проще исходной. Действительно, поиск седловой точки функ­ ции Лагранжа в соответствии с (7.15) означает минимизацию функции Лагранжа по переменным х.

7.5. Двойственная функция

Рассмотрим задачу нелинейного программирования (7.12), не имеющую ограничений типа равенства, предполагая, что целевая функция /о(ж), а также функции рДж), i = 1 , га, опре­

Действительно, функция Лагранжа удовлетворяет неравенству ^ /о(ж), ж G ft, /х 6 R™. Из этого неравенства вытекает,

что

= inf Ь{х,ц) < inf / 0(ж) < /о(®)-

Теорема 7.9. Бели для некоторых ж* G ft и /х* € R™ верно равенство /о(ж*) = то функция /о(ж) в точке ж* достигает наименьшего значения на множестве ft, а функция го(/х) в точке ц* — наибольшего значения на множестве R™.

◄Из неравенства (7.19) для ж = х* с учетом равенства /о(ж*) = = w(n*) заключаем, что

ш(/д)< ш(/4*), /X GR™

Это и означает, что значение функции и>(ц) в точке /х* является наибольшим на множестве R™.

®бП , т.е. при заданном ц = ц* функция Лагранжа достигает на множестве О, наименьшего значения в точке ж*. Поэтому w(n*) = Далее, снова используя определение седло­ вой точки, заключаем, что Ь(х*,ц*) > L(x*,0) = /о (ж*), откуда /о(ж*) ^ Сопоставляя последнее неравенство с неравен­ ством (7.19), получаем равенство /о(®*) =

Пусть для х* £ Q и ц* G R™ верно равенство (7.20). Тогда, согласно теореме 7.9, точка ж* является точкой наименьшего значения функции /о (ж) на П, а точка ц* — точкой наиболь­ шего значения функции w{y) на R™. При этом

w(fj.*) = inf £,(*,/**) ^ L(ж*,р*) < /о(х*) = «>(***).

Следовательно,

L(x*,p*)= inf L(x,p*). хеп

Кроме того, L(x*,/х*) = /о(ж*), откуда, используя равенство (7.13), определяющее функцию Лагранжа, заключаем, что

тп

5 3 м?й (®*)=°»

г=1

где /х* = (/х*, ..., /х^). Так как все слагаемые в этом равенстве слева неотрицательны, то они все равны нулю, т.е. выполняется условие (7.16). Согласно теореме 7.8, точка (ж, /х) является седловой точкой функции Лагранжа. ►

Функцию определенную на соотношением (7.18), называют двойственной функцией по отношению к целе­ вой функции fo{x). Задачу поиска точки /х* Е К?1 наибольшего значения этой функции называют двойственной задачей по отношению к задаче минимизации функции /о (ж) на множестве £1, а теорему 7.10 — теоремой двойственности. Уста­ новленные свойства функции w(p) дают возможность вместо задачи поиска точки наименьшего значения целевой функции

решать двойственную задачу, которая может быть проще ис­ ходной. Найденное решение двойственной задачи далее можно использовать в качестве набора множителей Лагранжа и затем решать задачу минимизации функции Лагранжа.

Пример 7.3. В задаче

{х\ + х\ —> min;

2х\ + Х2 + 4 ^ О

найдем функцию ги(^х), двойственную по отношению к целевой функции /о(ж) = х\ + х\.

В данном случае допустимое множество f2 представляет со­ бой полуплоскость 2х\ + Х2 + 4 ^ 0. Чтобы найти двойственную функцию, нужно определить наименьшее значение функции Ла­ гранжа

L(X I,X2,/X) = х\ + х\ + fi(2xi + х2 + 4)

при ограничении 2х\ + Х2 + 4 ^ 0. Такую задачу можно решить, используя теорему Куна — Таккера: для функции L(xi,X2,/i), считая fi фиксированным, построить функцию Лагранжа (т.е. функцию Лагранжа для функции Лагранжа), для чего необхо­ димо ввести параметры Ао и Д; затем на основании теоремы Куна — Таккера записать систему четырех уравнений относи­ тельно неизвестных жъ д?2, Ао и Д и решить ее; среди найден­ ных точек путем сравнения выбрать ту, в которой функция L(X I ,X2,^) принимает наименьшее значение. Учитывая, что функция L{x 1,^2,/i) при фиксированном /i является квадратич­ ной с положительно определенной матрицей, а значит, сильно выпуклой функцией (см. пример 3.13), можно утверждать, что она достигает на полуплоскости 2х\ + Х2 + 4 ^ 0 (это выпуклое множество) наименьшего значения (см. теорему 3.19). Следова­ тельно, выбранная точка будет точкой наименьшего значения функции L(xi,X2,/i). Значение функции L(xI ,X2,A0 в выбран­ ной точке, зависящее от /i, и есть значение функции iu(/x) при фиксированном ц.

Мы, однако, отступим от этой стандартной последователь­ ности действий и учтем специфику рассматриваемой задачи. В выражении для функции Лагранжа L(X I,X2 ,H) выделим пол­ ные квадраты по переменным х\ и Х2 и запишем эту функцию следующим образом:

L{x\,х2 ,ц) = (х !+ ц )2 + (х2 + ц /2)2 + 4 ц - - ц 2.

Из этого представления вытекает, что значением функции Лагранжа является квадрат расстояния от точки (—ц, —ц/2) до точки (xi, Х2 ) плюс величина 4ц —^ц2, не зависящая от точки (xi, хг). Следовательно, наименьшее значение функции Лагранжа (т.е. значение двойственной функции ад(ц)) равно квадрату расстояния от точки (—ц, —ц /2) до полуплоскости ft плюс 4ц — ^ц2. Если точка (—ц, —ц/2) попадает в ft, то расстояние от нее до ft равно нулю. Если же (—ц, —ц/2) ^ ft, то это расстояние есть расстояние от точки (—ц, —ц /2) до границы множества ft — прямой 2xi + Х2 + 4 = 0. Условие (—ц, —ц /2) € ft означает, что

2( - M ) + ( - f ) + 4 ^ ° .

или ц > 8/5. Расстояние р(ц) от точки (—ц, —ц /2) до прямой 2xi + Х2 + 4 = 0 равно [III]

р М = ! - 2 д ^ 2 ± 4|