книги / Механика материалов. Методы и средства экспериментальных исследований
.pdfЗдесь E и E′ – модули Юнга для растяжения (сжатия)
вплоскости изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней,
ν– коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости,
ν′ – то же при растяжении в направлении, нормальном к плоскости изотропии, G и G′ – модули сдвига для плоскости изотропии и любой плоскости, перпендикулярной к ней. Одна из указанных величин являетсязависимой, и справедливо уравнение связи
G = |
E |
|
2(1 + ν) . |
(1.37) |
Материал, имеющий три взаимно ортогональные плоскости симметрии и три взаимно ортогональных главных направления (соответствующие оси называются осями ортотропии), свойства в которых в общем случае отличаются, называется ор-
тотропным. Закон Гука для ортотропного материала в осях ортотропии записывается следующим образом:
ε11 |
= |
1 |
σ11 − |
ν21 |
σ22 – |
ν31 |
σ33 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
E1 |
E2 |
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ε22 |
= − |
ν12 |
σ11 |
+ |
1 |
|
σ22 |
– |
ν32 |
σ33 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
(1.38) |
||||||||||
|
|
|
|
ν13 |
|
|
|
|
|
ν23 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε33 |
= − |
σ11 |
– |
|
σ22 |
+ |
σ33 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
γ12 |
= |
1 |
τ12 , |
γ13 |
= |
1 |
τ13 , |
γ23 |
= |
1 |
τ23 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
G12 |
|
|
|
|
|
|
G13 |
|
|
G23 |
|
||||||||||||||||
Дополнительные уравнения связи: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
E1ν21 = E2 ν12 , E2 ν32 = E3 ν23 , |
E3 ν13 = E1ν31 . |
(1.39) |
Таким образом, из 12 упругих постоянных ортотропного материала 9 являются независимыми и подлежат опытному определению.
21
Модели пластического деформирования материалов.
При достижении определенного фиксированного для данного материала напряженно-деформированного состояния при квазистатическом нагружении линейность связи напряжений и деформаций нарушается, в среде начинают происходить необратимые структурные изменения, приводящие к тому, что после снятия нагрузки наблюдаются остаточные деформации. Пластическая деформация определяется как совокупность компонент тензора деформаций, сохраняющихся в рассматриваемой точке среды, когда все компоненты тензора напряжений в этой точке обращаются в нуль [5].
В качестве простейших условий начала пластического деформирования изотропных материалов используются критерии Треска–Сен-Венана и Хубера–Мизеса–Хенки [5, 15].
Согласно критерию Треска–Сен-Венана переход из упругого состояния в пластическое происходит независимо от вида напряженного состояния, когда максимальное касательное напряжение достигает определенного для данного материала значения, называемого пределом текучести при чистом сдвиге τT (определяется из опыта на кручение):
τmax = |
σ1 − σ3 |
= τT |
(1.40) |
|
|||
2 |
|
|
|
или |
|
||
σ1 − σ3 = σT , |
(1.41) |
где σ1 и σ3 соответственно максимальное и минимальное главное напряжение, σT – предел текучести материала при одноосном растяжении.
Согласно критерию Мизеса (Хубера–Мизеса–Хенки) переход из упругого состояния в пластическое связывается с величиной интенсивности напряжений:
22
|
|
|
|
|
σи = σT , |
(1.42) |
σи = |
1 |
|
(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 + 6(τ122 + τ232 + τ132 ) = |
|||
|
|
|
||||
2 |
|
|
||||
= |
1 |
|
|
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 . |
|
|
|
|
|
|
2
В пространстве главных напряжений критерию пластичности Мизеса соответствует поверхность текучести в форме
кругового цилиндра с радиусом |
2 |
σT [15], равнонаклоненного |
|
3 |
|
осям σ1, σ2 и σ3. Вписанная в этот цилиндр правильная шестигранная призма соответствует поверхности текучести по критерию Треска– Сен-Венана. На рис. 1.8 показано сечение призмы и цилиндра плоскостью σ3 = 0, соответствующее плоскомунапряженномусостоянию.
Естественно, что критерии начала пластического деформирования анизотропных материалов являются более сложными.
