера, среднее на-

пряжение и относительное изменение объема, λ и µ константы материала, называемые параметрами Ламе.

Связь между средними напряжениями и относительным изменением объема выражается соотношением с использовани-

ем модуля объемной деформации K:

Из рассмотренных пяти упругих постоянных изотропного материала E, ν, K, λ и µ независимыми являются только любые две, зная которые можно определить все остальные согласно соотношениям:

Все упругие константы материала, за исключением безразмерной величины ν, имеют размерность напряжения, или давления – Па.

19

При нагревании тела в нем возникают температурные деформации, которые суммируются с деформациями, вызванными напряжениями:

τ12 = 2Gε12 , τ23 = 2Gε23 , τ13 = 2Gε13 .

Здесь ∆ T – приращение температуры, α – коэффициент линейного теплового расширения. Следует обратить внимание,

что сдвиговые деформации при нагревании или охлаждении изотропного тела не возникают.

Анизотропные материалы отличаются большим количеством упругих констант. Упругое поведение трансверсальноизотропного материала (x3 – ось анизотропии, x1x2 – плоскость изотропии, в которой свойства не зависят от направления) определяется пятью независимыми константами, а закон Гука выражается следующими соотношениями [11]:

20