книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdfОсновные формулы |
Определения |
|
и замечания |
||
|
||
|
но и то же число; |
|
|
г) вычеркивание стро- |
|
|
ки, все элементы кото- |
|
|
рой равны нулю. |
|
|
|
Задачи |
||
Задача 1. |
Составить всевозможные миноры третьего по- |
||||
|
2 |
− 1 |
3 |
1 |
|
рядка матрицы |
|
|
|
|
|
A = 4 |
0 |
1 |
5 |
. |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
− 1 |
Решение.
Для получения миноров третьего порядка надо выделить все три строки матрицы и каких-нибудь три ее столбца.
Таких миноров будет четыре:
M1 = |
|
|
2 |
− 1 3 |
|
, M 2 = |
|
|
2 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 0 1 |
|
|
|
4 |
0 |
|
5 |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
M3 = |
|
2 |
3 |
1 |
|
, M4 = |
|
|
− 1 3 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 1 |
5 |
|
|
0 |
1 |
5 |
. |
|||||||||||
|
|
2 |
1 |
− 1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
− 1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Задача 2. Определить ранг матрицы |
|
− 2 |
|
|
|
A = 1 |
4 |
5 |
. |
||
|
|
6 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
41
Решение.
Минор второго порядка M = |
1 |
2 |
= −4 ≠ 0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
|
Окаймляющие миноры: |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M1 = |
|
1 |
− 2 |
4 |
|
|
= 0 |
(окаймляли третьей строкой и третьим |
|||||
|
|
1 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
столбцом), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
M2 = |
|
1 |
− 2 |
5 |
= 0 |
(окаймляли третьей строкой и четвер- |
|||||||
|
|
1 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тым столбцом).
Следовательно, r(A)= 2. Базисный минор стоит на пересечении 1-й и 2-й строк с 1-м и 2-м столбцами.
Задача 3. Выполнить элементарные преобразования мат-
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
рицы |
|
− 2 |
|
|
|
и определить r(A). |
A = 1 |
4 |
5 |
|
|||
|
|
6 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
(б) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 2 |
3 |
4 |
1 2 |
3 4 |
|
||||||
A = |
|
|
− 2 |
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
5 0 |
1 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− 1 − |
|
|
||
|
1 6 |
3 |
0 4 |
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
(в) |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||
|
|
0 |
− 4 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− 4 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
a)элементы первой строки умножили на (–1) и сложили
сэлементами второй строки и с элементами третьей строки;
42
б) элементы второй строки сложили с элементами третьей строки;
в) вычеркнули третью строку, т.к. все элементы равны нулю. Ранг данной ненулевой матрицы равен числу ненулевых строк матрицы ступенчатого вида, эквивалентной данной мат-
рице.
В данном случае r(A)= 2.
Задача 4. Определить ранг и найти какой-либо базисный
|
5 |
1 |
− 4 |
− 2 |
|
минор матрицы |
|
− 2 |
|
|
|
A = 1 |
3 |
1 |
. |
||
|
|
1 |
5 |
− 2 |
|
|
3 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 − 4 − 2 |
|
1 − 2 |
3 |
1 |
|
|
|||||
A = |
|
− 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
5 1 |
− 4 − 2 |
|
||||||||
|
|
|
5 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
3 1 |
5 − 2 |
|
|
||||||
1 − 2 3 |
|
1 |
|
1 − 2 |
3 |
1 |
|
|||||
|
|
− 19 |
|
|
|
|
|
|
−133 |
|
|
|
0 |
11 |
|
− 7 |
0 |
|
77 |
− 49 |
|||||
|
|
− 4 |
|
|
|
|
− 77 |
44 |
|
|
|
|
0 7 |
|
− 5 |
|
0 |
55 |
|
||||||
|
|
1 |
|
− 2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
77 |
|
− 49 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
− 89 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, r(A) = 3 .