Например, вариант условия пластического деформирования Мизеса для ортотропной среды мо-
жет быть представлен в виде:
Рис. 1.8. Графическое представление критериев пластичности Хубера– Мизеса–Хенки (1) и Треска– Сен-Венана (2) при плоском напряженном состоянии
σ11 2 |
σ22 |
2 |
σ33 |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
σ11σ22 |
− |
|||||||
|
|
σ22T |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
σ11T |
|
|
|
|
|
σ33T |
|
|
σ11T |
|
|
σ22T |
|
|
σ33T |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
σ22 |
σ33 |
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
σ11σ33 |
+ (1.43) |
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
σ22T |
|
|
σ33T |
|
σ11T |
|
|
|
|
|
σ33T |
|
|
σ11T |
|
σ22T |
|
|
|||||||||||||||
|
|
τ12 |
2 |
|
τ23 |
2 |
|
τ13 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
τ12T |
|
|
τ23T |
|
τ13T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Таким образом, чтобы конкретизировать данное условие для исследуемого материала следует в результате проведения независимых экспериментов на образцах, вырезанных из материала в различных направлениях, определить пределы текучести при одноосном растяжении для трех взаимно ортогональных направлений (осей ортотропии): σ11T (в направлении x1), σ22T (в направлении x2) и σ33T (в направлении x3), а также пределы текучести при чистом сдвиге в трех плоскостях: τ12T (в плос-
кости x1x2), τ23T (в плоскости x2x3) и τ13T (в плоскости x1x3). Теория пластичности устанавливает связь между напря-
жениями и деформациями (деформационные теории) или скоростями изменения деформаций (теории пластического течения).
Деформационная теория малых упругопластических деформа-
ций А.А. Ильюшина [8] основывается на следующих гипотезах.
Упругость объемной деформации. Изменение объема про-
исходит только за счет упругих деформаций. Связь между средним напряжением и относительным изменением объема на этапе пластического деформирования остается линейной,
σ = Kθ . |
(1.44) |
Пропорциональность девиаторов. Компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонентам девиатора деформаций, связь между ними может быть представлена в виде
sij = |
2 |
|
σи |
eij . |
(1.45) |
|
|
||||
3 |
|
εи |
|
Гипотеза единой кривой. Независимо от вида напряженного состояния для каждого материала имеется универсальная зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций:
σи = Φ (εи ) . |
(1.46) |
24
Графическое представление этой зависимости называется
диаграммой деформирования материала. Построение диаграм-
мы деформирования для исследуемого материала является задачей экспериментальной механики.
Часто зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций, а также связь девиаторов записывают в виде соотношений, представляющих собой обобщение уравнений теорииупругости:
σи = 3G 1 − ω(εи ) εи , |
sij = 2G 1 − ω(εи ) eij . |
(1.47) |
||
|
|
|
|
|
Функция ω(εu) называется функцией пластичности А.А. Ильюшина, описывает пластические свойства конкретного материала и определяется экспериментально.
Поведение материала при разгрузке после возникновения пластических деформаций описывается линейными соотношениями с начальным модулем упругости:
sij − sij′ = 2G (eij − eij′ ) , |
(1.48) |
где штрихом помечены величины, достигнутые к моменту начала разгрузки.
Соотношения деформационной теории пластичности справедливы в случае простого нагружения. Нагружение называется простым, если все компоненты напряжений изменяются пропорционально одному общему параметру (например, времени t), т.е.
σij = tσij0 . Здесь σij0 – некоторые постоянные заданные значения.
В противном случае нагружение называется сложным. Например, рассмотрим растяжение и кручение тонкостен-
ного цилиндрического образца. На рис. 1.9 схематично изображена рабочая зона образца (P – осевая сила, M кр – крутящий мо-
мент, δ – толщина стенки образца, Rср – средний радиус), в которой реализуется плоское напряженное состояние:
σ = |
P |
, |
τ = |
M кр |
. |
(1.49) |
|
2πRсрδ |
2πRc2рδ |
||||||
|
|
|
|
|
25
Рис. 1.9. Нагружение трубчатого образца
При согласованном изменении внешних воздействий P и M кр пропорционально одному параметру компоненты напря-
жений будут изменяться также пропорционально этому же параметру, чему соответствует траектория нагружения в виде прямой линии (1, рис. 1.10). Реализуя сначала растяжение, а затем кручение (2, рис. 1.10), или наоборот (3, рис. 1.10), получим траектории
нагружения в виде ломаных.
|
Во всех трех случаях в т. A |
|
|
достигается одно и то же напря- |
|
|
женное состояние ( τ = τ , σ = σ ), |
|
Рис. 1.10. Траектории |
однако если имело место пластиче- |
|
ское деформирование, то достигну- |
||
нагружения образца |
||
тое деформированное состояние бу- |
||
|
||
|
дет зависеть отистории нагружения. |
Модели вязкоупругого деформирования материалов.
Вязкоупругое поведение свойственно, в первую очередь, полимерным материалам, а также бетонам, композитам и др. Проявляется оно в изменении напряженно-деформированного состояния тела (образца, элемента конструкции) при неизменных внешних воздействиях.
Явление роста деформаций при постоянных напряжениях называется ползучестью. Схема опыта и кривая ползучести приведены на рис. 1.11. К образцу прикладывается постоянное уси-
26
Рис. 1.11. Опыт на ползучесть
лие. Возникающее напряжение σ = P F0 ( F0 – начальная пло-
щадь поперечного сечения образца в рабочей зоне) не изменяется в ходе эксперимента. В начальный момент времени прикладываемая нагрузка вызывает появление мгновенной деформации εм = σ E (E – модуль упругости, в данном случае называемый
мгновенным). С течением времени деформации увеличиваются. Если приложенное напряжение не слишком велико, то деформация асимптотически приближается к значению εд = σ H (H – длитель-
ный модуль). В противном случае процесс ползучести может привести кувеличению скорости деформации и разрушению образца.
