ВВЕДЕНИЕ

Любая область деятельности в современном обществе связана с об­ меном информацией. Недаром сказано: «Кто владеет информацией - вла­ деет миром». Поэтому современные информационно-управляющие и теле­ коммуникационные системы должны решать задачи по обеспечению на­ дежной передачи больших объемов информации. При этом качество пере­ дачи информации характеризуется двумя взаимосвязанными понятиями: достоверностью и помехоустойчивостью.

Под достоверностью понимается степень соответствия принятого и переданного сообщений (для аналоговых систем) или отношение ко­ личества правильно принятых сообщений к общему количеству приня­ тых сообщений за определенный интервал времени (для цифровых сис­ тем). Помехоустойчивость заключается в способности системы обеспе­ чить высокую достоверность на фоне помех. Поскольку основной при­ чиной снижения достоверности является воздействие помех, то можно считать помехоустойчивость важнейшей характеристикой качества пе­ редачи.

Целью настоящего учебного пособия является рассмотрение вопро­ сов, связанных с повышением помехоустойчивости цифровых систем пере­ дачи информации. В соответствии с поставленной целью построена струк­ тура настоящего учебного пособия. В 1-й главе анализируются модели дис­ кретных каналов связи. Во второй главе рассматриваются принципы опти­ мального приема сигналов в каналах связи. 3-я глава посвящена принципам помехоустойчивого кодирования сообщений. В главах 4,5,6,7 и 9 рассмат­ ривается применение избыточных кодов (комбинаторных, алгебраических, арифметических) в каналах без памяти и с памятью. В 8-й главе анализиру­ ются методы повышения достоверности (многократное повторение и при­ менение обратных связей). Указанные вопросы разбираются с необходимым для освоения студентами уровнем математического описания, сопровожда­ ются структурными схемами устройств и систем, иллюстрируются большим количеством примеров.

Для успешного освоения вопросов, освещаемых в настоящем учеб­ ном пособии, студенты должны предварительно изучить следующие дис­ циплины: «Теория вероятности и математическая статистика», «Электро­ ника», «Основы схемотехники», «Основы теории цепей», «Математика», «Дискретная математика», «Математические основы теории систем». Во­ просы, рассматриваемые в предлагаемом учебном пособии, окажут суще­ ственную помощь студентам при освоении общепрофессиональных и спе­ циальных дисциплин, например, «Основы построения телекоммуникаци­ онных систем и сетей», «Цифровые системы передачи» и других.

Учебное пособие ориентировано на студентов направлений 210400 «Телекоммуникации» (специальность 210406 «Сети связи и системы ком­ мутации») и 220200 «Автоматизация и управление» (специальность 220201 «Управление и информатика в технических системах»). Оно рекомендует­ ся в качестве методических материалов при изучении следующих дисцип­ лин: «Теория электрической связи» (210400), «Передача данных в инфор- мационно-управляющих системах» (220201), а также других дисциплин, в которых изучается указанный круг вопросов.

Авторы надеются, что данное учебное пособие окажет существен­ ную помощь студентам при изучении способов обеспечения помехоустой­ чивости передачи и обработки цифровой информации в современных ин- формационно-управляющих и телекоммуникационных системах.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ

1.1. Одноканальная система передачи информации

Одноканальная система передачи информации (СПИ) является осно­ вой самых сложных сетей передачи данных, телекоммуникационных сетей при реализации ими процесса помехоустойчивой передачи информации с использованием различных технологий. Поэтому прежде всего рассмот­ рим основные процессы преобразования информации в СПИ [1]. На рис. 1.1 показана структурная схема одноканальной СПИ.

Рис. 1.1. Развернутая структурная схема одноканальной СПИ

Поясним рисунок. С выхода источника информации (ИИ) сообще­ ние или отображающий его сигнал, который является, в общем случае, аналоговой функцией времени, поступает на вход кодирующего преобра­ зователя или кодера источника (КИ), реализующего аналого-цифровое преобразование. На рис. 1.2 приводятся эпюры напряжений сигналов на выходе блоков одноканальной СПИ.

