книги / Моделирование систем.-1

D D1 D2 x g1 x 0, 25x1 x2 1 0, g2 x

x2 x12 4x1 4 0, x1 0, x2 0 .

Пример. Техническое задание (ТЗ) на разработку принципиальной схемы электронного усилителя: «Коэффициент усиления К0 на средних частотах должен быть не менее 104; входное сопротивление Rвх на средних частотах – не менее 1 МОм; выходное сопротивление Rвых – не более 200 Ом; верхняя граничная частота fв – не менее 100 кГц; температурный дрейф нуля Uдр – не более 50 мкВ/град; усилитель должен нормально функционировать в диапазоне температур от –50 до +60 °С; напряжения источников питания +5 и –5 В; предельные отклонения напряжения источников питания должны быть не более ±0,5 %, усилитель эксплуатируется в стационарной установке…».

В данном случае выходными параметрами являются коэффициент усиления, входное и выходное сопротивление, граничная частота, температурный дрейф, т.е. Y = (К0, Rвх,

Rвых, fв, Uдр).

К внешним параметрам относятся температура окружающей среды и напряжения источников питания.

Внутренние параметры в ТЗ не упоминаются, их перечень и смысл выявляются после синтеза структуры схемы. К внутренним параметрам относятся параметры резисторов, конденсаторов, транзисторов (параметры элементов схемы).

Обозначим вектор технических требований через ТТ,

т.е. ТТ = (104, 1 МОм, 200 Ом, 100 кГц, 50 мкВ/град).

В рассмотренном выше примере условия работоспособности имеют вид следующих неравенств: К0 104, Rвх1 МОм, Rвых 0,2 кОм, fв 100 кГц, Uдр 50 мкВ/град.

1.9. Математическая модель проектируемого изделия

Проектирование – сложный и трудноформализуемый процесс, объединяющий такие важные процедуры, как синтез структуры, выбор параметров элементов, анализ и принятие

41

решений. Особенно важна начальная стадия проектирования, когда выбираются эффективный физический принцип действия, рациональное техническое решение и определяются оптимальные значения параметров.

Поиск рационального технического решения при выбранном физическом принципе действия осуществляется

методами структурного синтеза. Определение оптималь-

ных значений параметров элементов технической системы известной структуры – задача параметрического синтеза

или параметрической оптимизации.

Проектирование технических устройств можно представить себе как выбор наилучших вариантов конструкции машин и аппаратов, параметров схем, режимов работы оборудования и т.п. Выбор предполагает наличие двух основных необходимых элементов: параметров, варьированием которых конструктор получает различные варианты проектируемого изделия, и критерии сравнения, позволяющего указать лучший из любой пары выбранных вариантов.

Варьирование параметров допускается в некоторых пределах, определяемых назначением проектируемого изделия, технологией изделия, требованиями стандартов.

Математическая модель в количественной форме описывает основные элементы проектируемого изделия, его параметры и внутренние связи.

Совокупность формул, позволяющих для заданного набора значений конструктивных параметров x1, x2, …, xn рассчитать изделие и определить все его характеристики, в том числе значения функций ограничений и критерия оптимальности, называется математической моделью проектируемого изделия.

Модель призвана облегчить конструктору задачу поиска наилучшего решения и поэтому должна сочетать в себе два, увы, не всегда совпадающих момента: она должна быть достаточно простой для анализа и достаточно полно отражать истинную ситуацию. Поэтому при построении математической модели нужно хорошо представлять себе соответствие между «реальным» объектом и его математическим образом

42

иуметь переводить свои знания об объекте в формальные математические соотношения, а затем и интерпретировать получаемые математические результаты.

Знание особенностей математических моделей, методов

иалгоритмов решения проектируемых задач необходимо инженеру для постановки задач.

Формализация задачи оптимального проектирования состоит в математическом описании основных элементов процесса выбора (варьируемых параметров и критерия), связей

иограничений, налагаемых на значения параметров.

Итак, прежде всего, должен быть выделен некоторый набор конструктивных параметров (переменных) x1, x2, …, xn, значения которых определяют проектируемое изделие, и выбрать эти значения должен конструктор.

В большинстве подходов к оценке технического объекта принято ориентироваться на эталонные образцы, на мнение ведущих специалистов отрасли (экспертные оценки) или на технико-экономические показатели, определяемые ТЗ на проектирование.

Содержание типичного ТЗ включает в себя конкретные числовые требования к основным выходным параметрам (технические требования); конкретные числовые, характеризующие условия сопряжения системы с внешней средой (диапазоны изменения внешних параметров: температуры, давления, влажности, напряжения и частоты источников питания, условия функционирования системы с точки зрения охраны среды и пр.); качественное описание требований, ограничений и условий, непосредственно не поддающихся количественной оценке.

Набор n чисел х = x1, x2, …, xn может быть представлен точкой в n-мерном евклидовом пространстве Еn, тогда условия и ограничения, накладываемые на возможные изменения значений конструктивных параметров, зададут некоторую область D в Еn, которой точка х должна принадлежать.

Критерий, по которому сравниваются два варианта, например х = (x1, x2, …, xn) и х = (x 1, x 2, …, x n), представляется

43

Таким образом, задача поиска наилучшей конструкции, т.е. выбора наилучшей возможной комбинации параметров (x1, x2, …, xn), состоит в поиске такой точки (вектора) х* D , в которой функция f достигает минимума, т.е.

Эти ограничения возникают из требований, предъявляемых к некоторым характеристикам проектируемого изделия, определяемым через конструктивные переменные с помощью функций gi(x). Пользуясь ограничениями

gi x1,..., xn 0 , можно выразить одни конструктивные па-

раметры через другие и тем самым уменьшить количество варьируемых параметров, или, как говорят, понизить размерность. Поэтому будем считать, что эта операция уже произведена и в ограничениях (1.8), описывающих область D, при-

сутствуют только неравенства gi x 0 при i = 1, …, m.

