книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdf
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шение, то она имеет бесконеч- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но много различных решений. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместная система является |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенной, если допус- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кает бесчисленное множество |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений. |
|
|
|
a11x + a12 y + a13 z = 0, |
|
Система (8) – однородная (все |
||||||||
8. |
a21x + a22 y + a23z = 0, |
(8) |
свободные члены равны ну- |
||||||||
|
a31x + a32 y + a33z = 0. |
|
лю). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
∆ ≠ 0 (для системы (8)). |
(9) |
Система |
имеет |
единственное |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение x = 0, y = 0, z = 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
∆ = 0. |
|
|
|
|
(10) |
Система (8) помимо нулевого |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения |
имеет |
бесконечно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
много ненулевых решений. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + y + z = −2, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 10, |
|
|
|
Задача 1. Решить систему 5x − y − z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y + 5z |
|
||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Здесь ∆ = |
|
5 |
− 1 |
− 1 |
|
= −48 . |
|
|
||
|
|
|
1 |
− 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ∆ ≠ 0, |
система имеет решение и притом единст- |
|||||||||
венное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найдем ∆ x , ∆ y , ∆ z : |
|
|
|
|
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ x = |
10 |
− 1 − 1 |
|
|
|
= −48 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 12 |
− 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ y |
|
= |
|
|
|
5 |
10 |
− 1 |
|
= 96 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 12 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ z |
= |
|
5 |
|
− 1 10 |
|
= 144 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 − 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Тогда по формулам |
|
(4) |
определяем |
|
решение системы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x = |
∆ |
x = |
− 48 |
= 1, |
y = |
|
∆ y |
|
= |
|
|
96 |
= −2, z = |
∆ |
z |
= |
|
144 |
|
= −3. |
|||||||||||||||||||
|
− 48 |
|
∆ |
|
|
|
− 48 |
|
∆ |
− 48 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ответ: x = 1; |
y = −2; z = −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3y − 4z = 5, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Задача 2. Решить систему |
|
− 3y + 6z = 11, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3y + 10z = 21. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
− 4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Здесь ∆ = |
|
2 |
− 3 |
|
6 |
|
|
|
|
= 0 . ∆ x |
= |
|
11 |
|
|
− 3 |
6 |
|
= −132 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
− 3 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
− 3 |
10 |
|
|
|||||||||||||||||
|
Поскольку ∆ = 0, ∆ x ≠ 0 , система несовместна. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y + 2z = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Задача 3. Решить систему |
|
+ y + z = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3y + z = 0. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
32
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Здесь ∆ = |
|
1 |
− 1 |
2 |
|
= −17 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
− 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
∆ ≠ 0 |
и система однородная, система имеет |
||||||||||||
единственное решение x = 0 , |
y = 0 , |
z = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
§ 5. Обратная матрица. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Матричный способ решения систем |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Основные формулы |
|
Определения |
|
||||||||||||
|
|
и замечания |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
A−1 |
– обратная матрица. |
(1) |
Матрица |
A−1 |
называется |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратной для |
квадратной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы |
А, |
если |
AA−1 = |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A−1 A = E , |
где |
Е – |
еди- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ничная |
матрица |
того |
же |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, что и матрица А. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить, что по- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нятие обратной |
матрицы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вводится только для квад- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратной |
матрицы, |
причем |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
невырожденной, т.е. опреде- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
литель ее отличен от нуля. |
|||||
2. |
Пусть |
A – |
квадратная матрица |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и невырожденная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a11 |
a12 ... |
|
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
|
|
a2n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
A = |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
an1 |
an2 ... |
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и замечания |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
|
|
|
A12 ... |
|
|
|
A1n |
|
|
A* – матрица, элементами |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 ... |
|
|
|
A2n |
|
|
которой являются алгебраи- |
||||||||
|
|
|
* |
|
|
A21 |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
ческие дополнения Aij для |
||||
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
... |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
элементов aij матрицы А. |
||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
~ |
|||||||
3. |
|
– |
присоединенная |
|
матрица |
|||||||||||||||||||||||
A |
|
|
Матрица A является |
|||||||||||||||||||||||||