Базисным является, например, минор третьего порядка этой
|
|
5 |
1 |
− 4 |
|
|
|
||||
матрицы, отличный от нуля M3 = |
|
1 |
− 2 |
3 |
≠ 0 . |
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
43
44
§ 7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||||||||
|
a11 x1 + a12 x2 |
+ ... + a1n xn |
= b1 , |
|
|
Система m линейных уравнений с n-неиз- |
||||||||||||||||||
|
|
|
+ a22 x2 |
+ ... + a2n xn |
= b2 |
, |
|
вестными. |
||||||||||||||||
|
a21 x1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1. |
............................................. |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
+ ... + a |
|
|
|
|
= b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
x |
m2 |
x |
2 |
mn |
x |
n |
m |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
... |
|
a1n |
|
|
|
|
А – матрица коэффициентов при неизвест- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
... |
|
a2n |
|
|
|
|
ных системы (1). |
||||||||
2. |
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
... |
|
|
... |
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A – расширенная матрица; она получена из |
|||
|
|
|
|
am1 |
|
am2 |
... |
|
amn |
|
|
|
матрицы А присоединением столбца свобод- |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
... |
a |
|
|
b |
|
|
ных членов. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
|
1 |
|
|
|
Замечание. |
|||||
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
... |
a2n |
|
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3) |
Нетрудно заметить, что по известной матри- |
|||||
|
|
|
... |
|
|
... |
|
... |
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
це A легко составить исходную систему ли- |
||||
|
|
|
am1 |
|
am2 |
|
amn |
|
bm |
|
|
нейных уравнений и что все элементарные |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразования системы уравнений можно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производить над ее расширенной матрицей |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в любой момент перейти к системе. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||||||||
3. Теорема Кронекера – Капелли |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для совместности системы линейных урав- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r(A) = r( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
нений (1) необходимо и достаточно, чтобы |
||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ранг матрицы А равнялся рангу расширен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной матрицы |
|
этой системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
x |
+ b |
x |
|
+ ... + b |
x |
|
+ ... |
+ b |
|
x |
|
= c |
|
|
Первый этап метода Гаусса (прямой ход) за- |
|||||||
11 |
1 |
12 |
|
|
2 |
1k |
|
|
k |
|
|
1n |
|
|
n |
|
1 |
|
|
ключается в том, что система (1) приводится |
|||
4. |
|
b22 x2 + ... + b2k xk + ... + b2n xn = c2 |
|
(5) |
к ступенчатому (5) (в частности, к треуголь- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
................................................... |
|
ному (6)) виду. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
x |
k |
+ |
... |
+ b |
x |
n |
= c |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
kk |
|
|
|
kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b11x1 + b12 x2 + + b1k xk + + b1n xn = c1... ... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
b x |
2 |
+ ... + b |
x |
k |
+ ... + b |
x |
n |
= c |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
22 |
|
2k |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
................................................... |
(6) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bkk xk + ... + bkn xn = ck |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
................................ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
= c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
5.
6.
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||||
r(A) = r( |
|
|
)= n . |
(7) |
Следует запомнить, что если |
r(A) = r( |
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
A |
A |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
и равен числу неизвестных, то система име- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ет единственное решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другими словами, если данная система |
||||||
|
|
|
|
|
|
уравнений (1) после выполнения ряда эле- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ментарных |
преобразований |
приводится |
||||
|
|
|
|
|
|
к треугольному виду (6), то это означает, что |
||||||
|
|
|
|
|
|
система (1) является совместной и опреде- |
||||||
r(A) = r( |
|
|
)< n . |
|
ленной. |
|
r(A) = r( |
|
|
), |
||
|
(8) |
Следует запомнить, что если |
|
|||||||||
A |
A |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
но меньше числа неизвестных, то система |
||||||
|
|
|
|
|
|
имеет бесконечное количество |
различных |
|||||
|
|
|
|
|
|
решений. Другими словами, если данная |
||||||
|
|
|
|
|
|
система уравнений (1) после выполнения |
||||||
|
|
|
|
|
|
ряда элементарных преобразований приво- |
||||||
|
|
|
|
|
|
дится к ступенчатому виду (5), то это озна- |
||||||
|
|
|
|
|
|
чает, что система (1) является совместной |
||||||
|
|
|
|
|
|
и неопределенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||||
|
|
r(A) ≠ r( |
|
). |
|
Система (1) несовместна. |
|||
|
7. |
A |
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в процессе приведения системы (1) |
|||
|
|
|
|
|
|
к ступенчатому виду появляется уравнение |
|||
|
|
|
|
|
|
вида 0xk + 0xk+1 + ... + 0xn = c ≠ 0 , то система |