Решение задачи оптимального проектирования сводится к выбору управляемых параметров Х, принадлежащих допустимой области D и обеспечивающих экспериментальное значение критерия оптимальности f(x):

Задача (1.9)–(1.11), как сказано выше, называется зада-

чей параметрической оптимизации. Оптимальным решением этой задачи является вектор х*, удовлетворяющий системе неравенств (1.9)–(1.11) и обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности (1.9).

В зависимости от числа n управляемых параметров, структуры допустимой области D и вида критерия оптимальности f(x) задача оптимального проектирования приводится к различным классам математических моделей принятия оптимального решения в рамках введенной модели (1.9).

Математическая модель позволяет заменить дорогостоящее экспериментирование с опытными образцами изделия расчетами на ЭВМ. Конструктору не нужно изготавливать узлы или детали изделия, ему достаточно задать вычислительной машине их геометрические размеры, виды материалов и указать способ изготовления. По этим данным ЭВМ определит все требуемые характеристики (стоимость, надежность, расход энергии и т.д.) и укажет, какие из них выходят за поставленные ограничения.

Математическая модель позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить на ЭВМ исследование большого числа вариантов нового изделия для различных режимов его эксплуатации. Конструктор может задавать различные режимы перегрузок (работа в полярных и экваториальных условиях, при повышенном или пониженном давлении и т.д.) и ЭВМ на основе математической модели покажет, как будет вести себя новое изделие в различных условиях.

Математическая модель отличается от других способов описания технических устройств строгостью и компактностью. С ее помощью совершается переход от интуитивных представлений конструктора о качестве изделия к строгим количественным их измерениям.

При этом каждому варианту конструкции, определяемому набором технико-экономических параметров, соответст-

45

вует точка n-мерного пространства, техническим и технологическим условиям – функции ограничений, а представлению о качестве изделия – критерий оптимальности. Основные этапы проектирования показаны на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Основные этапы проектирования радиоэлектронных устройств и систем

46

Задачи оптимального проектирования в математической постановке обладают определенными особенностями, которые выделяют их среди всех задач нелинейного программирования, т.е. задач поиска точки оптимума некоторой нелинейной функции в допустимой области D, граница которой задана с помощью нелинейных ограничений gi (x) 0.

Математическая модель, которую мы только что описали, не всегда дает достаточно адекватное представление о процессе выбора наилучшего проекта. И хотя при сложных функциях gi(x) эта модель может приводить к очень трудным математическим задачам, с принципиальной точки зрения она является простейшей.

Какие же трудности могут возникнуть на пути построения более точной формальной модели процесса проектирования?

Во-первых, не всегда, вернее, почти никогда качество проекта не оценивается одним или двумя показателями. Как правило, имеется набор критериев F1(x), …, FN (x), каждый из которых хотелось бы сделать максимальным. Но обычно увеличение одного из критериев влечет за собой уменьшение другого. Поэтому возникает проблема нахождения некоторого компромисса между критериями.

Во-вторых, не все факторы, влияющие на качество проекта, могут быть произвольно изменены и, следовательно, некоторые из них могут находиться вне нашего контроля. Поэтому помимо конструктивных параметров (факторов) x1 ,…, xn нужно учитывать наличие неких неконтролируемых факторов q1, …, qk. Таким образом, более общая математическая модель разработки проекта состоит из наборов:

а) конструктивных факторов x1, x2, …, xn; б) неконтролируемых факторов q1, …, qk; в) ограничений gi(x1, …, xn, q1,…, qk) 0;

г) критериев – показателей качества изделия fj (x1, …, xn, q1, …, qk), j = 1, …, N.

47

1.10. Требования к математическим моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Модуль считается адекватным. Если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Пусть объект характеризуется m выходными параметрами уi, i = 1 : m, а значения тех же параметров, полученные при использовании модели, суть умi. Образуем вектор относительных погрешностей модели

m

При p = 2 (евклидова или сферическая) x 2 xi 2 .

i 1

Чтобы уменьшить влияние неопределенности, целесообразно проводить сравнение моделей по результатам их использования в некоторых стандартных ситуациях, отражающих характерные особенности функционирования объектов на практике и называемых тестовыми ситуациями.

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться предельной допустимой погреш-

48

ностью Епред, то можно в пространстве внешних параметров выделить область, в которой выполняется условие

где Ем – погрешность модели.

Эту область называют областью адекватности (ОА) модели. Определение областей адекватности для конкретных моделей – сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА

правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.

Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных уi, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешними параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т.п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу по определению ОА.

Степень универсальности математических моделей определяется их применимостью к анализу определенной группы однотипных объектов, к анализу их в одном режиме

49

функционирования или во многих. Если адекватность характеризуется положением и размерами ОА, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Робастность математических моделей (ММ) (от англ. слова robust – крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причиной низкой робастности ММ может быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину.

Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае

ММбудет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного технического объекта теряет смысл.

Наглядность ММ является их желательным, но необязательным свойством.

Экономичность математических моделей (в частности,

и машинных расчетных методов) оценивается прежде всего

затратами машинного времени Тм. Машинное время дорого, поэтому его затраты определяют главную часть стоимостных затрат. Вклад математической модели в затраты машинного времени на решение задач можно оценивать количеством арифметических операций, выполняемых при однократной реализации уравнений модели. Показателем экономичности

ММможет служить также число внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти, тем больше усилий требуется для получения сведений о числовых значениях параметров и их разбросе.

50