для матрицы А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
транспонированной по |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A11 |
|
|
|
A21 ... |
|
|
|
An1 |
|
|
отношению к матрице A* . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
A12 |
|
|
A22 ... |
|
|
|
An2 |
|
(3) |
|
|||||||||||||
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1n |
|
|
A2n ... |
|
|
|
Ann |
|
~ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Все элементы матрицы A |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
∆(A) |
A |
|
|
|
|
|
|
|
делим на ∆(A) ≠ 0 – опре- |
|||||||||
|
|
|
|
A11 |
|
|
|
A21 |
|
|
|
|
|
An1 |
|
|
|
делитель матрицы А. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
∆ |
|
|
|||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A12 |
|
|
|
A22 |
... |
|
|
|
An2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
. |
(4) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
... |
|
|
... ... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
2n |
... |
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1, |
|
Система n-линейных урав- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нений с n-неизвестными. |
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 , |
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система неоднородная. |
|
............................................. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
+ ... + a |
|
|
|
|
|
= b . |
|
|
||||||||||
a |
n1 |
x |
n2 |
x |
2 |
nn |
x |
n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AX = B – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||||||
матричное уравнение системы, где |
|
34
Основные формулы |
|
Определения |
|
||||||
|
и замечания |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
a21 |
a22 |
... |
|
a2n |
, (7) |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
||
|
... ... |
|
... |
|
|
|
|||
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
ann |
|
|
|
|||
|
x1 |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
B = |
b2 |
|
|
|
|
|
X = |
, |
|
# |
. |
|
|
|
||
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
bn |
|
|
|
||
6. |
X = A−1B. |
|
|
(8) |
Если система (5) записана |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в форме матричного урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения (6) и матрица А сис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
темы невырожденная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение матричного |
урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
нения находим по форму- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ле (8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чтобы решить систему ли- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейных уравнений (5), дос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таточно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) составить матрицу |
A−1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
обратную матрице А, со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоящей из коэффициентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при неизвестных системы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) умножить матрицу В, со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоящую из столбца сво- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бодных членов, слева на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу A−1 . |
|
35
Задачи
Задача 1. Найти матрицу, обратную матрице
|
2 |
− 1 |
0 |
|
|
|
|
− 6 |
|
A = 5 |
3 |
. |
||
|
|
|
3 |
|
Решение. |
− 1 − 2 |
|
||
|
|
|
|
|
Матрица А – квадратная. |
|
|
|
|
2 |
− 1 |
0 |
|
|
Найдем ∆(A) = 5 |
3 |
− 6 = 3 . |
|
|
− 1 |
− 2 |
3 |
|
|
Поскольку ∆(A)≠ 0, матрица А – невырожденная, и, следо-
вательно, существует обратная ей матрица. Вычисляем алгебраические дополнения:
A = (− 1)1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 − 6 |
|
= −3 , A = (− 1)1+2 |
|
|
|
5 − 6 |
|
= −9 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = (− 1)1+3 |
|
|
5 |
3 |
|
= −7, A = (− 1)2+1 |
|
|
|
|
− 1 0 |
|
|
= 3, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
− 1 |
− 2 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = (− 1)2+ 2 |
|
2 0 |
|
= 6, |
|
|
|
A = (− 1)2+3 |
|
|
2 − 1 |
|
= 5, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
− 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A = (−1)3+1 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
= 6, |
|
|
|
A |
= (− 1)3+2 |
|
2 |
0 |
|
= 12, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
3 |
− 6 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
5 |
− 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = (− 1)3+3 |
|
|
= 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
− 9 |
− 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Составляем матрицу |
A* = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
6 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Транспонируем матрицу A* , получаем
|
|
|
~ |
− 3 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− 9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
= |
12 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
− 7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A−1 = |
|
|
1 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆(A) |
A . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− 3 |
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− 1 1 2 |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 = |
|
− 9 |
6 |
|
12 = |
− 3 2 4 |
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
5 |
11 |
|
|||
|
|
|
− 7 |
5 |
|
11 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Решить матричным способом систему уравнений
x + y − z = −2,
4x − 3y + z = 1,
2x + y = 5.
Решение.
В матричной форме эта система запишется в виде
|
|
1 1 |
− 1 |
x |
|
|
− 2 |
|
|||||
Здесь |
A = |
|
− 3 |
|
|
|
|
B = |
|
|
= |
||
4 |
1 |
, X = |
y , |
|
1 . X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 1 |
0 |
z |
|
|
5 |
|
|||||
Найдем A−1 . Имеем ∆(A) = |
|
1 |
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
− 3 |
1 |
= −9 ≠ 0 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX = B.