|||
47 |
|
|
|
|
|
несовместна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
Второй этап метода Гаусса (обратный ход) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
заключается в решении ступенчатой (тре- |
|||
|
|
|
|
|
|
угольной) системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двигаясь снизу вверх по уравнениям сис- |
|||
|
|
|
|
|
|
темы (6), находим x = |
cn |
; затем, подстав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ляя значение |
xn в предыдущее уравнение, |
||
|
|
|
|
|
|
находим xn−1 |
и т.д. |
|
|
47
48
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||||||||||||
b x |
+ b x |
2 |
+ ... |
+ b |
|
x |
k |
= c |
− b + |
|
x + |
|
− ... − b |
|
x |
n |
, |
Если система (1) после элементарных преоб- |
||||||||||||||
11 1 |
12 |
|
|
1k |
|
|
= c |
1 |
|
1k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
1n |
x |
, |
разований приводится к ступенчатой систе- |
|||||||||||
|
b x |
|
+ ... + b |
x |
|
|
|
− b |
x |
k+1 |
− ... − b |
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
22 |
2 |
|
|
2k |
|
k |
|
|
|
2 |
|
2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
n |
|
ме (5), то, перенеся члены с неизвестными |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||
|
|
|
|
|
................................................... |
xk +1,..., xn в правую часть, получим систему |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
bkk xk |
= |
ck |
− |
bkk+1xk+1 |
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
bkn xn . |
вида (10). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Придаем неизвестным |
xk +1, ..., xn произвольные зна- |
Замечание. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
чения αk +1, αk + 2 , ....,αn |
и получаем треугольную сис- |
xk +1, xk + 2 ,..., xn – свободные неизвестные. |
||||||||||||||||||||||||||||||
тему: |
|
|
|
|
|
|
|
= c1 − b1k +1αk +1 − ... − b1nαn |
|
|
x1, x2 ,...., xk |
– базисные неизвестные. |
||||||||||||||||||||
b11x1 + b12 x2 + ... + b1k xk |
|
, |
Из системы (11), |
поднимаясь снизу вверх, |
||||||||||||||||||||||||||||
b22 x2 + ... + b2k xk |
|
= c2 − b2k +1αk +1 − ... − b2nαn |
|
найдем последовательно все остальные не- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
известные xk , xk −1,..., x1. |
|||
|
|
|
|
|
................................................... |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
α |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
α |
|
|
Замечание. |
|
|
|||||
|
|
|
|
bkk xk |
|
ck |
|
k +1 |
... |
bkn |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bkk +1 |
|
|
|
|
|
n . |
Поскольку |
числа |
αk +1, αk + 2 , ....,αn могут |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иметь различные значения, исходная систе- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ма (1) имеет бесчисленное множество реше- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
|
|
|
Основные формулы |
|
|
Определения и замечания |
|||||||||
|
a11x1 |
+ a12 x2 + ... + a1n xn |
= 0, |
|
|
Однородная система m-линейных уравнений |
|||||||||
|
a21x1 |
+ a22 x2 + ... + a2n xn |
= 0, |
|
|
с n-неизвестными. |
|||||||||
|
|
(12) |
Следует запомнить, что система (12) всегда |
||||||||||||
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
............................................. |
|
|
совместна, т.к. x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 об- |
|||||||||||
|
a |
|
x |
+ a |
|
x |
|
+ ... + a |
|
x |
|
= 0. |
|
||
|
|
m1 |
1 |
|
m2 |
|
2 |
|
mn |
|
n |
|
|
|
разуют решение системы. Это решение на- |
|
|
|
|
|
r(A) = n. |
|
|
|
|
|
|
зывается нулевым. |
|||
49 |
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
Нулевое решение будет единственным ре- |
||||
|
|
|
|
|
r(A) < n. |
|
|
|
|
|
|
шением системы (12). |
|||
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
Помимо нулевого решения должно сущест- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вовать бесчисленное множество ненулевых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если r(A) < n , то (n – r)-неизвестных будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Задачи
Задача 1. Решить систему уравнений
5x1 − x2 + 2x3 + x4 = 7, |
||
|
+ 4x3 − 2x4 |
= 1, |
2x1 + x2 |
||
|
− 6x3 + 5x4 |
= 0. |
x1 − 3x2 |
Решение.
Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:
|
|
|
5 |
− 1 2 |
1 |
|
|
|
7 |
|
1 |
− 3 |
− 6 |
5 |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
A = 2 1 |
4 |
|
1 |
2 1 |
4 |
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
− 3 |
− 6 |
5 |
|
|
|
0 |
|
|
− 1 2 |
1 |
|
|
7 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 − 3 − 6 |
5 |
|
|
0 |
|
1 − 3 − 6 |
5 |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 12 |
|
|
|
|
|||
|
0 7 16 |
|
1 |
0 7 16 |
|
1 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 14 32 |
− 24 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
7 |
|
0 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r(A)= 2 , r( |
|
)= 3 , r(A) ≠ r( |
|
). Система несовместна. |
|
||||||||||||||||||
A |
A |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 + 2x3 = 0, |
||||||
Задача 2. Решить систему уравнений 2x1 − x2 + 3x3 = −3, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x2 − x3 = 12. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
Решение.
Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:
|
|
1 2 |
2 |
|
0 |
|
|
1 2 |
2 |
|
0 |
|
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
− 5 |
− 1 |
|
|
|
A = 2 |
3 |
|
− 3 |
~ 0 |
|
− 3 ~ |
||||||||
|
|
3 |
4 |
− 1 |
|
12 |
|
|
0 |
− 2 |
− 7 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50