Явление уменьшения напряжений в теле при постоянных деформациях называется релаксацией. Схема опыта и кривая релаксации приведены на рис. 1.12. В этом случае образец «мгновенно» растягивается на величину u и фиксируется. Возникшая деформация ε = ul0 в дальнейшем не изменяется. В начальный мо-
мент в образце возникает напряжение σм = Eε , которое с течением времени уменьшается и приближается квеличине σд = Hε.
Характер кривых ползучести и релаксации определяется природой материала и несет информацию о его реологических свойствах.
27
Рис. 1.12. Опыт на релаксацию
В общем случае напряжение на интервале времени 0 ÷ t может изменяться в соответствии с законом нагружения σ(τ) .
Для определения значения деформации в момент времени t может быть использовано интегральное уравнение
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
ε(t ) |
= |
σ(t ) + ∫ Γ |
(t− |
τ)σ(τ)dτ . |
(1.50) |
|||
|
||||||||
|
|
E |
0 |
|
|
|
||
Функция Γ (t− |
τ) |
определяется свойствами материала и на- |
зывается ядром ползучести.
Если деформация на интервале времени 0 ÷ t изменялась в соответствии с законом деформирования ε(τ) , то для нахождения значения напряжения в момент времени t можно воспользоватьсяинтегральным уравнением с ядром релаксации R (t − τ) :
|
t |
|
|
σ(t ) = E ε(t ) − ∫ R (t − τ)ε(τ)dτ . |
(1.51) |
||
|
0 |
|
|
Для описания поведения реальных материалов используются различные виды ядер ползучести и релаксации. Реологиче-
28
ские |
константы материалов при выбранном виде функций |
Γ (t− |
τ) и R (t − τ) находятся из экспериментально полученных |
зависимостей в опытах на ползучесть и релаксацию с учетом того, что при ε = const
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
ε = Φ |
(t )ε, |
(1.52) |
|
σ(t ) = E 1 |
− ∫ R (t − τ)dτ |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а при σ = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ε(t ) = |
1 |
|
|
t |
|
(t− |
τ)dτ |
|
(t )σ. |
|
||
1 |
+ |
∫ |
Γ |
|
σ= Ψ |
(1.53) |
||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В случае сложного напряженного состояния для изотропной среды часто принимают предположение об упругом изменении объема σ = Kθ и устанавливают связь девиаторов напря-
жений и деформаций в виде: |
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
sij (t ) = 2G eij (t ) − ∫ R′(t − τ)eij (τ)dτ , |
(1.54) |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
eij (t ) = |
sij (t ) + ∫Γ ′(t− |
τ) sij (τ)dτ . |
(1.55) |
|||
|
||||||
|
2G |
0 |
|
|
Представленные модели дают лишь начальное представление о моделях механики деформируемого твердого тела [18], непрерывно развиваемых с целью описания все новых эффектов механического поведения материалов и конструкций, закономерностей их деформирования и разрушения. Описанию данных моделей и теорий посвящена обширная специальная литература.
Использование каждой модели предполагает возможность идентификации параметров, т.е. опытного, на основе изучения реакции материала на внешние воздействия, определения соответствующих значений материальных констант (механических характеристик), относящихся к конкретному материалу.
29
1.3. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
С целью изучения особенностей механического поведения материалов и определения их механических характеристик проводятся экспериментальные исследования на образцах из данных материалов. К числу наиболее распространенных относятся испытания на одноосное растяжение, сжатие, кручение, изгиб и другие.
В результате эксперимента на одноосное растяжение получают зависимости усилий P от перемещений u. Для описания поведения исследуемых материалов необходимо перейти к характеристикам, которые не зависят от геометрии тела, а именно к напряжению σ и деформации ε:
σ = |
P |
, |
ε = |
l − l0 |
= |
∆ l |
, |
(1.56) |
|
|
|
||||||
|
F0 |
|
l0 |
|
l0 |
|
где F0 – начальная площадь поперечного сечения образца, l0 – начальная длина образца в рабочей части, l – длина образца после деформирования рис. 1.13.
Рис. 1.13. Схематичное изображение образца
сдлиной рабочей части l0
иплощадью поперечного сечения F0
Напряжения и деформации, определенные таким образом, называют условными напряжениями и деформациями. Для того чтобы вычислить напряжения σuст и деформации εuст, называемые истинными, необходимо знать данные о геометрических размерах образца в данный момент времени в процессе испытаний: площадь поперечного сечения F и длину рабочей части l. Указанные величины определяются по формулам:
|
P |
l |
dl |
|
|
σuст = |
, εuст = ∫ |
= ln(1+ ε) . (1.57) |
|||
F |
|
||||
|
0 |
l |
|||
|
|
|
|
30