Оси координат помечены цифрами, соответствующими цифрам на выходе блоков СПИ на рис. 1.1. Эпюры напряжений сигналов, наблюдае­ мых в этих точках, будут комментироваться по ходу изложения.

Свыхода КИ избыточный m-значный кодовый сигнал поступает на вход кодера канала (КК), реализующего помехоустойчивое кодирование, т.е. КК ставит в соответствие m-значному информационному слову л-знач- ное кодовое слово избыточного кода, добавляя, например, к т информа­ ционным символам к избыточных символов так, что п - т + к. На рис. 1.2 (точка 3) т = 4; к = 3 и л = 7.

Свыхода КК л-значное сообщение поступает на вход модулятора (М), реализующего процесс модуляции. Под модуляцией понимают опе­ рацию линейного изменения одного или нескольких параметров перенос­ чика (П) в функции от передаваемого сообщения х:

ная фаза, а символу «О» - начальная фаза я. Для гармонического перенос­ чика канальный фильтр является полосовым фильтром.

На линейный сигнал воздействует помеха (£), поэтому на вход ка­ нального фильтра в составе приемника приходит сигнал S \ искаженный помехой. На рис. 1.2 (точка 5) искажена начальная фаза второго элементар­ ного сигнала. Различают две модели взаимодействия сигнала помехи и ли­ нейного сигнала: аддитивную (£ '= £ + £) и мультипликативную ( £ '= £ £ ) . Первая модель адекватно описывает искажение в канале связи, если основ­ ной причиной искажений являются атмосферные и промышленные шумы, процессы коммутации и прочие случайные внешние воздействия. Основная же причина мультипликативных помех - нестабильность передаточной функции, т. е. случайные изменения параметров линейных преобразовате­ лей, приводящие к случайному изменению амплитудно-частотной и фазоча­ стотной характеристик канала связи. В настоящем пособии используется аддитивная модель канала связи.

Под каналом связи понимают комплекс аппаратуры, включая линию связи, обеспечивающий независимую передачу сообщений одной пары «отправитель - получатель». На рис. 1.1 канал связи образуют модулятор, линия связи и демодулятор.

Продолжим анализ преобразований сигнала, имеющих место в одноканальной СПИ. На входе демодулятора наблюдается непрерыв­ ный сигнал, т.е. сигнал, являющийся непрерывной функцией времени, но с дискретным (конечным) множеством значений параметра модуля­ ции. В нашем примере это два значения начальной фазы. На выходе де­ модулятора наблюдается цифровой сигнал, т.е. сигнал, являющийся дискретной функций времени с дискретным множеством значений ам­ плитуд. В нашем примере число значений амплитуды выходной цифро­ вой последовательности равно двум.

Обозначим через мощность входного канального алфавита, т.е. число различных цифровых сигналов, наблюдаемых на входе модулятора, и соответственно число значений параметра модуляции. Как отмечалось выше, в анализируемом с помощью временной диаграммы примере рас­ сматривается двоичный канал типа 2 х 2, т. е. на входе модулятора (точка 3) и на выходе демодулятора (точка 6) (вход и выход цифрового канала связи) наблюдаются двоичные цифровые последовательности.

Из-за помехи в канале связи приемник (демодулятор) принял непра­ вильное решение относительно второго элементарного сигнала и вместо символа «О» получен символ «1», т. е. на выходе цифрового канала связи произошла ошибка перехода «О -» 1» (см. рис. 1.2, точка 6).

Свыхода демодулятора цифровая последовательность, содержащая

вобщем случае ошибки, поступает на вход канального декодера (КДК), реализующего тот или иной алгоритм декодирования избыточных кодов.

Алгоритмы декодирования разных видов избыточных кодов вносят разные временные задержки в определение места ошибки и ее исправление. Наи­ более популярными являются алгебраические (л, /и, */)-коды, рассматри­ ваемые в настоящем учебном пособии. КДК, реализующие различные ал­ горитмы исправления ошибок в алгебраических избыточных кодах, вносят задержку до 2п тактов. Поэтому ось 7 на рис. 1.2, соответствующая выходу КДК, на которой наблюдается исправленная информационная последова­ тельность, изображена с прерыванием во времени (так же, как и ось 8).