A−1B.
Вычислим алгебраические дополнения для aij матрицы А.
A11 = −1 , |
A12 = 2 , |
A13 = 10 , |
A21 = −1, |
A22 = 2 , |
A23 = 1 , |
A31 = −2 , |
A32 = −5 , |
A33 = −7 . |
37
− 1 |
2 |
10 |
~ |
− 1 |
− 1 − 2 |
||||
|
− 1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
− 5 |
|
|
A* = |
, тогда |
A = 2 |
. |
||||||
|
− 2 − 5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− 7 |
|
10 |
− 7 |
|
|
1 |
|
− 1 |
− 1 |
− |
2 |
|
x |
|
|
|
1 |
− 1 |
− 1 |
|
− 2 |
− 2 |
|||||||
|
A−1 = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 2 |
|
− |
5 и |
y = − |
|
2 |
2 − 5 |
1 = |
||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
10 1 |
|
7 |
|
z |
|
|
|
|
10 |
1 − 7 |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 −1−10 |
|
|
|
1 |
|
|
− 9 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
− 4 + 2 − 25 |
= − |
|
|
|
− 27 |
= 3 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 20 + 1− 35 |
|
|
|
|
|
|
− 54 |
6 |
|
|
|
|||||
|
Ответ: x = 1 ; |
y = 3 ; |
z = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 6. Ранг матрицы |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и замечания |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а11 |
а12 ... |
а1k |
... |
|
а1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а21 |
а22 ... |
а2k |
... |
|
а2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
A = ... ... ... ... ... ... |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
аk1 |
аk 2 ... |
аkk |
... |
|
аkn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... ... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
аm2 ... |
аmk |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
аm1 |
аmn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 ... |
a1k |
|
|
|
|
|
|
|
Минором |
k-го порядка |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы |
А называется |
||||||||||
|
|
M k = |
a21 |
|
a22 ... |
a2k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
. |
|
(1) |
определитель |
квадрат- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
ной матрицы, получаю- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ak1 |
|
ak 2 ... |
akk |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щийся из данной мат- |
|||||||||||||
Минор k-го порядка матрицы А. |
|
|
|
|
|
|
|
рицы выделением про- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
извольных k строк и k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцов. |
|
|
38
Определения и замечания
Замечание.
Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Некоторые из миноров матрицы могут быть равны нулю, другие отличны от нуля.
2. r(A) или rangA – ранг матрицы. (2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Следует запомнить,
что если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю.
Замечание.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Следует запомнить,
что для определения ранга матрицы используют:
39
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
Определения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
и замечания |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) метод окаймляющих |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
миноров; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) элементарные преоб- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разования матриц. |
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окаймляющим |
мино- |
|
|
|
a11 |
a12 ... |
a1k |
a1k +1 |
|
|
ром минора Mk |
поряд- |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
M k +1 = |
a21 |
a22 ... |
a2k |
a2k +1 |
|
.(3) |
ка k (1) матрицы А на- |
|||||||||
... |
|
... ... |
|
... |
|
... |
|
зывают минор порядка |
||||||||
|
|
ak1 |
ak 2 ... |
akk |
akk +1 |
|
|
k + 1 этой матрицы, со- |
||||||||
|
|
|
|
держащий минор Mk . |
||||||||||||
|
|
a |
k +11 |
a |
k +12 |
... |
a |
k +1k |
a |
k +1k +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
|
|
|
A ~ B . |
|
|
|
|
|
(4) |
Две матрицы А и В на- |
|||
Матрицы A |
|
и |
|
B – |
эквивалентные, |
зываются |
эквивалент- |
|||||||||
r(A) |
= r(B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ными, если одна из них |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получается |
из |
другой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с помощью элементар- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных преобразований. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует |
запомнить, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что элементарными пре- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образованиями |
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) перестановка |
места- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми двух строк матрицы; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) умножение всех эле- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ментов строки матрицы |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на число, отличное от |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуля; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) прибавление ко всем |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементам строки мат- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицы соответствующих |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов другой стро- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки, умноженных на од- |
40