книги / Моделирование систем.-1

сматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров, а потому сократить число опытов. На каждом этапе изучения объекта выбирается оптимальная стратегия эксперимента.

Поиск оптимальных условий является одной из более распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшее (оптимальные в некотором смысле) условие его реализации. Задачи, сформулированные аналогичным образом, называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации и просто оптимизацией. Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным. Планирование такого эксперимента – это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, поиск которых требует последовательного уточнения модели объекта вблизи точки оптимума.

Рассмотрим две задачи:

1.Прочность бетона определяется маркой цемента, количеством наполнителя и воды. Требуется установить связь между прочностью бетона и названными факторами. Эта задача интерполяционная, так как не определено, какая прочность является оптимальной, и ее не требуется оптимизировать.

2.Надежность некоторого прибора зависит от ряда технологических факторов. Требуется так подобрать значения этих факторов, чтобы надежность прибора повысилась. Эта задача экстремальная, так как сама постановка задачи указывает на то, что существующая надежность не удовлетворяет такому требованию и надо найти условия, при которых ее значения повысятся.

4.1.1. Основные характеристики случайных величин

Случайная величина – величина, принимающая в результате испытания значение, которое принципиально нельзя предсказать исходя из условий опыта.

152

Преимущество формулы (4.7) в том, что в ней нет операций вычитания близких чисел, как в формуле (4.5), что приводит к потере точности.

С понятием выборочной дисперсии неразрывно связано понятие числа степеней свободы. Оно учитывает ограничения или связи, накладываемые на изменение случайной величины. Иными словами, число степеней свободы есть объем сведений, который остается свободным после частичного использования его для определения предшествующих статистических характеристик. Например, при вычислении среднего квадратичного отклонения

одна степень свободы израсходована на предшествующую оценку математического ожидания, т.е. на вычисление среднего арифметического:

Поэтому в уравнении (4.8) f n 1.

Начальный момент первого порядка называется средним (математическим ожиданием). Среднее и дисперсия генеральной совокупности оцениваются средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше объем выборки. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия – точность этого результата (дисперсия воспроизводимости). Если проделано m параллельных опытов и получена выборка у1, у2, …, уm значений измеряемой величины, то дисперсия воспроизводимости

Значительно проще и удобнее определять ошибку воспроизводимости по текущим измерениям.

Предположим, анализируется n проб. При анализе каждой пробы делается различное число параллельных опытов:

m1, m2,…, mn.

Частные дисперсии определяются по результатам параллельных опытов по формуле

Если число параллельных опытов при анализе каждого испытания одинаково (m1 = m2 =…= mn = m), формулы для расчета дисперсии воспроизводимости упрощаются:

Таким образом, при равном числе параллельных опытов общая дисперсия воспроизводимости равна среднеарифметическому значению частных дисперсий. При этом число степеней свободы общей дисперсии fвоспр = n(m – 1).

4.1.2. Выбор факторов

«Черный ящик» – модель объекта исследования. Схема «черного ящика» приведена на рис. 4.1. Объекту исследования соответствует прямоугольник. Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Будем их обозначать буквой y и назовем параметрами оптимизации (критерий оптимизации, целевая функция, выход «черного ящика» и т.д.).

155

Рис. 4.1. Схема «черного ящика»

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика» (стрелки слева). Все способы такого воздействия обозначим буквой х и назовем факторами. Их называют также входами «черного ящика». Итак, фактор – измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение.

При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Под математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами:

где символ (…) заменяет слова «функция от». Такая функ-

ция называется функцией отклика.

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов возвести в степень числа факторов k: pk, где p – число уровней. При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором.

156

Отбор факторов начинают после того, как в распоряжении экспериментатора окажется их полный список. При составлении такого списка следует перечислить все возможные факторы, как бы ни велико было их число. Лучше включить в список несколько десятков несущественных переменных, чем пропустить одно существенное.

Выбор факторов завершается составлением списка, содержащего их области определения и оценки точности фиксирования. Этим определяется выбор факторного пространства.

4.1.3. Выбор нулевой точки

Прямо указать координаты области в факторном пространстве трудно, так как оно многомерно. Для преодоления этой трудности используется двухэтапная процедура. Сначала выбирается нулевая точка или основной уровень, а затем указываются интервалы варьирования вокруг нее по каждому фактору.

Чем ближе выбранная нулевая точка к точке оптимума, тем меньше экспериментальных усилий потребуется для решения задачи. Поэтому вопрос сводится к выяснению того, что известно о координатах оптимума или области, в которой он расположен.

Задача может усложняться тем, что функция отклика может иметь несколько максимумов или минимумов. В этом случае наиболее радикальным решением будет расчленение задачи, чтобы в каждой области ожидался один максимум. Так как расчленение задачи приводит к увеличению объема экспериментов, в сложных случаях целесообразнее использовать нелокальные методы: метод оврагов или случайный поиск.

Если реализация какой-либо из приведенных рекомендаций невозможна из-за ограничений во времени, числе опытов и т.п., то приходится идти на риск, связанный с принятием чисто интуитивных решений.

157

4.1.4. Выбор интервалов варьирования

Для каждого фактора необходимо выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Пусть основной уровень выбран. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметричными относительно нулевой. Один из уровней будем называть верхним, другой – нижним.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровень фактора.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, основной – 0. Для этого используется кодирование факторов, определяемое соотношением

значение фактора; x j 0 – натуральное значение основного уровня; I j – интервал варьирования; j – номер фактора.

Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной уровень и интервалы выбраны следующим образом:

Отметим на координатной оси три уровня: нижний, основной и верхний.

Нужно найти кодированное значение для x1 = 2,0. Это

значение находится между 1,0 и 3,0, т.е. между –1 и 0 в кодированном масштабе. Так как в натуральном масштабе 2,0 лежит между 1,0 и 3,0, то ему соответствует –0,5 в кодирован-

ном масштабе. Для x1 = 2,5 будет х1 = –0,25, для x1 = 1,5 бу-

дет х1 = –0,75 и т.д.

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор определяет уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Обратите внимание, что при решении задач оптимизации мы стремимся выбрать для первой серии экспериментов такую подобласть, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область.

4.1.5. Полный факторный эксперимент типа 2k

Эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней всех факторов, называются полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов

где N – число опытов; k – число факторов; 2 – число уровней. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем ПФЭ типа 2k. Условия эксперимента можно записать

159

в виде матрицы (табл. 4.1), где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы будем называть матрицами планирования эксперимента.

Каждый столбец в матрице планирования называется вектор-столбцом, а каждая строка – вектор-строкой. Таким образом, имеем два вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации.

Непосредственно эта матрица имеет следующие свойства: 1) симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждо-

N

го фактора равна нулю, или x ji 0 , где j – номер фактора,

i 1

N – число опытов, j = 1, 2, …, k;

2) нормированность – сумма квадратов элементов

N

каждого столбца равна числу опытов, или x ji 2 N. Это

i 1

следствие того, что значения факторов в матрице задаются

+1 и –1;

3) ортогональность – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или

N

x ji xui 0, j u, j, u 0,1, 2, ..., k ;

i 1

4) ротатабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинаково на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

160