С выхода КДК скорректированная информационная последователь­ ность поступает на вход декодирующего преобразователя или декодера источника (ДКИ), который реализует операцию преобразования цифровой последовательности в квантованный отсчет и далее в аналоговый сигнал (см. рис. 1.2, точка 8). Восстановленный аналоговый сигнал с задержкой, обусловленной всеми операциями преобразования информации, поступает на вход получателя информации (см. рис. 1.2, точка 8).

В одноканальных СПИ различают поэлементный прием слож­ ных сигналов и прием их «в целом». Сложный сигнал соответствует передаваемому сообщению (буква, цифра, служебный символ и т. д.) и состоит из элементарных сигналов, соответствующих символам кодо­ вого алфавита.

В рассматриваемом (см. рис. 1.2) примере сложным сигналом явля­ ется кодовая последовательность (точки 2 и 3), а элементарные сообще­ ния - это двоичные сигналы (символы) «О» и «1» и соответствующие им элементарные линейные сигналы - фазоманипулированные двоичные сиг­ налы с начальными фазами «О» и «л» (точки 4 и 5).

При поэлементном приеме приемник, называемый первой решаю­ щей схемой (ПРС), принимает решение относительно каждого элементар­ ного сигнала в отдельности. Именно этот, наиболее распространенный способ приема иллюстрируется на рис. 1.1 и 1.2.

При приеме в целом ПРС и КДК, называемый второй решающей схемой (ВРС), совмещаются, и объединенная решающая схема выносит решение сразу относительно передаваемого сообщения. Прием «в целом» более оптимален по критерию вероятности правильной передачи сообще­ ния, чем поэлементный прием, но значительно сложнее в реализации.

ПРС при поэлементном приеме может реализовать два способа принятия решения о передаваемых символах: «жесткое» и «мягкое». При «жестком» принятии решения на выходе ПРС наблюдаются символы (соответствующие им элементарные сигналы) кодового алфавита, например, в двоичном канале это символы «О» и «1». Такой вид цифрового канала в дальнейшем называется каналом вида КА х КАили, в частности, 2x2. При «мягком» принятии решения на выходе ПРС наблюдаются сигналы из расширенного кодового алфавита мощности К д > КА. Эти сигналы несут дополнительную информацию об ис­

кажении аналогового элементарного сигнала на входе ПРС. Частными случая­ ми двоичного канала с «мягким» принятием решения являются каналы вида 2 х 8 или 2 х 3. Двоичный канал вида 2 x 3 называют в литературе каналом со стиранием. ПРС с «жестким» приняти­ ем решения проще в реализации и больше распространены. В то же время ПРС с «мягким» принятием решения являются более оптимальными и позволяют упростить процедуру декодирования.

В последующих параграфах данной главы детально исследуются ма­ тематические модели цифровых каналов связи, при этом основной упор делается на анализ каналов, реализующих поэлементный прием

с«жестким» принятием решения.

1.2.Математические модели дискретных каналов связи,

требования и классификация

К математическим моделям дискретных каналов связи (ДКС) предъ­ являются следующие основные требования:

1.Соответствие закономерностей распределения ошибок, получае­ мых при использовании данной модели, действительным закономерно­ стям, наблюдаемым в реальных каналах связи.

2.Возможность создания на основе данной модели методов расчета параметров систем передачи дискретной информации, точность которых удовлетворяла бы требованиям инженерной практики.

3.Минимальное количество параметров, используемых при описании последовательности ошибок в модели, и простота экспериментальных из­ мерений этих параметров на реальных каналах связи.

Известные модели каналов можно разбить на две группы:

1.Модели, описывающие ДКС с независимыми ошибками, или ДКС без памяти.

2.Модели, описывающие ДКС со статистически зависимыми (кор­ релированными) ошибками, или ДКС с памятью.

Ниже будут рассмотрены обе группы моделей ДКС.

1.3.Математические модели дискретных каналов без памяти

13.1. /г-ичный несимметричный ДКС без памяти (&НДКС)

Обозначим через к мощность входного канального алфавита {*/}, а через к '- мощность выходного канального алфавита {у/}, при этом

к’ > к. Исчерпывающим описанием всех статистических показателей явля­ ется матрица переходных вероятностей М. Все переходные вероятности необходимо определять экспериментально. Они и являются параметрами

Ребра графа событий нагружены вероятностью соответствующего события, т. е. вероятностью ошибки определенной величины.

Канальный граф, представленный на рис. 1.3,6, является, по сути, графической иллюстрацией матрицы переходных вероятностей.

Имея матрицу М Личного НДКС, можно аналитически определить все интересующие нас параметры потока ошибок и, следовательно, систе­ мы передачи дискретной информации.

Следует отметить, что в дискретном канале без памяти выделяется одно состояние канала, характеризуемое матрицей переходных вероятно­ стей М (см. рис. 1.3,а). В этом состоянии канал связи находится при любой передаче элементарного сигнала, независимо от событий предшествую­ щих передач.

Определим усредненные вероятностные показатели ошибки (р(е)) и правильной передачи символа (Рпр.) по НДКС:

/=1 7=1

Р пр = \ - Р ( е ) .

Величина р(е) оценивает вероятность ошибочных передач без учета величины ошибки.

В этом случае считаем, что при передаче любого символа могут про­ изойти только два события - правильная и ошибочная передачи. Учиты­ вая, что ошибки в канале появляются независимо с вероятностью можно допустить, что вероятность появления в л-элементной комбинации (серии) символов / ошибок Р(/, п) определяется биномиальным распреде­ лением:

п\

i\(n - /)!

Вероятность приема неискаженной комбинации (г = 0)

Приближенная оценка, при которой отбрасываются остальные чле­ ны ряда, допустима, если п • р(е) < 0,1.

Вероятность появления хотя бы одной ошибки

Заметим, что обозначения видаp(i /j) и pif идентичны.

Ошибки вида 0 —> 1 или 1 -> 0 называются ошибками перехода или ошибками трансформации.

Все вероятности, определенные по выражениям (1.3) - (1.6), спра­ ведливы в данном случае.

1.3.3./г-ичный симметричный ДКС без памяти (АСДКС)

Для симметричного канала справедливо выполнение следующих со­ отношений:

Тогда матрица переходных вероятностей М имеет вид

С учетом (1.1) справедливо q + ( k - \ ) p = 1. Размерность модели

NM= \.

Граф событий и канальный граф имеют вид, аналогичный виду гра­ фов, показанных на рис. 1.3.

с, с 2... СУ...СЛ)

Размерность каждой матрицы ошибок, как и в случае канала без памяти, равна \к х к\ (для £-ичного канала).

Для каждой строки матрицы выполняется условие нормирования:

I P ' CV W V/ = i J .

./=1 / '

Вид матрицы ошибок ДКП, находящихся в состоянии Cv

У 1 - О*. ~Ук

Х\

л/' =

)

*к

С учетом условия нормирования размерность каждой из R матриц ошибок, равная минимальному числу параметров, определяемых экспери­ ментально и однозначно задающих матрицу ошибок, составляет

Суммарное число параметров всех R матриц ошибок

Таким образом, полная размерность модели ДКП, с учетом (1.10) и (1.12), определяется как

Nn = 22 • 1= 4 и, согласно (1.12), N 0 = 2 • 1• 2 = 4. Полная размерность рассматриваемого ДКП, согласно (2.13), определяется как NM =4 + 4 = 8.

1.4.2. Двоичный дискретный канал с памятью глубины / (ДДКП) Матрица памяти ДДКП с числом состояний R имеет вид

12

1

2

Мп =

Р

R1

Следовательно, размерность матрицы памяти Мп определяется согласно (1.10).

Матрица ошибок ДДКП, находящихся в ц-м состоянии р = (1,Л), имеет вид

где Р;? - вероятность перехода символа / на входе ДДКП в символ j на

выходе ДДКП, находящемся в ц-м состоянии.

Размерность каждой из R матриц ошибок, согласно (1.11), определя­

ется как N 0 = 2.

Пример 1.3. Для данных примера 1.2 определим полную размерность модели ДДКП.

Согласно(1.14) NM =2 2 1+ 2-2 = 8.

Для частного случая симметричного двоичного ДКП глубины / (симметричность распространяется на матрицы ошибок ДСДКП) справед­ ливы следующие утверждения: Nn определяется из (1.10), N ^ = 1 и

Таким образом, с учетом (1.15) размерность модели NSi = Nn+ NQ= = 2 + 1 = 3, т. е. модель Гильберта полностью описывается тремя парамет­ рами: ре, p GB, pBG, которые должны быть определены экспериментально. Имея указанные параметры, можно аналитически вычислить вероятност­ ные показатели, характеризующие условия передачи информации по ДСДКП с глубиной памяти / =1.

Определим вероятности пребывания канала в состояниях G и В как

Если PGG или pBB велики, то наблюдается тенденция к сохранению возникшего состояния G или В, что и моделирует канал с пакетными (кор­ релированными) ошибками. В состоянии В возникает пакет ошибок.

Для вычисления вероятности возникновения ошибок определенной кратности в большинстве моделей ДСДКП, используемых на практике и описываемых простыми цепями Маркова, принимают следующее допу­ щение. Считается, что в различных состояниях памяти канала имеет место биномиальное распределение ошибок, с соответствующей вероятностью ошибки [3]. Тогда, с учетом изложенного, определим вероятность ошибки на символ в ДСДКП:

_ P Z P GB

P GB * P BG

Вероятность ошибки кратности i среди п символов, передаваемых по ДСДКП,

w ош (1v - р“ ош 7У (1.19)

: \г

Вероятность искажения кодовой серии длины п

Вероятность ошибки рошопределяется из (1.18) и учитывает память канала.

1.4.4. Модель Гильберта - Эллиота

Это четырехпараметрическая модель ДСДКП [2,4] с глубиной памя­ ти /= 1 и числом состояний канала R = 2. В отличие от предыдущей моде­ ли в данной модели допускается появление ошибок как в «хорошем» (G), так и в «плохом» (В) состояниях канала соответственно с вероятностями

РгО И pel-

Граф марковской цепи показан на рис. 1.6.

P GB

Рис. 1.6. Граф переходов и состояний ДСДКП модели Гильберта - Эллиота

Матрица памяти данной модели аналогична предыдущей. Матрица ошибок в v-м состоянии памяти канала имеет вид

С учетом (1.16) размерность модели

Контрольные вопросы к главе 1

1. Пояснить назначение основных элементов одноканальной систе­ мы передачи информации.

2.Построить временные диаграммы, поясняющие основные преоб­ разования сигналов одноканальной системы передачи информации.

3.Сформулировать основные требования и выполнить классифика­ цию моделей дискретных каналов.

4.Привести граф событий и канальный граф А:-ичного несиммет­ ричного дискретного канала без памяти (для значений к = 2 н к = Ъ).

5.Рассмотреть вероятностные характеристики Л-ичного несиммет­ ричного дискретного канала без памяти (для значений к - 2 и к = 3).

6.Определить вероятность ошибки для Л-ичного симметричного канала без памяти (для значений к = 2 и к = 3).

7.Построить матрицу памяти для дискретного канала с памятью, характеризующегося двумя состоянием (R = 2) и глубиной памяти / = 1.

8.Построить матрицу памяти для дискретного канала с памятью, характеризующегося двумя состоянием (R = 2) и глубиной памяти / = 3.

9.Проанализировать модели дискретных каналов с памятью на примере модели Гильберта для канала с глубиной памяти / =1.

10.Проанализировать модели дискретных каналов с памятью на примере модели Гильберта-Эллиота для канала с глубиной памяти / =1.

11.Проанализировать модели дискретных каналов с памятью на примере модели Пуртова для канала с глубиной памяти / =1.

2.ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИЕМНИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИГНАЛОВ

Вданной главе анализируются структуры и потенциальная помехо­ устойчивость оптимальных приемников различения двух сигналов на фоне «белого шума» (оптимальность по В.А. Котельникову). Как было показано

впредыдущей главе, оптимальный приемник элементарных сигналов, или первая решающая схема (ПРС), является важным узлом цифровых каналов

связи при реализации поэлементного приема сигналов, существенным об­ разом определяющим помехоустойчивость всей системы передачи инфор­ мации. С помощью ПРС организуются различные варианты двоичных ка­ налов связи: симметричный канал ((2 * 2)-канал), канал со стиранием ((2 * х 3)-канал), канал с «мягким» принятием решения ((2 х &)-канал). Поэтому изучению указанных выше вопросов уделяется большое внимание в отече­ ственной и зарубежной литературе.

2.1. Представление сигналов в Евклидовом и Гильбертовом пространствах

Сигналы существуют в определенном пространстве. В зависимости от размерности пространства, рассмотрим две модели пространства: Евк­ лида и Гильберта.

Евклидово пространство (ЕП - L\) - это конечномерное пространст­ во, в котором финитный сигнал с конечным, т. е. ограниченным спектром, задается конечным числом координат. В ЕП величина сигнала X(t) (длина вектора X ) задается с помощью нормы ЕП - | | П у с т ь X и Y - два вектора

в /i-мерном ЕП, т. е. X = (xl,x2,...,xh ...,xn) и 7 =(ух,у2у ^ У п ^ У пУ Тогда квадрат нормы (квадратичная норма) вектора X

/=1

Расстояние между X и Y - (dX}) определяется как квадратичная нор­ ма разности двух векторов:

Установим взаимосвязь между введенной метрикой ЕП и физиче­ скими характеристиками финитного сигнала с конечным спектром. Ана­ лизируемый сигнал S(t) с длительностью Т (0< / < Т) и спектром Fmможет быть приближенно представлен с помощью усеченного ряда Котельникова [6,7,8,9]:

Обозначим —151,(/) • ^ 2 (^)d/ = ^*1,2 - коэффициент корреляции S,(f)

и S2(t) сигналов. С учетом введенных обозначений

Покажем, что -1 < Х] 2 < 1. Действительно:

1. Если S, (/) и S2(t) одинаковы по величине и сонаправлены (5, (()

= $2(0)* то ^ 1,2 = 1- Это означает, что корреляция между сигналами мак­

симальна.

2. Если 5, (/) и S2(t) взаимно ортогональны, то Я.12 = 0. Это озна­

чает, что корреляция между сигналами принимает промежуточное значе­ ние между максимальным и минимальным.

3. Если Sx(t) и S2(t) одинаковы по величине и противоположны (противонаправлены), т. е. S} (г) = - S 2(t), то h l 2 = -1. Это означает, что

корреляция между сигналами минимальна.

Для указанных трех случаев d*2 соответственно имеет следующие

Можно сделать вывод, что противоположные сигналы имеют мак­ симальное расстояние друг относительно друга, или максимальную разли­ чимость. Показатель различимости сигналов играет важную роль для организации надежного и эффективного приема сигналов из линии связи на фоне помех.

|[5,(0-52(/)]2df>0

О

т т т

2|л,(0 •S 2 (t)dl < \s f (t)dl + {S%(t)dt.

В случае Е}= Е2 = Е

Неравенство (2.14), являющееся необходимым условием различимо­ сти двух сигналов равных энергий, представляет собой частный случай из­ вестного неравенства Буняковского - Шварца для подобных сигналов. Выражение (2.14) может быть представлено в виде

( S r s 2) < m 2 =ts2f

Разделим левую и правую части данного выражения на значение квадрата нормы сигнала, тогда условие различимости двух сигналов за­ пишется в виде

0 < г < 2. Для сигналов, тождественно равных друг другу, г = 0; для орто­ гональных сигналов г = 1; для противоположных сигналов г = 2. Таким образом, мерой различимости двух сигналов может быть и расстояние ме­ жду сигналами (</|.2), и относительная различимость (г).